Theorem rspex 14446

Description: Existence of the ring span. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rspex	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (RSpan‘𝑊) ∈ V)

Proof of Theorem rspex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspvalg 14444	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)))
2		rlmfn 14425	. . . 4 ⊢ ringLMod Fn V
3		elex 2811	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
4		funfvex 5646	. . . . 5 ⊢ ((Fun ringLMod ∧ 𝑊 ∈ dom ringLMod) → (ringLMod‘𝑊) ∈ V)
5	4	funfni 5423	. . . 4 ⊢ ((ringLMod Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (ringLMod‘𝑊) ∈ V)
6	2, 3, 5	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (ringLMod‘𝑊) ∈ V)
7		lspex 14367	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘𝑊) ∈ V → (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)) ∈ V)
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)) ∈ V)
9	1, 8	eqeltrd 2306	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (RSpan‘𝑊) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   Fn wfn 5313  ‘cfv 5318  LSpanclspn 14358  ringLModcrglmod 14406  RSpancrsp 14440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1re 8101  ax-addrcl 8104

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-inn 9119  df-2 9177  df-3 9178  df-4 9179  df-5 9180  df-6 9181  df-7 9182  df-8 9183  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-sets 13047  df-iress 13048  df-mulr 13132  df-sca 13134  df-vsca 13135  df-ip 13136  df-lsp 14359  df-sra 14407  df-rgmod 14408  df-rsp 14442

This theorem is referenced by:  znval  14608  znle  14609  znbaslemnn  14611  znbas  14616  znzrhval  14619  znzrhfo  14620