ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  archrecnq Unicode version

Theorem archrecnq 7125
Description: Archimedean principle for fractions (reciprocal version). (Contributed by Jim Kingdon, 27-Sep-2020.)
Assertion
Ref Expression
archrecnq  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. j  e.  N.  ( *Q `  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  A )
Distinct variable group:    A, j

Proof of Theorem archrecnq
StepHypRef Expression
1 recclnq 6854 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( *Q `  A )  e. 
Q. )
2 archnqq 6879 . . 3  |-  ( ( *Q `  A )  e.  Q.  ->  E. j  e.  N.  ( *Q `  A )  <Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  )
31, 2syl 14 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. j  e.  N.  ( *Q `  A )  <Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  )
4 nnnq 6884 . . . . 5  |-  ( j  e.  N.  ->  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
5 ltrnqg 6882 . . . . 5  |-  ( ( ( *Q `  A
)  e.  Q.  /\  [
<. j ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )  ->  ( ( *Q `  A )  <Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( *Q `  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( *Q `  ( *Q `  A ) ) ) )
61, 4, 5syl2an 283 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  j  e.  N. )  ->  ( ( *Q `  A )  <Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( *Q `  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( *Q `  ( *Q `  A ) ) ) )
7 recrecnq 6856 . . . . . 6  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( *Q `  ( *Q `  A ) )  =  A )
87breq2d 3823 . . . . 5  |-  ( A  e.  Q.  ->  (
( *Q `  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  ( *Q `  ( *Q `  A ) )  <->  ( *Q `  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  A ) )
98adantr 270 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  j  e.  N. )  ->  ( ( *Q `  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q 
( *Q `  ( *Q `  A ) )  <-> 
( *Q `  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  A ) )
106, 9bitrd 186 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  j  e.  N. )  ->  ( ( *Q `  A )  <Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <->  ( *Q `  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  A ) )
1110rexbidva 2371 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( E. j  e.  N.  ( *Q `  A ) 
<Q  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  <->  E. j  e.  N.  ( *Q `  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  A ) )
123, 11mpbid 145 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. j  e.  N.  ( *Q `  [ <. j ,  1o >. ]  ~Q  )  <Q  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    e. wcel 1434   E.wrex 2354   <.cop 3425   class class class wbr 3811   ` cfv 4969   1oc1o 6106   [cec 6220   N.cnpi 6734    ~Q ceq 6741   Q.cnq 6742   *Qcrq 6746    <Q cltq 6747
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-eprel 4080  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-irdg 6067  df-1o 6113  df-oadd 6117  df-omul 6118  df-er 6222  df-ec 6224  df-qs 6228  df-ni 6766  df-pli 6767  df-mi 6768  df-lti 6769  df-mpq 6807  df-enq 6809  df-nqqs 6810  df-mqqs 6812  df-1nqqs 6813  df-rq 6814  df-ltnqqs 6815
This theorem is referenced by:  archrecpr  7126  caucvgprlemm  7130  caucvgprlemloc  7137  caucvgprlemlim  7143  caucvgprprlemml  7156  caucvgprprlemloc  7165
  Copyright terms: Public domain W3C validator