Theorem recclnq 7507

Description: Closure law for positive fraction reciprocal. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
recclnq	|- ( A e. Q. -> ( *Q ` A ) e. Q. )

Proof of Theorem recclnq

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexnq 7505	. 2 |- ( A e. Q. -> E. y ( y e. Q. /\ ( A .Q y ) = 1Q ) )
2		recmulnqg 7506	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) = y <-> ( A .Q y ) = 1Q ) )
3	2	biimpar 297	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ y e. Q. ) /\ ( A .Q y ) = 1Q ) -> ( *Q ` A ) = y )
4		eleq1a 2277	. . . . . 6 |- ( y e. Q. -> ( ( *Q ` A ) = y -> ( *Q ` A ) e. Q. ) )
5	4	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ y e. Q. ) /\ ( A .Q y ) = 1Q ) -> ( ( *Q ` A ) = y -> ( *Q ` A ) e. Q. ) )
6	3, 5	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( A e. Q. /\ y e. Q. ) /\ ( A .Q y ) = 1Q ) -> ( *Q ` A ) e. Q. )
7	6	expl 378	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( ( y e. Q. /\ ( A .Q y ) = 1Q ) -> ( *Q ` A ) e. Q. ) )
8	7	exlimdv 1842	. 2 |- ( A e. Q. -> ( E. y ( y e. Q. /\ ( A .Q y ) = 1Q ) -> ( *Q ` A ) e. Q. ) )
9	1, 8	mpd 13	1 |- ( A e. Q. -> ( *Q ` A ) e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   E.wex 1515   e. wcel 2176   ` cfv 5272  (class class class)co 5946   Q.cnq 7395   1Qc1q 7396   .Q cmq 7398   *Qcrq 7399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4160  ax-sep 4163  ax-nul 4171  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-un 4481  ax-setind 4586  ax-iinf 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4046  df-opab 4107  df-mpt 4108  df-tr 4144  df-id 4341  df-iord 4414  df-on 4416  df-suc 4419  df-iom 4640  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-rn 4687  df-res 4688  df-ima 4689  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fn 5275  df-f 5276  df-f1 5277  df-fo 5278  df-f1o 5279  df-fv 5280  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-1st 6228  df-2nd 6229  df-recs 6393  df-irdg 6458  df-1o 6504  df-oadd 6508  df-omul 6509  df-er 6622  df-ec 6624  df-qs 6628  df-ni 7419  df-mi 7421  df-mpq 7460  df-enq 7462  df-nqqs 7463  df-mqqs 7465  df-1nqqs 7466  df-rq 7467

This theorem is referenced by:  recidnq  7508  recrecnq  7509  rec1nq  7510  halfnqq  7525  prarloclemarch  7533  ltrnqg  7535  addnqprllem  7642  addnqprulem  7643  addnqprl  7644  addnqpru  7645  recnnpr  7663  appdivnq  7678  mulnqprl  7683  mulnqpru  7684  1idprl  7705  1idpru  7706  recexprlemm  7739  recexprlemloc  7746  recexprlem1ssl  7748  recexprlem1ssu  7749  archrecnq  7778  archrecpr  7779  caucvgprlemnkj  7781  caucvgprlemnbj  7782  caucvgprlemm  7783  caucvgprlemopl  7784  caucvgprlemlol  7785  caucvgprlemloc  7790  caucvgprlemladdfu  7792  caucvgprlemladdrl  7793  caucvgprprlemloccalc  7799  caucvgprprlemnkltj  7804  caucvgprprlemnkeqj  7805  caucvgprprlemnjltk  7806  caucvgprprlemml  7809  caucvgprprlemopl  7812  caucvgprprlemlol  7813  caucvgprprlemloc  7818  caucvgprprlemexb  7822  caucvgprprlem1  7824  caucvgprprlem2  7825  recidpipr  7971