Theorem rspex 14512

Description: Existence of the ring span. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rspex	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (RSpan‘𝑊) ∈ V)

Proof of Theorem rspex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspvalg 14510	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)))
2		rlmfn 14491	. . . 4 ⊢ ringLMod Fn V
3		elex 2813	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
4		funfvex 5659	. . . . 5 ⊢ ((Fun ringLMod ∧ 𝑊 ∈ dom ringLMod) → (ringLMod‘𝑊) ∈ V)
5	4	funfni 5434	. . . 4 ⊢ ((ringLMod Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (ringLMod‘𝑊) ∈ V)
6	2, 3, 5	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (ringLMod‘𝑊) ∈ V)
7		lspex 14433	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘𝑊) ∈ V → (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)) ∈ V)
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)) ∈ V)
9	1, 8	eqeltrd 2307	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (RSpan‘𝑊) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2201  Vcvv 2801   Fn wfn 5323  ‘cfv 5328  LSpanclspn 14424  ringLModcrglmod 14472  RSpancrsp 14506

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-coll 4205  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1re 8131  ax-addrcl 8134

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-ral 2514  df-rex 2515  df-reu 2516  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-int 3930  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-f1 5333  df-fo 5334  df-f1o 5335  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-inn 9149  df-2 9207  df-3 9208  df-4 9209  df-5 9210  df-6 9211  df-7 9212  df-8 9213  df-ndx 13108  df-slot 13109  df-base 13111  df-sets 13112  df-iress 13113  df-mulr 13197  df-sca 13199  df-vsca 13200  df-ip 13201  df-lsp 14425  df-sra 14473  df-rgmod 14474  df-rsp 14508

This theorem is referenced by:  znval  14674  znle  14675  znbaslemnn  14677  znbas  14682  znzrhval  14685  znzrhfo  14686