Theorem znle 14650

Description: The value of the ℤ/nℤ structure. It is defined as the quotient ring ZZ / n ZZ, with an "artificial" ordering added. (In other words, ℤ/nℤ is a ring with an order , but it is not an ordered ring , which as a term implies that the order is compatible with the ring operations in some way.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval.s	|- S = (RSpan ` ℤring )
znval.u	|- U = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
znval.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znval.f	|- F = ( ( ZRHom ` U ) |` W )
znval.w	|- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
znle.l	|- .<_ = ( le ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znle	|- ( N e. NN0 -> .<_ = ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )

Proof of Theorem znle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znval.s	. . . 4 |- S = (RSpan ` ℤring )
2		znval.u	. . . 4 |- U = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
3		znval.y	. . . 4 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
4		znval.f	. . . 4 |- F = ( ( ZRHom ` U ) |` W )
5		znval.w	. . . 4 |- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
6		eqid 2231	. . . 4 |- ( ( F o. <_ ) o. `' F ) = ( ( F o. <_ ) o. `' F )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	znval 14649	. . 3 |- ( N e. NN0 -> Y = ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( F o. <_ ) o. `' F ) >. ) )
8	7	fveq2d 5643	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( le ` Y ) = ( le ` ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( F o. <_ ) o. `' F ) >. ) ) )
9		znle.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` Y )
10	9	a1i 9	. 2 |- ( N e. NN0 -> .<_ = ( le ` Y ) )
11		zringring 14606	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
12		rspex 14487	. . . . . . . . 9 |- (ℤring e. Ring -> (RSpan ` ℤring ) e. _V )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- (RSpan ` ℤring ) e. _V
14	1, 13	eqeltri 2304	. . . . . . 7 |- S e. _V
15		snexg 4274	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> { N } e. _V )
16		fvexg 5658	. . . . . . 7 |- ( ( S e. _V /\ { N } e. _V ) -> ( S ` { N } ) e. _V )
17	14, 15, 16	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( S ` { N } ) e. _V )
18		eqgex 13807	. . . . . 6 |- ( (ℤring e. Ring /\ ( S ` { N } ) e. _V ) -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
19	11, 17, 18	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
20		qusex 13407	. . . . 5 |- ( (ℤring e. Ring /\ (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V ) -> (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) ) e. _V )
21	11, 19, 20	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) ) e. _V )
22	2, 21	eqeltrid 2318	. . 3 |- ( N e. NN0 -> U e. _V )
23		eqid 2231	. . . . . . . 8 |- ( ZRHom ` U ) = ( ZRHom ` U )
24	23	zrhex 14634	. . . . . . 7 |- ( U e. _V -> ( ZRHom ` U ) e. _V )
25		resexg 5053	. . . . . . 7 |- ( ( ZRHom ` U ) e. _V -> ( ( ZRHom ` U ) |` W ) e. _V )
26	22, 24, 25	3syl 17	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` U ) |` W ) e. _V )
27	4, 26	eqeltrid 2318	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> F e. _V )
28		xrex 10090	. . . . . . 7 |- RR* e. _V
29	28, 28	xpex 4842	. . . . . 6 |- ( RR* X. RR* ) e. _V
30		lerelxr 8241	. . . . . 6 |- <_ C_ ( RR* X. RR* )
31	29, 30	ssexi 4227	. . . . 5 |- <_ e. _V
32		coexg 5281	. . . . 5 |- ( ( F e. _V /\ <_ e. _V ) -> ( F o. <_ ) e. _V )
33	27, 31, 32	sylancl 413	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( F o. <_ ) e. _V )
34		cnvexg 5274	. . . . 5 |- ( F e. _V -> `' F e. _V )
35	27, 34	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> `' F e. _V )
36		coexg 5281	. . . 4 |- ( ( ( F o. <_ ) e. _V /\ `' F e. _V ) -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) e. _V )
37	33, 35, 36	syl2anc 411	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) e. _V )
38		pleslid 13284	. . . 4 |- ( le = Slot ( le ` ndx ) /\ ( le ` ndx ) e. NN )
39	38	setsslid 13132	. . 3 |- ( ( U e. _V /\ ( ( F o. <_ ) o. `' F ) e. _V ) -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) = ( le ` ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( F o. <_ ) o. `' F ) >. ) ) )
40	22, 37, 39	syl2anc 411	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) = ( le ` ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( F o. <_ ) o. `' F ) >. ) ) )
41	8, 10, 40	3eqtr4d 2274	1 |- ( N e. NN0 -> .<_ = ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1397   e. wcel 2202   _Vcvv 2802   ifcif 3605   {csn 3669   <.cop 3672   X. cxp 4723   `'ccnv 4724   |` cres 4727   o. ccom 4729   ` cfv 5326  (class class class)co 6017   0cc0 8031   RR*cxr 8212   <_ cle 8214   NN0cn0 9401   ZZcz 9478  ..^cfzo 10376   ndxcnx 13078   sSet csts 13079   lecple 13166   /._s cqus 13382   ~_QG cqg 13755   Ringcrg 14008  RSpancrsp 14481  ℤ_ringczring 14603   ZRHomczrh 14624  ℤ/nℤczn 14626

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-addf 8153  ax-mulf 8154

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rmo 2518  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-tp 3677  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-1st 6302  df-2nd 6303  df-ec 6703  df-map 6818  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-inn 9143  df-2 9201  df-3 9202  df-4 9203  df-5 9204  df-6 9205  df-7 9206  df-8 9207  df-9 9208  df-n0 9402  df-z 9479  df-dec 9611  df-uz 9755  df-rp 9888  df-fz 10243  df-cj 11402  df-abs 11559  df-struct 13083  df-ndx 13084  df-slot 13085  df-base 13087  df-sets 13088  df-iress 13089  df-plusg 13172  df-mulr 13173  df-starv 13174  df-sca 13175  df-vsca 13176  df-ip 13177  df-tset 13178  df-ple 13179  df-ds 13181  df-unif 13182  df-0g 13340  df-topgen 13342  df-iimas 13384  df-qus 13385  df-mgm 13438  df-sgrp 13484  df-mnd 13499  df-grp 13585  df-minusg 13586  df-subg 13756  df-eqg 13758  df-cmn 13872  df-mgp 13933  df-ur 13972  df-ring 14010  df-cring 14011  df-rhm 14165  df-subrg 14232  df-lsp 14400  df-sra 14448  df-rgmod 14449  df-rsp 14483  df-bl 14559  df-mopn 14560  df-fg 14562  df-metu 14563  df-cnfld 14570  df-zring 14604  df-zrh 14627  df-zn 14629

This theorem is referenced by:  znval2  14651  znle2  14665