Theorem rspex 13783

Description: Existence of the ring span. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rspex	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (RSpan‘𝑊) ∈ V)

Proof of Theorem rspex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspvalg 13781	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)))
2		rlmfn 13762	. . . 4 ⊢ ringLMod Fn V
3		elex 2763	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
4		funfvex 5548	. . . . 5 ⊢ ((Fun ringLMod ∧ 𝑊 ∈ dom ringLMod) → (ringLMod‘𝑊) ∈ V)
5	4	funfni 5332	. . . 4 ⊢ ((ringLMod Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (ringLMod‘𝑊) ∈ V)
6	2, 3, 5	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (ringLMod‘𝑊) ∈ V)
7		lspex 13704	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘𝑊) ∈ V → (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)) ∈ V)
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)) ∈ V)
9	1, 8	eqeltrd 2266	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (RSpan‘𝑊) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2160  Vcvv 2752   Fn wfn 5227  ‘cfv 5232  LSpanclspn 13695  ringLModcrglmod 13743  RSpancrsp 13777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-cnex 7927  ax-resscn 7928  ax-1re 7930  ax-addrcl 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-inn 8945  df-2 9003  df-3 9004  df-4 9005  df-5 9006  df-6 9007  df-7 9008  df-8 9009  df-ndx 12510  df-slot 12511  df-base 12513  df-sets 12514  df-iress 12515  df-mulr 12596  df-sca 12598  df-vsca 12599  df-ip 12600  df-lsp 13696  df-sra 13744  df-rgmod 13745  df-rsp 13779

This theorem is referenced by:  znval  13925  znle  13926  znbaslemnn  13928  znbas  13932