ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rngplusgg GIF version

Theorem rngplusgg 12377
Description: The additive operation of a constructed ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
rngfn.r 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
Assertion
Ref Expression
rngplusgg ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → + = (+g𝑅))

Proof of Theorem rngplusgg
StepHypRef Expression
1 plusgslid 12355 . 2 (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
2 rngfn.r . . 3 𝑅 = {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩}
32rngstrg 12375 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → 𝑅 Struct ⟨1, 3⟩)
4 simp2 983 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → +𝑊)
51simpri 112 . . . . 5 (+g‘ndx) ∈ ℕ
6 opexg 4190 . . . . 5 (((+g‘ndx) ∈ ℕ ∧ +𝑊) → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V)
75, 4, 6sylancr 411 . . . 4 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V)
8 tpid2g 3675 . . . 4 (⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
97, 8syl 14 . . 3 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
109, 2eleqtrrdi 2251 . 2 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ 𝑅)
111, 3, 4, 10opelstrsl 12356 1 ((𝐵𝑉+𝑊·𝑋) → + = (+g𝑅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  w3a 963   = wceq 1335  wcel 2128  Vcvv 2712  {ctp 3563  cop 3564  cfv 5172  1c1 7735  cn 8838  3c3 8890  ndxcnx 12257  Slot cslot 12259  Basecbs 12260  +gcplusg 12322  .rcmulr 12323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-sep 4084  ax-pow 4137  ax-pr 4171  ax-un 4395  ax-setind 4498  ax-cnex 7825  ax-resscn 7826  ax-1cn 7827  ax-1re 7828  ax-icn 7829  ax-addcl 7830  ax-addrcl 7831  ax-mulcl 7832  ax-addcom 7834  ax-addass 7836  ax-distr 7838  ax-i2m1 7839  ax-0lt1 7840  ax-0id 7842  ax-rnegex 7843  ax-cnre 7845  ax-pre-ltirr 7846  ax-pre-ltwlin 7847  ax-pre-lttrn 7848  ax-pre-apti 7849  ax-pre-ltadd 7850
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-nel 2423  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-nul 3396  df-pw 3546  df-sn 3567  df-pr 3568  df-tp 3569  df-op 3570  df-uni 3775  df-int 3810  df-br 3968  df-opab 4028  df-mpt 4029  df-id 4255  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-iota 5137  df-fun 5174  df-fn 5175  df-f 5176  df-fv 5180  df-riota 5782  df-ov 5829  df-oprab 5830  df-mpo 5831  df-pnf 7916  df-mnf 7917  df-xr 7918  df-ltxr 7919  df-le 7920  df-sub 8052  df-neg 8053  df-inn 8839  df-2 8897  df-3 8898  df-n0 9096  df-z 9173  df-uz 9445  df-fz 9919  df-struct 12262  df-ndx 12263  df-slot 12264  df-base 12266  df-plusg 12335  df-mulr 12336
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator