Theorem rng2idlsubgsubrng 14660

Description: A two-sided ideal of a non-unital ring which is a subgroup of the ring is a subring of the ring. (Contributed by AV, 11-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlsubgsubrng.r	|- ( ph -> R e. Rng )
rng2idlsubgsubrng.i	|- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
rng2idlsubgsubrng.u	|- ( ph -> I e. (SubGrp ` R ) )

Assertion

Ref	Expression
rng2idlsubgsubrng	|- ( ph -> I e. (SubRng ` R ) )

Proof of Theorem rng2idlsubgsubrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlsubgsubrng.r	. 2 |- ( ph -> R e. Rng )
2		rng2idlsubgsubrng.i	. 2 |- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
3		eqid 2232	. . . . . 6 |- (LIdeal ` R ) = (LIdeal ` R )
4		eqid 2232	. . . . . 6 |- (oppr ` R ) = (oppr ` R )
5		eqid 2232	. . . . . 6 |- (LIdeal ` (oppr ` R ) ) = (LIdeal ` (oppr ` R ) )
6		eqid 2232	. . . . . 6 |- (2Ideal ` R ) = (2Ideal ` R )
7	3, 4, 5, 6	2idlelb 14645	. . . . 5 |- ( I e. (2Ideal ` R ) <-> ( I e. (LIdeal ` R ) /\ I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
8	7	simplbi 274	. . . 4 |- ( I e. (2Ideal ` R ) -> I e. (LIdeal ` R ) )
9	2, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> I e. (LIdeal ` R ) )
10		rng2idlsubgsubrng.u	. . 3 |- ( ph -> I e. (SubGrp ` R ) )
11		eqid 2232	. . . 4 |- ( R ↾s I ) = ( R ↾s I )
12	3, 11	rnglidlrng 14638	. . 3 |- ( ( R e. Rng /\ I e. (LIdeal ` R ) /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( R ↾s I ) e. Rng )
13	1, 9, 10, 12	syl3anc 1274	. 2 |- ( ph -> ( R ↾s I ) e. Rng )
14	1, 2, 13	rng2idlsubrng 14657	1 |- ( ph -> I e. (SubRng ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2203   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   ↾_s cress 13205  SubGrpcsubg 13876  Rngcrng 14068  opp_rcoppr 14203  SubRngcsubrng 14334  LIdealclidl 14607  2Idealc2idl 14639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-addcom 8226  ax-addass 8228  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-ltadd 8242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-ltxr 8312  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-sets 13211  df-iress 13212  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-sca 13298  df-vsca 13299  df-ip 13300  df-0g 13463  df-mgm 13561  df-sgrp 13607  df-mnd 13622  df-grp 13708  df-subg 13879  df-cmn 13995  df-abl 13996  df-mgp 14057  df-rng 14069  df-subrng 14335  df-lssm 14493  df-sra 14575  df-rgmod 14576  df-lidl 14609  df-2idl 14640

This theorem is referenced by:  rng2idlsubgnsg  14661  rng2idlsubg0  14662