Theorem rng2idlsubrng 14555

Description: A two-sided ideal of a non-unital ring which is a non-unital ring is a subring of the ring. (Contributed by AV, 20-Feb-2025.) (Revised by AV, 11-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng2idlsubrng.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rng2idlsubrng.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rng2idlsubrng.u	⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)

Assertion

Ref	Expression
rng2idlsubrng	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))

Proof of Theorem rng2idlsubrng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rng2idlsubrng.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
2		rng2idlsubrng.u	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng)
3		rng2idlsubrng.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
4		eqid 2230	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5		eqid 2230	. . . 4 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
6	4, 5	2idlss 14552	. . 3 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
7	3, 6	syl 14	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
8	4	issubrng 14237	. 2 ⊢ (𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑅 ↾s 𝐼) ∈ Rng ∧ 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅)))
9	1, 2, 7, 8	syl3anbrc 1207	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (SubRng‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2201   ⊆ wss 3199  ‘cfv 5328  (class class class)co 6023  Basecbs 13105   ↾_s cress 13106  Rngcrng 13969  SubRngcsubrng 14235  2Idealc2idl 14537

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1cn 8130  ax-1re 8131  ax-icn 8132  ax-addcl 8133  ax-addrcl 8134  ax-mulcl 8135  ax-addcom 8137  ax-addass 8139  ax-i2m1 8142  ax-0lt1 8143  ax-0id 8145  ax-rnegex 8146  ax-pre-ltirr 8149  ax-pre-lttrn 8151  ax-pre-ltadd 8153

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-nul 3494  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-ltxr 8224  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-iress 13113  df-mulr 13197  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-ip 13201  df-subrng 14236  df-lssm 14391  df-sra 14473  df-rgmod 14474  df-lidl 14507  df-2idl 14538

This theorem is referenced by:  rng2idlnsg  14556  rng2idl0  14557  rng2idlsubgsubrng  14558