Theorem znzrhval 14787

Description: The ZZ ring homomorphism maps elements to their equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znzrh2.s	|- S = (RSpan ` ℤring )
znzrh2.r	|- .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
znzrh2.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znzrh2.2	|- L = ( ZRHom ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znzrhval	|- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) = [ A ] .~ )

Proof of Theorem znzrhval

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znzrh2.s	. . . . 5 |- S = (RSpan ` ℤring )
2		znzrh2.r	. . . . 5 |- .~ = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
3		znzrh2.y	. . . . 5 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
4		znzrh2.2	. . . . 5 |- L = ( ZRHom ` Y )
5	1, 2, 3, 4	znzrh2 14786	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> L = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) )
6	5	fveq1d 5671	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( L ` A ) = ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) ` A ) )
7	6	adantr 276	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) = ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) ` A ) )
8		eqid 2232	. . 3 |- ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) = ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ )
9		eceq1 6801	. . 3 |- ( x = A -> [ x ] .~ = [ A ] .~ )
10		simpr 110	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> A e. ZZ )
11		zringring 14733	. . . . . 6 |- ℤring e. Ring
12		rspex 14614	. . . . . . . . 9 |- (ℤring e. Ring -> (RSpan ` ℤring ) e. _V )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- (RSpan ` ℤring ) e. _V
14	1, 13	eqeltri 2305	. . . . . . 7 |- S e. _V
15		snexg 4296	. . . . . . . 8 |- ( N e. NN0 -> { N } e. _V )
16	15	adantr 276	. . . . . . 7 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> { N } e. _V )
17		fvexg 5688	. . . . . . 7 |- ( ( S e. _V /\ { N } e. _V ) -> ( S ` { N } ) e. _V )
18	14, 16, 17	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( S ` { N } ) e. _V )
19		eqgex 13930	. . . . . 6 |- ( (ℤring e. Ring /\ ( S ` { N } ) e. _V ) -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
20	11, 18, 19	sylancr 414	. . . . 5 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
21	2, 20	eqeltrid 2319	. . . 4 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> .~ e. _V )
22		ecexg 6770	. . . 4 |- ( .~ e. _V -> [ A ] .~ e. _V )
23	21, 22	syl 14	. . 3 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> [ A ] .~ e. _V )
24	8, 9, 10, 23	fvmptd3 5770	. 2 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( ( x e. ZZ |-> [ x ] .~ ) ` A ) = [ A ] .~ )
25	7, 24	eqtrd 2265	1 |- ( ( N e. NN0 /\ A e. ZZ ) -> ( L ` A ) = [ A ] .~ )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   _Vcvv 2812   {csn 3688   |-> cmpt 4170   ` cfv 5351  (class class class)co 6049   [cec 6764   NN0cn0 9495   ZZcz 9576   ~_QG cqg 13878   Ringcrg 14132  RSpancrsp 14608  ℤ_ringczring 14730   ZRHomczrh 14751  ℤ/nℤczn 14753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-nul 4235  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-iinf 4709  ax-cnex 8217  ax-resscn 8218  ax-1cn 8219  ax-1re 8220  ax-icn 8221  ax-addcl 8222  ax-addrcl 8223  ax-mulcl 8224  ax-mulrcl 8225  ax-addcom 8226  ax-mulcom 8227  ax-addass 8228  ax-mulass 8229  ax-distr 8230  ax-i2m1 8231  ax-0lt1 8232  ax-1rid 8233  ax-0id 8234  ax-rnegex 8235  ax-precex 8236  ax-cnre 8237  ax-pre-ltirr 8238  ax-pre-ltwlin 8239  ax-pre-lttrn 8240  ax-pre-apti 8241  ax-pre-ltadd 8242  ax-pre-mulgt0 8243  ax-addf 8248  ax-mulf 8249

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-if 3620  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-tp 3696  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-tr 4208  df-id 4413  df-iord 4486  df-on 4488  df-ilim 4489  df-suc 4491  df-iom 4712  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-riota 6002  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-tpos 6475  df-recs 6535  df-frec 6621  df-er 6766  df-ec 6768  df-qs 6772  df-map 6883  df-pnf 8309  df-mnf 8310  df-xr 8311  df-ltxr 8312  df-le 8313  df-sub 8445  df-neg 8446  df-reap 8848  df-inn 9237  df-2 9295  df-3 9296  df-4 9297  df-5 9298  df-6 9299  df-7 9300  df-8 9301  df-9 9302  df-n0 9496  df-z 9577  df-dec 9709  df-uz 9853  df-rp 9986  df-fz 10342  df-fzo 10476  df-seqfrec 10809  df-cj 11523  df-abs 11680  df-struct 13206  df-ndx 13207  df-slot 13208  df-base 13210  df-sets 13211  df-iress 13212  df-plusg 13295  df-mulr 13296  df-starv 13297  df-sca 13298  df-vsca 13299  df-ip 13300  df-tset 13301  df-ple 13302  df-ds 13304  df-unif 13305  df-0g 13463  df-topgen 13465  df-iimas 13507  df-qus 13508  df-mgm 13561  df-sgrp 13607  df-mnd 13622  df-mhm 13664  df-grp 13708  df-minusg 13709  df-sbg 13710  df-mulg 13829  df-subg 13879  df-nsg 13880  df-eqg 13881  df-ghm 13950  df-cmn 13995  df-abl 13996  df-mgp 14057  df-rng 14069  df-ur 14096  df-srg 14100  df-ring 14134  df-cring 14135  df-oppr 14204  df-rhm 14289  df-subrg 14356  df-lmod 14429  df-lssm 14493  df-lsp 14527  df-sra 14575  df-rgmod 14576  df-lidl 14609  df-rsp 14610  df-2idl 14640  df-bl 14686  df-mopn 14687  df-fg 14689  df-metu 14690  df-cnfld 14697  df-zring 14731  df-zrh 14754  df-zn 14756

This theorem is referenced by:  zndvds  14789