ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ringn0 Unicode version

Theorem ringn0 13295
Description: The class of rings is not empty (it is also inhabited, as shown at ring1 13294). (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
ringn0  |-  Ring  =/=  (/)

Proof of Theorem ringn0
StepHypRef Expression
1 vex 2752 . 2  |-  z  e. 
_V
2 eqid 2187 . . 3  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  { z } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z >. ,  z
>. } >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. }  =  { <. (
Base `  ndx ) ,  { z } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z >. ,  z
>. } >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. }
32ring1 13294 . 2  |-  ( z  e.  _V  ->  { <. (
Base `  ndx ) ,  { z } >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z >. ,  z
>. } >. ,  <. ( .r `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. }  e.  Ring )
4 ne0i 3441 . 2  |-  ( {
<. ( Base `  ndx ) ,  { z } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. ,  <. ( .r
`  ndx ) ,  { <. <. z ,  z
>. ,  z >. }
>. }  e.  Ring  ->  Ring 
=/=  (/) )
51, 3, 4mp2b 8 1  |-  Ring  =/=  (/)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    e. wcel 2158    =/= wne 2357   _Vcvv 2749   (/)c0 3434   {csn 3604   {ctp 3606   <.cop 3607   ` cfv 5228   ndxcnx 12472   Basecbs 12475   +g cplusg 12550   .rcmulr 12551   Ringcrg 13233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-tp 3612  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-fz 10022  df-struct 12477  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12837  df-grp 12899  df-mgp 13163  df-ring 13235
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator