Theorem ringn0 14338

Description: The class of rings is not empty (it is also inhabited, as shown at ring1 14337). (Contributed by AV, 29-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
ringn0	|- Ring =/= (/)

Proof of Theorem ringn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		vex 2824	. 2 |- z e. _V
2		eqid 2238	. . 3 |- { <. ( Base ` ndx ) , { z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. z , z >. , z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. z , z >. , z >. } >. } = { <. ( Base ` ndx ) , { z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. z , z >. , z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. z , z >. , z >. } >. }
3	2	ring1 14337	. 2 |- ( z e. _V -> { <. ( Base ` ndx ) , { z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. z , z >. , z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. z , z >. , z >. } >. } e. Ring )
4		ne0i 3528	. 2 |- ( { <. ( Base ` ndx ) , { z } >. , <. ( +g ` ndx ) , { <. <. z , z >. , z >. } >. , <. ( .r ` ndx ) , { <. <. z , z >. , z >. } >. } e. Ring -> Ring =/= (/) )
5	1, 3, 4	mp2b 8	1 |- Ring =/= (/)

Syntax hints:   e. wcel 2209   =/= wne 2420   _Vcvv 2821   (/)c0 3520   {csn 3705   {ctp 3707   <.cop 3708   ` cfv 5372   ndxcnx 13327   Basecbs 13330   +g cplusg 13408   .rcmulr 13409   Ringcrg 14274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4244  ax-pow 4306  ax-pr 4341  ax-un 4573  ax-setind 4679  ax-cnex 8260  ax-resscn 8261  ax-1cn 8262  ax-1re 8263  ax-icn 8264  ax-addcl 8265  ax-addrcl 8266  ax-mulcl 8267  ax-addcom 8269  ax-addass 8271  ax-distr 8273  ax-i2m1 8274  ax-0lt1 8275  ax-0id 8277  ax-rnegex 8278  ax-cnre 8280  ax-pre-ltirr 8281  ax-pre-ltwlin 8282  ax-pre-lttrn 8283  ax-pre-apti 8284  ax-pre-ltadd 8285

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3687  df-sn 3711  df-pr 3712  df-tp 3713  df-op 3714  df-uni 3931  df-int 3966  df-br 4126  df-opab 4188  df-mpt 4189  df-id 4433  df-xp 4775  df-rel 4776  df-cnv 4777  df-co 4778  df-dm 4779  df-rn 4780  df-res 4781  df-ima 4782  df-iota 5332  df-fun 5374  df-fn 5375  df-f 5376  df-fv 5380  df-riota 6028  df-ov 6078  df-oprab 6079  df-mpo 6080  df-pnf 8352  df-mnf 8353  df-xr 8354  df-ltxr 8355  df-le 8356  df-sub 8489  df-neg 8490  df-inn 9284  df-2 9342  df-3 9343  df-n0 9543  df-z 9624  df-uz 9901  df-fz 10391  df-struct 13332  df-ndx 13333  df-slot 13334  df-base 13336  df-sets 13337  df-plusg 13421  df-mulr 13422  df-0g 13589  df-mgm 13653  df-sgrp 13694  df-mnd 13707  df-grp 13785  df-mgp 14195  df-ring 14276

This theorem is referenced by: (None)