ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rngplusgg GIF version

Theorem rngplusgg 12085
Description: The additive operation of a constructed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rngfn.r 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
Assertion
Ref Expression
rngplusgg ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → + = (+g𝑅))

Proof of Theorem rngplusgg
StepHypRef Expression
1 plusgslid 12063 . 2 (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
2 rngfn.r . . 3 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
32rngstrg 12083 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → 𝑅 Struct ⟨1, 3⟩)
4 simp2 982 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → +𝑊)
51simpri 112 . . . . 5 (+g‘ndx) ∈ ℕ
6 opexg 4150 . . . . 5 (((+g‘ndx) ∈ ℕ ∧ +𝑊) → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V)
75, 4, 6sylancr 410 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V)
8 tpid2g 3637 . . . 4 (⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
97, 8syl 14 . . 3 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
109, 2eleqtrrdi 2233 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ 𝑅)
111, 3, 4, 10opelstrsl 12064 1 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → + = (+g𝑅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 962   = wceq 1331  wcel 1480  Vcvv 2686  {ctp 3529  cop 3530  cfv 5123  1c1 7628  cn 8727  3c3 8779  ndxcnx 11965  Slot cslot 11967  Basecbs 11968  +gcplusg 12030  .rcmulr 12031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-apti 7742  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-tp 3535  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-2 8786  df-3 8787  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-fz 9798  df-struct 11970  df-ndx 11971  df-slot 11972  df-base 11974  df-plusg 12043  df-mulr 12044
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator