Theorem rspex 14280

Description: Existence of the ring span. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rspex	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (RSpan‘𝑊) ∈ V)

Proof of Theorem rspex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspvalg 14278	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)))
2		rlmfn 14259	. . . 4 ⊢ ringLMod Fn V
3		elex 2784	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
4		funfvex 5600	. . . . 5 ⊢ ((Fun ringLMod ∧ 𝑊 ∈ dom ringLMod) → (ringLMod‘𝑊) ∈ V)
5	4	funfni 5381	. . . 4 ⊢ ((ringLMod Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (ringLMod‘𝑊) ∈ V)
6	2, 3, 5	sylancr 414	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (ringLMod‘𝑊) ∈ V)
7		lspex 14201	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘𝑊) ∈ V → (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)) ∈ V)
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)) ∈ V)
9	1, 8	eqeltrd 2283	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (RSpan‘𝑊) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   Fn wfn 5271  ‘cfv 5276  LSpanclspn 14192  ringLModcrglmod 14240  RSpancrsp 14274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1re 8026  ax-addrcl 8029

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-iress 12884  df-mulr 12967  df-sca 12969  df-vsca 12970  df-ip 12971  df-lsp 14193  df-sra 14241  df-rgmod 14242  df-rsp 14276

This theorem is referenced by:  znval  14442  znle  14443  znbaslemnn  14445  znbas  14450  znzrhval  14453  znzrhfo  14454