Theorem znle 15080

Description: The value of the ℤ/nℤ structure. It is defined as the quotient ring ZZ / n ZZ, with an "artificial" ordering added. (In other words, ℤ/nℤ is a ring with an order , but it is not an ordered ring , which as a term implies that the order is compatible with the ring operations in some way.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval.s	|- S = (RSpan ` ℤring )
znval.u	|- U = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
znval.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znval.f	|- F = ( ( ZRHom ` U ) |` W )
znval.w	|- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
znle.l	|- .<_ = ( le ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znle	|- ( N e. NN0 -> .<_ = ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )

Proof of Theorem znle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znval.s	. . . 4 |- S = (RSpan ` ℤring )
2		znval.u	. . . 4 |- U = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
3		znval.y	. . . 4 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
4		znval.f	. . . 4 |- F = ( ( ZRHom ` U ) |` W )
5		znval.w	. . . 4 |- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
6		eqid 2238	. . . 4 |- ( ( F o. <_ ) o. `' F ) = ( ( F o. <_ ) o. `' F )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	znval 15079	. . 3 |- ( N e. NN0 -> Y = ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( F o. <_ ) o. `' F ) >. ) )
8	7	fveq2d 5702	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( le ` Y ) = ( le ` ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( F o. <_ ) o. `' F ) >. ) ) )
9		znle.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` Y )
10	9	a1i 9	. 2 |- ( N e. NN0 -> .<_ = ( le ` Y ) )
11		zringring 15036	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
12		rspex 14919	. . . . . . . . 9 |- (ℤring e. Ring -> (RSpan ` ℤring ) e. _V )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- (RSpan ` ℤring ) e. _V
14	1, 13	eqeltri 2311	. . . . . . 7 |- S e. _V
15		snexg 4323	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> { N } e. _V )
16		fvexg 5717	. . . . . . 7 |- ( ( S e. _V /\ { N } e. _V ) -> ( S ` { N } ) e. _V )
17	14, 15, 16	sylancr 418	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( S ` { N } ) e. _V )
18		eqgex 14082	. . . . . 6 |- ( (ℤring e. Ring /\ ( S ` { N } ) e. _V ) -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
19	11, 17, 18	sylancr 418	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
20		qusex 13704	. . . . 5 |- ( (ℤring e. Ring /\ (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V ) -> (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) ) e. _V )
21	11, 19, 20	sylancr 418	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) ) e. _V )
22	2, 21	eqeltrid 2325	. . 3 |- ( N e. NN0 -> U e. _V )
23		eqid 2238	. . . . . . . 8 |- ( ZRHom ` U ) = ( ZRHom ` U )
24	23	zrhex 15064	. . . . . . 7 |- ( U e. _V -> ( ZRHom ` U ) e. _V )
25		resexg 5105	. . . . . . 7 |- ( ( ZRHom ` U ) e. _V -> ( ( ZRHom ` U ) |` W ) e. _V )
26	22, 24, 25	3syl 17	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` U ) |` W ) e. _V )
27	4, 26	eqeltrid 2325	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> F e. _V )
28		xrex 10274	. . . . . . 7 |- RR* e. _V
29	28, 28	xpex 4893	. . . . . 6 |- ( RR* X. RR* ) e. _V
30		lerelxr 8394	. . . . . 6 |- <_ C_ ( RR* X. RR* )
31	29, 30	ssexi 4273	. . . . 5 |- <_ e. _V
32		coexg 5335	. . . . 5 |- ( ( F e. _V /\ <_ e. _V ) -> ( F o. <_ ) e. _V )
33	27, 31, 32	sylancl 417	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( F o. <_ ) e. _V )
34		cnvexg 5328	. . . . 5 |- ( F e. _V -> `' F e. _V )
35	27, 34	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> `' F e. _V )
36		coexg 5335	. . . 4 |- ( ( ( F o. <_ ) e. _V /\ `' F e. _V ) -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) e. _V )
37	33, 35, 36	syl2anc 415	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) e. _V )
38		pleslid 13614	. . . 4 |- ( le = Slot ( le ` ndx ) /\ ( le ` ndx ) e. NN )
39	38	setsslid 13460	. . 3 |- ( ( U e. _V /\ ( ( F o. <_ ) o. `' F ) e. _V ) -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) = ( le ` ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( F o. <_ ) o. `' F ) >. ) ) )
40	22, 37, 39	syl2anc 415	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) = ( le ` ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( F o. <_ ) o. `' F ) >. ) ) )
41	8, 10, 40	3eqtr4d 2281	1 |- ( N e. NN0 -> .<_ = ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   ifcif 3638   {csn 3709   <.cop 3712   X. cxp 4774   `'ccnv 4775   |` cres 4778   o. ccom 4780   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   0cc0 8185   RR*cxr 8365   <_ cle 8367   NN0cn0 9574   ZZcz 9653  ..^cfzo 10565   ndxcnx 13406   sSet csts 13407   lecple 13496   /._s cqus 13681   ~_QG cqg 14030   Ringcrg 14406  RSpancrsp 14913  ℤ_ringczring 15033   ZRHomczrh 15054  ℤ/nℤczn 15056

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-mulrcl 8284  ax-addcom 8285  ax-mulcom 8286  ax-addass 8287  ax-mulass 8288  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-1rid 8292  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-precex 8295  ax-cnre 8296  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltwlin 8298  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-apti 8300  ax-pre-ltadd 8301  ax-pre-mulgt0 8302  ax-addf 8307  ax-mulf 8308

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-ec 6814  df-map 6929  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-xr 8370  df-ltxr 8371  df-le 8372  df-sub 8506  df-neg 8507  df-reap 8911  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-9 9379  df-n0 9575  df-z 9654  df-dec 9788  df-uz 9937  df-rp 10071  df-fz 10428  df-cj 11628  df-abs 11786  df-struct 13411  df-ndx 13412  df-slot 13413  df-base 13415  df-sets 13416  df-iress 13417  df-plusg 13502  df-mulr 13503  df-starv 13504  df-sca 13505  df-vsca 13506  df-ip 13507  df-tset 13508  df-ple 13509  df-ds 13511  df-unif 13512  df-0g 13670  df-topgen 13672  df-iimas 13682  df-qus 13683  df-mgm 13734  df-sgrp 13775  df-mnd 13788  df-grp 13866  df-minusg 13867  df-subg 14031  df-eqg 14033  df-cmn 14178  df-mgp 14324  df-ur 14369  df-ring 14408  df-cring 14409  df-rhm 14567  df-subrg 14635  df-lsp 14832  df-sra 14880  df-rgmod 14881  df-rsp 14915  df-bl 14991  df-mopn 14992  df-fg 14994  df-metu 14995  df-cnfld 15002  df-zring 15034  df-zrh 15057  df-zn 15059

This theorem is used by:  znval2  15081  znle2  15095