Theorem rng2idlsubgsubrng 14857

Description: A two-sided ideal of a non-unital ring which is a subgroup of the ring is a subring of the ring. (Contributed by AV, 11-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlsubgsubrng.r	|- ( ph -> R e. Rng )
rng2idlsubgsubrng.i	|- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
rng2idlsubgsubrng.u	|- ( ph -> I e. (SubGrp ` R ) )

Assertion

Ref	Expression
rng2idlsubgsubrng	|- ( ph -> I e. (SubRng ` R ) )

Proof of Theorem rng2idlsubgsubrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlsubgsubrng.r	. 2 |- ( ph -> R e. Rng )
2		rng2idlsubgsubrng.i	. 2 |- ( ph -> I e. (2Ideal ` R ) )
3		eqid 2238	. . . . . 6 |- (LIdeal ` R ) = (LIdeal ` R )
4		eqid 2238	. . . . . 6 |- (oppr ` R ) = (oppr ` R )
5		eqid 2238	. . . . . 6 |- (LIdeal ` (oppr ` R ) ) = (LIdeal ` (oppr ` R ) )
6		eqid 2238	. . . . . 6 |- (2Ideal ` R ) = (2Ideal ` R )
7	3, 4, 5, 6	2idlelb 14842	. . . . 5 |- ( I e. (2Ideal ` R ) <-> ( I e. (LIdeal ` R ) /\ I e. (LIdeal ` (oppr ` R ) ) ) )
8	7	simplbi 274	. . . 4 |- ( I e. (2Ideal ` R ) -> I e. (LIdeal ` R ) )
9	2, 8	syl 14	. . 3 |- ( ph -> I e. (LIdeal ` R ) )
10		rng2idlsubgsubrng.u	. . 3 |- ( ph -> I e. (SubGrp ` R ) )
11		eqid 2238	. . . 4 |- ( R ↾s I ) = ( R ↾s I )
12	3, 11	rnglidlrng 14835	. . 3 |- ( ( R e. Rng /\ I e. (LIdeal ` R ) /\ I e. (SubGrp ` R ) ) -> ( R ↾s I ) e. Rng )
13	1, 9, 10, 12	syl3anc 1278	. 2 |- ( ph -> ( R ↾s I ) e. Rng )
14	1, 2, 13	rng2idlsubrng 14854	1 |- ( ph -> I e. (SubRng ` R ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   ↾_s cress 13353  SubGrpcsubg 13970  Rngcrng 14231  opp_rcoppr 14372  SubRngcsubrng 14505  LIdealclidl 14804  2Idealc2idl 14836

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-iress 13360  df-plusg 13444  df-mulr 13445  df-sca 13447  df-vsca 13448  df-ip 13449  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-subg 13973  df-cmn 14089  df-abl 14090  df-mgp 14218  df-rng 14232  df-subrng 14506  df-lssm 14690  df-sra 14772  df-rgmod 14773  df-lidl 14806  df-2idl 14837

This theorem is used by:  rng2idlsubgnsg  14858  rng2idlsubg0  14859