Theorem rng2idlsubrng 14446

Description: A two-sided ideal of a non-unital ring which is a non-unital ring is a subring of the ring. (Contributed by AV, 20-Feb-2025.) (Revised by AV, 11-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlsubrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlsubrng.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlsubrng.u	⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)

Assertion

Ref	Expression
rng2idlsubrng	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))

Proof of Theorem rng2idlsubrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlsubrng.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlsubrng.u	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
3		rng2idlsubrng.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
4		eqid 2209	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		eqid 2209	. . . 4 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
6	4, 5	2idlss 14443	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
7	3, 6	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
8	4	issubrng 14128	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅)))
9	1, 2, 7, 8	syl3anbrc 1186	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2180   ⊆ wss 3177  ‘cfv 5294  (class class class)co 5974  Basecbs 12998   ↾_s cress 12999  Rngcrng 13861  SubRngcsubrng 14126  2Idealc2idl 14428

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 713  ax-5 1473  ax-7 1474  ax-gen 1475  ax-ie1 1519  ax-ie2 1520  ax-8 1530  ax-10 1531  ax-11 1532  ax-i12 1533  ax-bndl 1535  ax-4 1536  ax-17 1552  ax-i9 1556  ax-ial 1560  ax-i5r 1561  ax-13 2182  ax-14 2183  ax-ext 2191  ax-coll 4178  ax-sep 4181  ax-pow 4237  ax-pr 4272  ax-un 4501  ax-setind 4606  ax-cnex 8058  ax-resscn 8059  ax-1cn 8060  ax-1re 8061  ax-icn 8062  ax-addcl 8063  ax-addrcl 8064  ax-mulcl 8065  ax-addcom 8067  ax-addass 8069  ax-i2m1 8072  ax-0lt1 8073  ax-0id 8075  ax-rnegex 8076  ax-pre-ltirr 8079  ax-pre-lttrn 8081  ax-pre-ltadd 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 985  df-tru 1378  df-fal 1381  df-nf 1487  df-sb 1789  df-eu 2060  df-mo 2061  df-clab 2196  df-cleq 2202  df-clel 2205  df-nfc 2341  df-ne 2381  df-nel 2476  df-ral 2493  df-rex 2494  df-reu 2495  df-rab 2497  df-v 2781  df-sbc 3009  df-csb 3105  df-dif 3179  df-un 3181  df-in 3183  df-ss 3190  df-nul 3472  df-pw 3631  df-sn 3652  df-pr 3653  df-op 3655  df-uni 3868  df-int 3903  df-iun 3946  df-br 4063  df-opab 4125  df-mpt 4126  df-id 4361  df-xp 4702  df-rel 4703  df-cnv 4704  df-co 4705  df-dm 4706  df-rn 4707  df-res 4708  df-ima 4709  df-iota 5254  df-fun 5296  df-fn 5297  df-f 5298  df-f1 5299  df-fo 5300  df-f1o 5301  df-fv 5302  df-ov 5977  df-oprab 5978  df-mpo 5979  df-pnf 8151  df-mnf 8152  df-ltxr 8154  df-inn 9079  df-2 9137  df-3 9138  df-4 9139  df-5 9140  df-6 9141  df-7 9142  df-8 9143  df-ndx 13001  df-slot 13002  df-base 13004  df-sets 13005  df-iress 13006  df-mulr 13090  df-sca 13092  df-vsca 13093  df-ip 13094  df-subrng 14127  df-lssm 14282  df-sra 14364  df-rgmod 14365  df-lidl 14398  df-2idl 14429

This theorem is referenced by:  rng2idlnsg  14447  rng2idl0  14448  rng2idlsubgsubrng  14449