Theorem znzrhval 14984

Description: The ZZ ring homomorphism maps elements to their equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znzrh2.s	|- S = (RSpan ` ℤring )
znzrh2.r	|- .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
znzrh2.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znzrh2.2	|- L = ( ZRHom ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znzrhval	|- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) = [ A ] .~ )

Proof of Theorem znzrhval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znzrh2.s	. . . . 5 |- S = (RSpan ` ℤring )
2		znzrh2.r	. . . . 5 |- .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
3		znzrh2.y	. . . . 5 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
4		znzrh2.2	. . . . 5 |- L = ( ZRHom ` Y )
5	1, 2, 3, 4	znzrh2 14983	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> L = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) )
6	5	fveq1d 5697	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( L ` A ) = ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) ` A ) )
7	6	adantr 276	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) = ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) ` A ) )
8		eqid 2238	. . 3 |- ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ )
9		eceq1 6842	. . 3 |- ( x = A -> [ x ] .~ = [ A ] .~ )
10		simpr 110	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> A e. ZZ )
11		zringring 14930	. . . . . 6 |- ℤring e. Ring
12		rspex 14813	. . . . . . . . 9 |- (ℤring e. Ring -> (RSpan ` ℤring ) e. _V )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- (RSpan ` ℤring ) e. _V
14	1, 13	eqeltri 2311	. . . . . . 7 |- S e. _V
15		snexg 4321	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> { N } e. _V )
16	15	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> { N } e. _V )
17		fvexg 5714	. . . . . . 7 |- ( ( S e. _V /\ { N } e. _V ) -> ( S ` { N } ) e. _V )
18	14, 16, 17	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( S ` { N } ) e. _V )
19		eqgex 14026	. . . . . 6 |- ( (ℤring e. Ring /\ ( S ` { N } ) e. _V ) -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
20	11, 18, 19	sylancr 418	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
21	2, 20	eqeltrid 2325	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> .~ e. _V )
22		ecexg 6811	. . . 4 |- ( .~ e. _V -> [ A ] .~ e. _V )
23	21, 22	syl 14	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> [ A ] .~ e. _V )
24	8, 9, 10, 23	fvmptd3 5799	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) ` A ) = [ A ] .~ )
25	7, 24	eqtrd 2271	1 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) = [ A ] .~ )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {csn 3709   |-> cmpt 4192   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   [cec 6805   NN0cn0 9565   ZZcz 9646   ~_QG cqg 13974   Ringcrg 14302  RSpancrsp 14807  ℤ_ringczring 14927   ZRHomczrh 14948  ℤ/nℤczn 14950

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-addf 8301  ax-mulf 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-tpos 6516  df-recs 6576  df-frec 6662  df-er 6807  df-ec 6809  df-qs 6813  df-map 6924  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8904  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-z 9647  df-dec 9780  df-uz 9924  df-rp 10057  df-fz 10414  df-fzo 10552  df-seqfrec 10887  df-cj 11609  df-abs 11767  df-struct 13356  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-sets 13361  df-iress 13362  df-plusg 13446  df-mulr 13447  df-starv 13448  df-sca 13449  df-vsca 13450  df-ip 13451  df-tset 13452  df-ple 13453  df-ds 13455  df-unif 13456  df-0g 13614  df-topgen 13616  df-iimas 13626  df-qus 13627  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-mnd 13732  df-mhm 13768  df-grp 13810  df-minusg 13811  df-sbg 13812  df-mulg 13925  df-subg 13975  df-nsg 13976  df-eqg 13977  df-ghm 14046  df-cmn 14091  df-abl 14092  df-mgp 14220  df-rng 14234  df-ur 14265  df-srg 14270  df-ring 14304  df-cring 14305  df-oppr 14375  df-rhm 14461  df-subrg 14529  df-lmod 14627  df-lssm 14692  df-lsp 14726  df-sra 14774  df-rgmod 14775  df-lidl 14808  df-rsp 14809  df-2idl 14839  df-bl 14885  df-mopn 14886  df-fg 14888  df-metu 14889  df-cnfld 14896  df-zring 14928  df-zrh 14951  df-zn 14953

This theorem is used by:  zndvds  14986