Theorem recclnq 6930

Description: Closure law for positive fraction reciprocal. (Contributed by NM, 6-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 8-May-2013.)

Assertion

Ref	Expression
recclnq	|- ( A e. Q. -> ( *Q ` A ) e. Q. )

Proof of Theorem recclnq

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recexnq 6928	. 2 |- ( A e. Q. -> E. y ( y e. Q. /\ ( A .Q y ) = 1Q ) )
2		recmulnqg 6929	. . . . . 6 |- ( ( A e. Q. /\ y e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) = y <-> ( A .Q y ) = 1Q ) )
3	2	biimpar 291	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ y e. Q. ) /\ ( A .Q y ) = 1Q ) -> ( *Q ` A ) = y )
4		eleq1a 2159	. . . . . 6 |- ( y e. Q. -> ( ( *Q ` A ) = y -> ( *Q ` A ) e. Q. ) )
5	4	ad2antlr 473	. . . . 5 |- ( ( ( A e. Q. /\ y e. Q. ) /\ ( A .Q y ) = 1Q ) -> ( ( *Q ` A ) = y -> ( *Q ` A ) e. Q. ) )
6	3, 5	mpd 13	. . . 4 |- ( ( ( A e. Q. /\ y e. Q. ) /\ ( A .Q y ) = 1Q ) -> ( *Q ` A ) e. Q. )
7	6	expl 370	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( ( y e. Q. /\ ( A .Q y ) = 1Q ) -> ( *Q ` A ) e. Q. ) )
8	7	exlimdv 1747	. 2 |- ( A e. Q. -> ( E. y ( y e. Q. /\ ( A .Q y ) = 1Q ) -> ( *Q ` A ) e. Q. ) )
9	1, 8	mpd 13	1 |- ( A e. Q. -> ( *Q ` A ) e. Q. )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 102   = wceq 1289   E.wex 1426   e. wcel 1438   ` cfv 5002  (class class class)co 5634   Q.cnq 6818   1Qc1q 6819   .Q cmq 6821   *Qcrq 6822

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343  ax-iinf 4393

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-int 3684  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-iom 4396  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-1st 5893  df-2nd 5894  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-1o 6163  df-oadd 6167  df-omul 6168  df-er 6272  df-ec 6274  df-qs 6278  df-ni 6842  df-mi 6844  df-mpq 6883  df-enq 6885  df-nqqs 6886  df-mqqs 6888  df-1nqqs 6889  df-rq 6890

This theorem is referenced by:  recidnq  6931  recrecnq  6932  rec1nq  6933  halfnqq  6948  prarloclemarch  6956  ltrnqg  6958  addnqprllem  7065  addnqprulem  7066  addnqprl  7067  addnqpru  7068  recnnpr  7086  appdivnq  7101  mulnqprl  7106  mulnqpru  7107  1idprl  7128  1idpru  7129  recexprlemm  7162  recexprlemloc  7169  recexprlem1ssl  7171  recexprlem1ssu  7172  archrecnq  7201  archrecpr  7202  caucvgprlemnkj  7204  caucvgprlemnbj  7205  caucvgprlemm  7206  caucvgprlemopl  7207  caucvgprlemlol  7208  caucvgprlemloc  7213  caucvgprlemladdfu  7215  caucvgprlemladdrl  7216  caucvgprprlemloccalc  7222  caucvgprprlemnkltj  7227  caucvgprprlemnkeqj  7228  caucvgprprlemnjltk  7229  caucvgprprlemml  7232  caucvgprprlemopl  7235  caucvgprprlemlol  7236  caucvgprprlemloc  7241  caucvgprprlemexb  7245  caucvgprprlem1  7247  caucvgprprlem2  7248  recidpipr  7372