Theorem recclnq 7579

Description: Closure law for positive fraction reciprocal. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
recclnq	|- ( A e. Q. -> ( *Q ` A ) e. Q. )

Proof of Theorem recclnq

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexnq 7577	. 2 |- ( A e. Q. -> E. y ( y e. Q. /\ ( A .Q y ) = 1Q ) )
2		recmulnqg 7578	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) = y <-> ( A .Q y ) = 1Q ) )
3	2	biimpar 297	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ y e. Q. ) /\ ( A .Q y ) = 1Q ) -> ( *Q ` A ) = y )
4		eleq1a 2301	. . . . . 6 |- ( y e. Q. -> ( ( *Q ` A ) = y -> ( *Q ` A ) e. Q. ) )
5	4	ad2antlr 489	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ y e. Q. ) /\ ( A .Q y ) = 1Q ) -> ( ( *Q ` A ) = y -> ( *Q ` A ) e. Q. ) )
6	3, 5	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( A e. Q. /\ y e. Q. ) /\ ( A .Q y ) = 1Q ) -> ( *Q ` A ) e. Q. )
7	6	expl 378	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( ( y e. Q. /\ ( A .Q y ) = 1Q ) -> ( *Q ` A ) e. Q. ) )
8	7	exlimdv 1865	. 2 |- ( A e. Q. -> ( E. y ( y e. Q. /\ ( A .Q y ) = 1Q ) -> ( *Q ` A ) e. Q. ) )
9	1, 8	mpd 13	1 |- ( A e. Q. -> ( *Q ` A ) e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1395   E.wex 1538   e. wcel 2200   ` cfv 5318  (class class class)co 6001   Q.cnq 7467   1Qc1q 7468   .Q cmq 7470   *Qcrq 7471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-nul 4210  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-iinf 4680

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-tr 4183  df-id 4384  df-iord 4457  df-on 4459  df-suc 4462  df-iom 4683  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-1st 6286  df-2nd 6287  df-recs 6451  df-irdg 6516  df-1o 6562  df-oadd 6566  df-omul 6567  df-er 6680  df-ec 6682  df-qs 6686  df-ni 7491  df-mi 7493  df-mpq 7532  df-enq 7534  df-nqqs 7535  df-mqqs 7537  df-1nqqs 7538  df-rq 7539

This theorem is referenced by:  recidnq  7580  recrecnq  7581  rec1nq  7582  halfnqq  7597  prarloclemarch  7605  ltrnqg  7607  addnqprllem  7714  addnqprulem  7715  addnqprl  7716  addnqpru  7717  recnnpr  7735  appdivnq  7750  mulnqprl  7755  mulnqpru  7756  1idprl  7777  1idpru  7778  recexprlemm  7811  recexprlemloc  7818  recexprlem1ssl  7820  recexprlem1ssu  7821  archrecnq  7850  archrecpr  7851  caucvgprlemnkj  7853  caucvgprlemnbj  7854  caucvgprlemm  7855  caucvgprlemopl  7856  caucvgprlemlol  7857  caucvgprlemloc  7862  caucvgprlemladdfu  7864  caucvgprlemladdrl  7865  caucvgprprlemloccalc  7871  caucvgprprlemnkltj  7876  caucvgprprlemnkeqj  7877  caucvgprprlemnjltk  7878  caucvgprprlemml  7881  caucvgprprlemopl  7884  caucvgprprlemlol  7885  caucvgprprlemloc  7890  caucvgprprlemexb  7894  caucvgprprlem1  7896  caucvgprprlem2  7897  recidpipr  8043