Theorem rspex 14794

Description: Existence of the ring span. (Contributed by Jim Kingdon, 25-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
rspex	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (RSpan‘𝑊) ∈ V)

Proof of Theorem rspex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rspvalg 14792	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)))
2		rlmfn 14773	. . . 4 ⊢ ringLMod Fn V
3		elex 2833	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
4		funfvex 5710	. . . . 5 ⊢ ((Fun ringLMod ∧ 𝑊 ∈ dom ringLMod) → (ringLMod‘𝑊) ∈ V)
5	4	funfni 5481	. . . 4 ⊢ ((ringLMod Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → (ringLMod‘𝑊) ∈ V)
6	2, 3, 5	sylancr 418	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (ringLMod‘𝑊) ∈ V)
7		lspex 14715	. . 3 ⊢ ((ringLMod‘𝑊) ∈ V → (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)) ∈ V)
8	6, 7	syl 14	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)) ∈ V)
9	1, 8	eqeltrd 2315	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (RSpan‘𝑊) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   Fn wfn 5370  ‘cfv 5375  LSpanclspn 14706  ringLModcrglmod 14754  RSpancrsp 14788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-ip 13432  df-lsp 14707  df-sra 14755  df-rgmod 14756  df-rsp 14790

This theorem is referenced by:  znval  14954  znle  14955  znbaslemnn  14957  znbas  14962  znzrhval  14965  znzrhfo  14966