Theorem rec1nq 6954

Description: Reciprocal of positive fraction one. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rec1nq	|- ( *Q ` 1Q ) = 1Q

Proof of Theorem rec1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nq 6925	. . . 4 |- 1Q e. Q.
2		recclnq 6951	. . . 4 |- ( 1Q e. Q. -> ( *Q ` 1Q ) e. Q. )
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- ( *Q ` 1Q ) e. Q.
4		mulcomnqg 6942	. . 3 |- ( ( ( *Q ` 1Q ) e. Q. /\ 1Q e. Q. ) -> ( ( *Q ` 1Q ) .Q 1Q ) = ( 1Q .Q ( *Q ` 1Q ) ) )
5	3, 1, 4	mp2an 417	. 2 |- ( ( *Q ` 1Q ) .Q 1Q ) = ( 1Q .Q ( *Q ` 1Q ) )
6		mulidnq 6948	. . 3 |- ( ( *Q ` 1Q ) e. Q. -> ( ( *Q ` 1Q ) .Q 1Q ) = ( *Q ` 1Q ) )
7	1, 2, 6	mp2b 8	. 2 |- ( ( *Q ` 1Q ) .Q 1Q ) = ( *Q ` 1Q )
8		recidnq 6952	. . 3 |- ( 1Q e. Q. -> ( 1Q .Q ( *Q ` 1Q ) ) = 1Q )
9	1, 8	ax-mp 7	. 2 |- ( 1Q .Q ( *Q ` 1Q ) ) = 1Q
10	5, 7, 9	3eqtr3i 2116	1 |- ( *Q ` 1Q ) = 1Q

Syntax hints:   = wceq 1289   e. wcel 1438   ` cfv 5015  (class class class)co 5652   Q.cnq 6839   1Qc1q 6840   .Q cmq 6842   *Qcrq 6843

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3954  ax-sep 3957  ax-nul 3965  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-iinf 4403

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-csb 2934  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-nul 3287  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-iun 3732  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-tr 3937  df-id 4120  df-iord 4193  df-on 4195  df-suc 4198  df-iom 4406  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-rn 4449  df-res 4450  df-ima 4451  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fn 5018  df-f 5019  df-f1 5020  df-fo 5021  df-f1o 5022  df-fv 5023  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-1st 5911  df-2nd 5912  df-recs 6070  df-irdg 6135  df-1o 6181  df-oadd 6185  df-omul 6186  df-er 6292  df-ec 6294  df-qs 6298  df-ni 6863  df-mi 6865  df-mpq 6904  df-enq 6906  df-nqqs 6907  df-mqqs 6909  df-1nqqs 6910  df-rq 6911

This theorem is referenced by:  recexprlem1ssl  7192  caucvgprlemm  7227  caucvgprprlemmu  7254  caucvgsr  7347