ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rngplusgg GIF version

Theorem rngplusgg 12535
Description: The additive operation of a constructed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rngfn.r 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
Assertion
Ref Expression
rngplusgg ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → + = (+g𝑅))

Proof of Theorem rngplusgg
StepHypRef Expression
1 plusgslid 12513 . 2 (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
2 rngfn.r . . 3 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
32rngstrg 12533 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → 𝑅 Struct ⟨1, 3⟩)
4 simp2 993 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → +𝑊)
51simpri 112 . . . . 5 (+g‘ndx) ∈ ℕ
6 opexg 4213 . . . . 5 (((+g‘ndx) ∈ ℕ ∧ +𝑊) → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V)
75, 4, 6sylancr 412 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V)
8 tpid2g 3697 . . . 4 (⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
97, 8syl 14 . . 3 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
109, 2eleqtrrdi 2264 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ 𝑅)
111, 3, 4, 10opelstrsl 12514 1 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → + = (+g𝑅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 973   = wceq 1348  wcel 2141  Vcvv 2730  {ctp 3585  cop 3586  cfv 5198  1c1 7775  cn 8878  3c3 8930  ndxcnx 12413  Slot cslot 12415  Basecbs 12416  +gcplusg 12480  .rcmulr 12481
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-addcom 7874  ax-addass 7876  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-tp 3591  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-id 4278  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-inn 8879  df-2 8937  df-3 8938  df-n0 9136  df-z 9213  df-uz 9488  df-fz 9966  df-struct 12418  df-ndx 12419  df-slot 12420  df-base 12422  df-plusg 12493  df-mulr 12494
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator