Theorem znle 14560

Description: The value of the ℤ/nℤ structure. It is defined as the quotient ring ZZ / n ZZ, with an "artificial" ordering added. (In other words, ℤ/nℤ is a ring with an order , but it is not an ordered ring , which as a term implies that the order is compatible with the ring operations in some way.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval.s	|- S = (RSpan ` ℤring )
znval.u	|- U = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
znval.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znval.f	|- F = ( ( ZRHom ` U ) |` W )
znval.w	|- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
znle.l	|- .<_ = ( le ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znle	|- ( N e. NN0 -> .<_ = ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )

Proof of Theorem znle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znval.s	. . . 4 |- S = (RSpan ` ℤring )
2		znval.u	. . . 4 |- U = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
3		znval.y	. . . 4 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
4		znval.f	. . . 4 |- F = ( ( ZRHom ` U ) |` W )
5		znval.w	. . . 4 |- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
6		eqid 2207	. . . 4 |- ( ( F o. <_ ) o. `' F ) = ( ( F o. <_ ) o. `' F )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	znval 14559	. . 3 |- ( N e. NN0 -> Y = ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( F o. <_ ) o. `' F ) >. ) )
8	7	fveq2d 5604	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( le ` Y ) = ( le ` ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( F o. <_ ) o. `' F ) >. ) ) )
9		znle.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` Y )
10	9	a1i 9	. 2 |- ( N e. NN0 -> .<_ = ( le ` Y ) )
11		zringring 14516	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
12		rspex 14397	. . . . . . . . 9 |- (ℤring e. Ring -> (RSpan ` ℤring ) e. _V )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- (RSpan ` ℤring ) e. _V
14	1, 13	eqeltri 2280	. . . . . . 7 |- S e. _V
15		snexg 4245	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> { N } e. _V )
16		fvexg 5619	. . . . . . 7 |- ( ( S e. _V /\ { N } e. _V ) -> ( S ` { N } ) e. _V )
17	14, 15, 16	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( S ` { N } ) e. _V )
18		eqgex 13718	. . . . . 6 |- ( (ℤring e. Ring /\ ( S ` { N } ) e. _V ) -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
19	11, 17, 18	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
20		qusex 13318	. . . . 5 |- ( (ℤring e. Ring /\ (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V ) -> (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) ) e. _V )
21	11, 19, 20	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) ) e. _V )
22	2, 21	eqeltrid 2294	. . 3 |- ( N e. NN0 -> U e. _V )
23		eqid 2207	. . . . . . . 8 |- ( ZRHom ` U ) = ( ZRHom ` U )
24	23	zrhex 14544	. . . . . . 7 |- ( U e. _V -> ( ZRHom ` U ) e. _V )
25		resexg 5019	. . . . . . 7 |- ( ( ZRHom ` U ) e. _V -> ( ( ZRHom ` U ) |` W ) e. _V )
26	22, 24, 25	3syl 17	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` U ) |` W ) e. _V )
27	4, 26	eqeltrid 2294	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> F e. _V )
28		xrex 10015	. . . . . . 7 |- RR* e. _V
29	28, 28	xpex 4809	. . . . . 6 |- ( RR* X. RR* ) e. _V
30		lerelxr 8172	. . . . . 6 |- <_ C_ ( RR* X. RR* )
31	29, 30	ssexi 4199	. . . . 5 |- <_ e. _V
32		coexg 5247	. . . . 5 |- ( ( F e. _V /\ <_ e. _V ) -> ( F o. <_ ) e. _V )
33	27, 31, 32	sylancl 413	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( F o. <_ ) e. _V )
34		cnvexg 5240	. . . . 5 |- ( F e. _V -> `' F e. _V )
35	27, 34	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> `' F e. _V )
36		coexg 5247	. . . 4 |- ( ( ( F o. <_ ) e. _V /\ `' F e. _V ) -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) e. _V )
37	33, 35, 36	syl2anc 411	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) e. _V )
38		pleslid 13195	. . . 4 |- ( le = Slot ( le ` ndx ) /\ ( le ` ndx ) e. NN )
39	38	setsslid 13044	. . 3 |- ( ( U e. _V /\ ( ( F o. <_ ) o. `' F ) e. _V ) -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) = ( le ` ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( F o. <_ ) o. `' F ) >. ) ) )
40	22, 37, 39	syl2anc 411	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) = ( le ` ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( F o. <_ ) o. `' F ) >. ) ) )
41	8, 10, 40	3eqtr4d 2250	1 |- ( N e. NN0 -> .<_ = ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2777   ifcif 3580   {csn 3644   <.cop 3647   X. cxp 4692   `'ccnv 4693   |` cres 4696   o. ccom 4698   ` cfv 5291  (class class class)co 5969   0cc0 7962   RR*cxr 8143   <_ cle 8145   NN0cn0 9332   ZZcz 9409  ..^cfzo 10301   ndxcnx 12990   sSet csts 12991   lecple 13077   /._s cqus 13293   ~_QG cqg 13666   Ringcrg 13919  RSpancrsp 14391  ℤ_ringczring 14513   ZRHomczrh 14534  ℤ/nℤczn 14536

