Theorem znzrhval 14844

Description: The ZZ ring homomorphism maps elements to their equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znzrh2.s	|- S = (RSpan ` ℤring )
znzrh2.r	|- .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
znzrh2.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znzrh2.2	|- L = ( ZRHom ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znzrhval	|- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) = [ A ] .~ )

Proof of Theorem znzrhval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znzrh2.s	. . . . 5 |- S = (RSpan ` ℤring )
2		znzrh2.r	. . . . 5 |- .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
3		znzrh2.y	. . . . 5 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
4		znzrh2.2	. . . . 5 |- L = ( ZRHom ` Y )
5	1, 2, 3, 4	znzrh2 14843	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> L = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) )
6	5	fveq1d 5674	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( L ` A ) = ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) ` A ) )
7	6	adantr 276	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) = ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) ` A ) )
8		eqid 2234	. . 3 |- ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ )
9		eceq1 6804	. . 3 |- ( x = A -> [ x ] .~ = [ A ] .~ )
10		simpr 110	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> A e. ZZ )
11		zringring 14790	. . . . . 6 |- ℤring e. Ring
12		rspex 14671	. . . . . . . . 9 |- (ℤring e. Ring -> (RSpan ` ℤring ) e. _V )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- (RSpan ` ℤring ) e. _V
14	1, 13	eqeltri 2307	. . . . . . 7 |- S e. _V
15		snexg 4299	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> { N } e. _V )
16	15	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> { N } e. _V )
17		fvexg 5691	. . . . . . 7 |- ( ( S e. _V /\ { N } e. _V ) -> ( S ` { N } ) e. _V )
18	14, 16, 17	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( S ` { N } ) e. _V )
19		eqgex 13959	. . . . . 6 |- ( (ℤring e. Ring /\ ( S ` { N } ) e. _V ) -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
20	11, 18, 19	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
21	2, 20	eqeltrid 2321	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> .~ e. _V )
22		ecexg 6773	. . . 4 |- ( .~ e. _V -> [ A ] .~ e. _V )
23	21, 22	syl 14	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> [ A ] .~ e. _V )
24	8, 9, 10, 23	fvmptd3 5773	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) ` A ) = [ A ] .~ )
25	7, 24	eqtrd 2267	1 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) = [ A ] .~ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   {csn 3691   |-> cmpt 4173   ` cfv 5354  (class class class)co 6052   [cec 6767   NN0cn0 9501   ZZcz 9582   ~_QG cqg 13907   Ringcrg 14161  RSpancrsp 14665  ℤ_ringczring 14787   ZRHomczrh 14808  ℤ/nℤczn 14810

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-mulrcl 8231  ax-addcom 8232  ax-mulcom 8233  ax-addass 8234  ax-mulass 8235  ax-distr 8236  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-1rid 8239  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-precex 8242  ax-cnre 8243  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-ltwlin 8245  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-apti 8247  ax-pre-ltadd 8248  ax-pre-mulgt0 8249  ax-addf 8254  ax-mulf 8255

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-if 3623  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-tp 3699  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-ilim 4492  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-tpos 6478  df-recs 6538  df-frec 6624  df-er 6769  df-ec 6771  df-qs 6775  df-map 6886  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-xr 8317  df-ltxr 8318  df-le 8319  df-sub 8451  df-neg 8452  df-reap 8854  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-9 9308  df-n0 9502  df-z 9583  df-dec 9716  df-uz 9860  df-rp 9993  df-fz 10349  df-fzo 10484  df-seqfrec 10817  df-cj 11535  df-abs 11692  df-struct 13235  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-sets 13240  df-iress 13241  df-plusg 13324  df-mulr 13325  df-starv 13326  df-sca 13327  df-vsca 13328  df-ip 13329  df-tset 13330  df-ple 13331  df-ds 13333  df-unif 13334  df-0g 13492  df-topgen 13494  df-iimas 13536  df-qus 13537  df-mgm 13590  df-sgrp 13636  df-mnd 13651  df-mhm 13693  df-grp 13737  df-minusg 13738  df-sbg 13739  df-mulg 13858  df-subg 13908  df-nsg 13909  df-eqg 13910  df-ghm 13979  df-cmn 14024  df-abl 14025  df-mgp 14086  df-rng 14098  df-ur 14125  df-srg 14129  df-ring 14163  df-cring 14164  df-oppr 14233  df-rhm 14319  df-subrg 14387  df-lmod 14486  df-lssm 14550  df-lsp 14584  df-sra 14632  df-rgmod 14633  df-lidl 14666  df-rsp 14667  df-2idl 14697  df-bl 14743  df-mopn 14744  df-fg 14746  df-metu 14747  df-cnfld 14754  df-zring 14788  df-zrh 14811  df-zn 14813

This theorem is referenced by:  zndvds  14846