Theorem archrecnq 7625

Description: Archimedean principle for fractions (reciprocal version). (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2020.)

Assertion

Ref	Expression
archrecnq	|- ( A e. Q. -> E. j e. N. ( *Q ` [ <. j , 1o >. ] ~Q ) <Q A )

Distinct variable group:   A, j

Proof of Theorem archrecnq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		recclnq 7354	. . 3 |- ( A e. Q. -> ( *Q ` A ) e. Q. )
2		archnqq 7379	. . 3 |- ( ( *Q ` A ) e. Q. -> E. j e. N. ( *Q ` A ) <Q [ <. j , 1o >. ] ~Q )
3	1, 2	syl 14	. 2 |- ( A e. Q. -> E. j e. N. ( *Q ` A ) <Q [ <. j , 1o >. ] ~Q )
4		nnnq 7384	. . . . 5 |- ( j e. N. -> [ <. j , 1o >. ] ~Q e. Q. )
5		ltrnqg 7382	. . . . 5 |- ( ( ( *Q ` A ) e. Q. /\ [ <. j , 1o >. ] ~Q e. Q. ) -> ( ( *Q ` A ) <Q [ <. j , 1o >. ] ~Q <-> ( *Q ` [ <. j , 1o >. ] ~Q ) <Q ( *Q ` ( *Q ` A ) ) ) )
6	1, 4, 5	syl2an 287	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ j e. N. ) -> ( ( *Q ` A ) <Q [ <. j , 1o >. ] ~Q <-> ( *Q ` [ <. j , 1o >. ] ~Q ) <Q ( *Q ` ( *Q ` A ) ) ) )
7		recrecnq 7356	. . . . . 6 |- ( A e. Q. -> ( *Q ` ( *Q ` A ) ) = A )
8	7	breq2d 4001	. . . . 5 |- ( A e. Q. -> ( ( *Q ` [ <. j , 1o >. ] ~Q ) <Q ( *Q ` ( *Q ` A ) ) <-> ( *Q ` [ <. j , 1o >. ] ~Q ) <Q A ) )
9	8	adantr 274	. . . 4 |- ( ( A e. Q. /\ j e. N. ) -> ( ( *Q ` [ <. j , 1o >. ] ~Q ) <Q ( *Q ` ( *Q ` A ) ) <-> ( *Q ` [ <. j , 1o >. ] ~Q ) <Q A ) )
10	6, 9	bitrd 187	. . 3 |- ( ( A e. Q. /\ j e. N. ) -> ( ( *Q ` A ) <Q [ <. j , 1o >. ] ~Q <-> ( *Q ` [ <. j , 1o >. ] ~Q ) <Q A ) )
11	10	rexbidva 2467	. 2 |- ( A e. Q. -> ( E. j e. N. ( *Q ` A ) <Q [ <. j , 1o >. ] ~Q <-> E. j e. N. ( *Q ` [ <. j , 1o >. ] ~Q ) <Q A ) )
12	3, 11	mpbid 146	1 |- ( A e. Q. -> E. j e. N. ( *Q ` [ <. j , 1o >. ] ~Q ) <Q A )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 103   <-> wb 104   e. wcel 2141   E.wrex 2449   <.cop 3586   class class class wbr 3989   ` cfv 5198   1oc1o 6388   [cec 6511   N.cnpi 7234   ~Q ceq 7241   Q.cnq 7242   *Qcrq 7246   <Q cltq 7247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-1o 6395  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-pli 7267  df-mi 7268  df-lti 7269  df-mpq 7307  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-mqqs 7312  df-1nqqs 7313  df-rq 7314  df-ltnqqs 7315

This theorem is referenced by:  archrecpr  7626  caucvgprlemm  7630  caucvgprlemloc  7637  caucvgprlemlim  7643  caucvgprprlemml  7656  caucvgprprlemloc  7665