Theorem znzrhval 14213

Description: The ZZ ring homomorphism maps elements to their equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znzrh2.s	|- S = (RSpan ` ℤring )
znzrh2.r	|- .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
znzrh2.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znzrh2.2	|- L = ( ZRHom ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znzrhval	|- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) = [ A ] .~ )

Proof of Theorem znzrhval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znzrh2.s	. . . . 5 |- S = (RSpan ` ℤring )
2		znzrh2.r	. . . . 5 |- .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
3		znzrh2.y	. . . . 5 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
4		znzrh2.2	. . . . 5 |- L = ( ZRHom ` Y )
5	1, 2, 3, 4	znzrh2 14212	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> L = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) )
6	5	fveq1d 5561	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( L ` A ) = ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) ` A ) )
7	6	adantr 276	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) = ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) ` A ) )
8		eqid 2196	. . 3 |- ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ )
9		eceq1 6628	. . 3 |- ( x = A -> [ x ] .~ = [ A ] .~ )
10		simpr 110	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> A e. ZZ )
11		zringring 14159	. . . . . 6 |- ℤring e. Ring
12		rspex 14040	. . . . . . . . 9 |- (ℤring e. Ring -> (RSpan ` ℤring ) e. _V )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- (RSpan ` ℤring ) e. _V
14	1, 13	eqeltri 2269	. . . . . . 7 |- S e. _V
15		snexg 4218	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> { N } e. _V )
16	15	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> { N } e. _V )
17		fvexg 5578	. . . . . . 7 |- ( ( S e. _V /\ { N } e. _V ) -> ( S ` { N } ) e. _V )
18	14, 16, 17	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( S ` { N } ) e. _V )
19		eqgex 13361	. . . . . 6 |- ( (ℤring e. Ring /\ ( S ` { N } ) e. _V ) -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
20	11, 18, 19	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
21	2, 20	eqeltrid 2283	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> .~ e. _V )
22		ecexg 6597	. . . 4 |- ( .~ e. _V -> [ A ] .~ e. _V )
23	21, 22	syl 14	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> [ A ] .~ e. _V )
24	8, 9, 10, 23	fvmptd3 5656	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) ` A ) = [ A ] .~ )
25	7, 24	eqtrd 2229	1 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) = [ A ] .~ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   {csn 3623   |-> cmpt 4095   ` cfv 5259  (class class class)co 5923   [cec 6591   NN0cn0 9251   ZZcz 9328   ~_QG cqg 13309   Ringcrg 13562  RSpancrsp 14034  ℤ_ringczring 14156   ZRHomczrh 14177  ℤ/nℤczn 14179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-addf 8003  ax-mulf 8004

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-tpos 6304  df-recs 6364  df-frec 6450  df-er 6593  df-ec 6595  df-qs 6599  df-map 6710  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-5 9054  df-6 9055  df-7 9056  df-8 9057  df-9 9058  df-n0 9252  df-z 9329  df-dec 9460  df-uz 9604  df-rp 9731  df-fz 10086  df-fzo 10220  df-seqfrec 10542  df-cj 11009  df-abs 11166  df-struct 12690  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-sets 12695  df-iress 12696  df-plusg 12778  df-mulr 12779  df-starv 12780  df-sca 12781  df-vsca 12782  df-ip 12783  df-tset 12784  df-ple 12785  df-ds 12787  df-unif 12788  df-0g 12939  df-topgen 12941  df-iimas 12955  df-qus 12956  df-mgm 13009  df-sgrp 13055  df-mnd 13068  df-mhm 13101  df-grp 13145  df-minusg 13146  df-sbg 13147  df-mulg 13260  df-subg 13310  df-nsg 13311  df-eqg 13312  df-ghm 13381  df-cmn 13426  df-abl 13427  df-mgp 13487  df-rng 13499  df-ur 13526  df-srg 13530  df-ring 13564  df-cring 13565  df-oppr 13634  df-rhm 13718  df-subrg 13785  df-lmod 13855  df-lssm 13919  df-lsp 13953  df-sra 14001  df-rgmod 14002  df-lidl 14035  df-rsp 14036  df-2idl 14066  df-bl 14112  df-mopn 14113  df-fg 14115  df-metu 14116  df-cnfld 14123  df-zring 14157  df-zrh 14180  df-zn 14182

This theorem is referenced by:  zndvds  14215