Theorem rec1nq 7390

Description: Reciprocal of positive fraction one. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rec1nq	|- ( *Q ` 1Q ) = 1Q

Proof of Theorem rec1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nq 7361	. . . 4 |- 1Q e. Q.
2		recclnq 7387	. . . 4 |- ( 1Q e. Q. -> ( *Q ` 1Q ) e. Q. )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- ( *Q ` 1Q ) e. Q.
4		mulcomnqg 7378	. . 3 |- ( ( ( *Q ` 1Q ) e. Q. /\ 1Q e. Q. ) -> ( ( *Q ` 1Q ) .Q 1Q ) = ( 1Q .Q ( *Q ` 1Q ) ) )
5	3, 1, 4	mp2an 426	. 2 |- ( ( *Q ` 1Q ) .Q 1Q ) = ( 1Q .Q ( *Q ` 1Q ) )
6		mulidnq 7384	. . 3 |- ( ( *Q ` 1Q ) e. Q. -> ( ( *Q ` 1Q ) .Q 1Q ) = ( *Q ` 1Q ) )
7	1, 2, 6	mp2b 8	. 2 |- ( ( *Q ` 1Q ) .Q 1Q ) = ( *Q ` 1Q )
8		recidnq 7388	. . 3 |- ( 1Q e. Q. -> ( 1Q .Q ( *Q ` 1Q ) ) = 1Q )
9	1, 8	ax-mp 5	. 2 |- ( 1Q .Q ( *Q ` 1Q ) ) = 1Q
10	5, 7, 9	3eqtr3i 2206	1 |- ( *Q ` 1Q ) = 1Q

Syntax hints:   = wceq 1353   e. wcel 2148   ` cfv 5214  (class class class)co 5871   Q.cnq 7275   1Qc1q 7276   .Q cmq 7278   *Qcrq 7279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4117  ax-sep 4120  ax-nul 4128  ax-pow 4173  ax-pr 4208  ax-un 4432  ax-setind 4535  ax-iinf 4586

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4003  df-opab 4064  df-mpt 4065  df-tr 4101  df-id 4292  df-iord 4365  df-on 4367  df-suc 4370  df-iom 4589  df-xp 4631  df-rel 4632  df-cnv 4633  df-co 4634  df-dm 4635  df-rn 4636  df-res 4637  df-ima 4638  df-iota 5176  df-fun 5216  df-fn 5217  df-f 5218  df-f1 5219  df-fo 5220  df-f1o 5221  df-fv 5222  df-ov 5874  df-oprab 5875  df-mpo 5876  df-1st 6137  df-2nd 6138  df-recs 6302  df-irdg 6367  df-1o 6413  df-oadd 6417  df-omul 6418  df-er 6531  df-ec 6533  df-qs 6537  df-ni 7299  df-mi 7301  df-mpq 7340  df-enq 7342  df-nqqs 7343  df-mqqs 7345  df-1nqqs 7346  df-rq 7347

This theorem is referenced by:  recexprlem1ssl  7628  caucvgprlemm  7663  caucvgprprlemmu  7690  caucvgsr  7797