Theorem rec1nq 7578

Description: Reciprocal of positive fraction one. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Dec-2019.)

Assertion

Ref	Expression
rec1nq	|- ( *Q ` 1Q ) = 1Q

Proof of Theorem rec1nq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nq 7549	. . . 4 |- 1Q e. Q.
2		recclnq 7575	. . . 4 |- ( 1Q e. Q. -> ( *Q ` 1Q ) e. Q. )
3	1, 2	ax-mp 5	. . 3 |- ( *Q ` 1Q ) e. Q.
4		mulcomnqg 7566	. . 3 |- ( ( ( *Q ` 1Q ) e. Q. /\ 1Q e. Q. ) -> ( ( *Q ` 1Q ) .Q 1Q ) = ( 1Q .Q ( *Q ` 1Q ) ) )
5	3, 1, 4	mp2an 426	. 2 |- ( ( *Q ` 1Q ) .Q 1Q ) = ( 1Q .Q ( *Q ` 1Q ) )
6		mulidnq 7572	. . 3 |- ( ( *Q ` 1Q ) e. Q. -> ( ( *Q ` 1Q ) .Q 1Q ) = ( *Q ` 1Q ) )
7	1, 2, 6	mp2b 8	. 2 |- ( ( *Q ` 1Q ) .Q 1Q ) = ( *Q ` 1Q )
8		recidnq 7576	. . 3 |- ( 1Q e. Q. -> ( 1Q .Q ( *Q ` 1Q ) ) = 1Q )
9	1, 8	ax-mp 5	. 2 |- ( 1Q .Q ( *Q ` 1Q ) ) = 1Q
10	5, 7, 9	3eqtr3i 2258	1 |- ( *Q ` 1Q ) = 1Q

Syntax hints:   = wceq 1395   e. wcel 2200   ` cfv 5317  (class class class)co 6000   Q.cnq 7463   1Qc1q 7464   .Q cmq 7466   *Qcrq 7467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-nul 4209  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-iinf 4679

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-tr 4182  df-id 4383  df-iord 4456  df-on 4458  df-suc 4461  df-iom 4682  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-1st 6284  df-2nd 6285  df-recs 6449  df-irdg 6514  df-1o 6560  df-oadd 6564  df-omul 6565  df-er 6678  df-ec 6680  df-qs 6684  df-ni 7487  df-mi 7489  df-mpq 7528  df-enq 7530  df-nqqs 7531  df-mqqs 7533  df-1nqqs 7534  df-rq 7535

This theorem is referenced by:  recexprlem1ssl  7816  caucvgprlemm  7851  caucvgprprlemmu  7878  caucvgsr  7985