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4176  ax-sep 4179  ax-pow 4235  ax-pr 4270  ax-un 4499  ax-setind 4604  ax-cnex 8053  ax-resscn 8054  ax-1cn 8055  ax-1re 8056  ax-icn 8057  ax-addcl 8058  ax-addrcl 8059  ax-mulcl 8060  ax-mulrcl 8061  ax-addcom 8062  ax-mulcom 8063  ax-addass 8064  ax-mulass 8065  ax-distr 8066  ax-i2m1 8067  ax-0lt1 8068  ax-1rid 8069  ax-0id 8070  ax-rnegex 8071  ax-precex 8072  ax-cnre 8073  ax-pre-ltirr 8074  ax-pre-ltwlin 8075  ax-pre-lttrn 8076  ax-pre-apti 8077  ax-pre-ltadd 8078  ax-pre-mulgt0 8079  ax-addf 8084  ax-mulf 8085

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2779  df-sbc 3007  df-csb 3103  df-dif 3177  df-un 3179  df-in 3181  df-ss 3188  df-nul 3470  df-if 3581  df-pw 3629  df-sn 3650  df-pr 3651  df-tp 3652  df-op 3653  df-uni 3866  df-int 3901  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4123  df-mpt 4124  df-id 4359  df-xp 4700  df-rel 4701  df-cnv 4702  df-co 4703  df-dm 4704  df-rn 4705  df-res 4706  df-ima 4707  df-iota 5252  df-fun 5293  df-fn 5294  df-f 5295  df-f1 5296  df-fo 5297  df-f1o 5298  df-fv 5299  df-riota 5924  df-ov 5972  df-oprab 5973  df-mpo 5974  df-1st 6251  df-2nd 6252  df-ec 6647  df-map 6762  df-pnf 8146  df-mnf 8147  df-xr 8148  df-ltxr 8149  df-le 8150  df-sub 8282  df-neg 8283  df-reap 8685  df-inn 9074  df-2 9132  df-3 9133  df-4 9134  df-5 9135  df-6 9136  df-7 9137  df-8 9138  df-9 9139  df-n0 9333  df-z 9410  df-dec 9542  df-uz 9686  df-rp 9813  df-fz 10168  df-cj 11314  df-abs 11471  df-struct 12995  df-ndx 12996  df-slot 12997  df-base 12999  df-sets 13000  df-iress 13001  df-plusg 13083  df-mulr 13084  df-starv 13085  df-sca 13086  df-vsca 13087  df-ip 13088  df-tset 13089  df-ple 13090  df-ds 13092  df-unif 13093  df-0g 13251  df-topgen 13253  df-iimas 13295  df-qus 13296  df-mgm 13349  df-sgrp 13395  df-mnd 13410  df-grp 13496  df-minusg 13497  df-subg 13667  df-eqg 13669  df-cmn 13783  df-mgp 13844  df-ur 13883  df-ring 13921  df-cring 13922  df-rhm 14075  df-subrg 14142  df-lsp 14310  df-sra 14358  df-rgmod 14359  df-rsp 14393  df-bl 14469  df-mopn 14470  df-fg 14472  df-metu 14473  df-cnfld 14480  df-zring 14514  df-zrh 14537  df-zn 14539

This theorem is referenced by:  znval2  14561  znle2  14575