Theorem znzrhval 14146

Description: The ZZ ring homomorphism maps elements to their equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znzrh2.s	|- S = (RSpan ` ℤring )
znzrh2.r	|- .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
znzrh2.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znzrh2.2	|- L = ( ZRHom ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znzrhval	|- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) = [ A ] .~ )

Proof of Theorem znzrhval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znzrh2.s	. . . . 5 |- S = (RSpan ` ℤring )
2		znzrh2.r	. . . . 5 |- .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
3		znzrh2.y	. . . . 5 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
4		znzrh2.2	. . . . 5 |- L = ( ZRHom ` Y )
5	1, 2, 3, 4	znzrh2 14145	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> L = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) )
6	5	fveq1d 5557	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( L ` A ) = ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) ` A ) )
7	6	adantr 276	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) = ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) ` A ) )
8		eqid 2193	. . 3 |- ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ )
9		eceq1 6624	. . 3 |- ( x = A -> [ x ] .~ = [ A ] .~ )
10		simpr 110	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> A e. ZZ )
11		zringring 14092	. . . . . 6 |- ℤring e. Ring
12		rspex 13973	. . . . . . . . 9 |- (ℤring e. Ring -> (RSpan ` ℤring ) e. _V )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- (RSpan ` ℤring ) e. _V
14	1, 13	eqeltri 2266	. . . . . . 7 |- S e. _V
15		snexg 4214	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> { N } e. _V )
16	15	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> { N } e. _V )
17		fvexg 5574	. . . . . . 7 |- ( ( S e. _V /\ { N } e. _V ) -> ( S ` { N } ) e. _V )
18	14, 16, 17	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( S ` { N } ) e. _V )
19		eqgex 13294	. . . . . 6 |- ( (ℤring e. Ring /\ ( S ` { N } ) e. _V ) -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
20	11, 18, 19	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
21	2, 20	eqeltrid 2280	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> .~ e. _V )
22		ecexg 6593	. . . 4 |- ( .~ e. _V -> [ A ] .~ e. _V )
23	21, 22	syl 14	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> [ A ] .~ e. _V )
24	8, 9, 10, 23	fvmptd3 5652	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) ` A ) = [ A ] .~ )
25	7, 24	eqtrd 2226	1 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) = [ A ] .~ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2164   _Vcvv 2760   {csn 3619   |-> cmpt 4091   ` cfv 5255  (class class class)co 5919   [cec 6587   NN0cn0 9243   ZZcz 9320   ~_QG cqg 13242   Ringcrg 13495  RSpancrsp 13967  ℤ_ringczring 14089   ZRHomczrh 14110  ℤ/nℤczn 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-nul 4156  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-iinf 4621  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-mulrcl 7973  ax-addcom 7974  ax-mulcom 7975  ax-addass 7976  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-1rid 7981  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-precex 7984  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-apti 7989  ax-pre-ltadd 7990  ax-pre-mulgt0 7991  ax-addf 7996  ax-mulf 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3448  df-if 3559  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-tp 3627  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-tr 4129  df-id 4325  df-iord 4398  df-on 4400  df-ilim 4401  df-suc 4403  df-iom 4624  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-1st 6195  df-2nd 6196  df-tpos 6300  df-recs 6360  df-frec 6446  df-er 6589  df-ec 6591  df-qs 6595  df-map 6706  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-reap 8596  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-9 9050  df-n0 9244  df-z 9321  df-dec 9452  df-uz 9596  df-rp 9723  df-fz 10078  df-fzo 10212  df-seqfrec 10522  df-cj 10989  df-abs 11146  df-struct 12623  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-plusg 12711  df-mulr 12712  df-starv 12713  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-ip 12716  df-tset 12717  df-ple 12718  df-ds 12720  df-unif 12721  df-0g 12872  df-topgen 12874  df-iimas 12888  df-qus 12889  df-mgm 12942  df-sgrp 12988  df-mnd 13001  df-mhm 13034  df-grp 13078  df-minusg 13079  df-sbg 13080  df-mulg 13193  df-subg 13243  df-nsg 13244  df-eqg 13245  df-ghm 13314  df-cmn 13359  df-abl 13360  df-mgp 13420  df-rng 13432  df-ur 13459  df-srg 13463  df-ring 13497  df-cring 13498  df-oppr 13567  df-rhm 13651  df-subrg 13718  df-lmod 13788  df-lssm 13852  df-lsp 13886  df-sra 13934  df-rgmod 13935  df-lidl 13968  df-rsp 13969  df-2idl 13999  df-bl 14045  df-mopn 14046  df-fg 14048  df-metu 14049  df-cnfld 14056  df-zring 14090  df-zrh 14113  df-zn 14115

This theorem is referenced by:  zndvds  14148