Theorem rng2idlsubgnsg 14201

Description: A two-sided ideal of a non-unital ring which is a subgroup of the ring is a normal subgroup of the ring. (Contributed by AV, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlsubgsubrng.r	|- ( ph -> R e. Rng )
rng2idlsubgsubrng.i	|- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
rng2idlsubgsubrng.u	|- ( ph -> I e. (SubGrp ` R ) )

Assertion

Ref	Expression
rng2idlsubgnsg	|- ( ph -> I e. (NrmSGrp ` R ) )

Proof of Theorem rng2idlsubgnsg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlsubgsubrng.r	. . 3 |- ( ph -> R e. Rng )
2		rng2idlsubgsubrng.i	. . 3 |- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
3		rng2idlsubgsubrng.u	. . 3 |- ( ph -> I e. (SubGrp ` R ) )
4	1, 2, 3	rng2idlsubgsubrng 14200	. 2 |- ( ph -> I e. (SubRng ` R ) )
5		subrngringnsg 13885	. 2 |- ( I e. (SubRng ` R ) -> I e. (NrmSGrp ` R ) )
6	4, 5	syl 14	1 |- ( ph -> I e. (NrmSGrp ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2175   ` cfv 5268  SubGrpcsubg 13421  NrmSGrpcnsg 13422  Rngcrng 13612  SubRngcsubrng 13877  2Idealc2idl 14179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-lttrn 8021  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-ltxr 8094  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-5 9080  df-6 9081  df-7 9082  df-8 9083  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-sets 12758  df-iress 12759  df-plusg 12841  df-mulr 12842  df-sca 12844  df-vsca 12845  df-ip 12846  df-0g 13008  df-mgm 13106  df-sgrp 13152  df-mnd 13167  df-grp 13253  df-subg 13424  df-nsg 13425  df-cmn 13540  df-abl 13541  df-mgp 13601  df-rng 13613  df-subrng 13878  df-lssm 14033  df-sra 14115  df-rgmod 14116  df-lidl 14149  df-2idl 14180

This theorem is referenced by: (None)