Theorem znle 14914

Description: The value of the ℤ/nℤ structure. It is defined as the quotient ring ZZ / n ZZ, with an "artificial" ordering added. (In other words, ℤ/nℤ is a ring with an order , but it is not an ordered ring , which as a term implies that the order is compatible with the ring operations in some way.) (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znval.s	|- S = (RSpan ` ℤring )
znval.u	|- U = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
znval.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znval.f	|- F = ( ( ZRHom ` U ) |` W )
znval.w	|- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
znle.l	|- .<_ = ( le ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znle	|- ( N e. NN0 -> .<_ = ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )

Proof of Theorem znle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znval.s	. . . 4 |- S = (RSpan ` ℤring )
2		znval.u	. . . 4 |- U = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
3		znval.y	. . . 4 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
4		znval.f	. . . 4 |- F = ( ( ZRHom ` U ) |` W )
5		znval.w	. . . 4 |- W = if ( N = 0 , ZZ , ( 0..^ N ) )
6		eqid 2234	. . . 4 |- ( ( F o. <_ ) o. `' F ) = ( ( F o. <_ ) o. `' F )
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	znval 14913	. . 3 |- ( N e. NN0 -> Y = ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( F o. <_ ) o. `' F ) >. ) )
8	7	fveq2d 5679	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( le ` Y ) = ( le ` ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( F o. <_ ) o. `' F ) >. ) ) )
9		znle.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` Y )
10	9	a1i 9	. 2 |- ( N e. NN0 -> .<_ = ( le ` Y ) )
11		zringring 14870	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
12		rspex 14751	. . . . . . . . 9 |- (ℤring e. Ring -> (RSpan ` ℤring ) e. _V )
13	11, 12	ax-mp 5	. . . . . . . 8 |- (RSpan ` ℤring ) e. _V
14	1, 13	eqeltri 2307	. . . . . . 7 |- S e. _V
15		snexg 4302	. . . . . . 7 |- ( N e. NN0 -> { N } e. _V )
16		fvexg 5694	. . . . . . 7 |- ( ( S e. _V /\ { N } e. _V ) -> ( S ` { N } ) e. _V )
17	14, 15, 16	sylancr 414	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( S ` { N } ) e. _V )
18		eqgex 13977	. . . . . 6 |- ( (ℤring e. Ring /\ ( S ` { N } ) e. _V ) -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
19	11, 17, 18	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
20		qusex 13592	. . . . 5 |- ( (ℤring e. Ring /\ (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V ) -> (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) ) e. _V )
21	11, 19, 20	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) ) e. _V )
22	2, 21	eqeltrid 2321	. . 3 |- ( N e. NN0 -> U e. _V )
23		eqid 2234	. . . . . . . 8 |- ( ZRHom ` U ) = ( ZRHom ` U )
24	23	zrhex 14898	. . . . . . 7 |- ( U e. _V -> ( ZRHom ` U ) e. _V )
25		resexg 5083	. . . . . . 7 |- ( ( ZRHom ` U ) e. _V -> ( ( ZRHom ` U ) |` W ) e. _V )
26	22, 24, 25	3syl 17	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> ( ( ZRHom ` U ) |` W ) e. _V )
27	4, 26	eqeltrid 2321	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> F e. _V )
28		xrex 10211	. . . . . . 7 |- RR* e. _V
29	28, 28	xpex 4871	. . . . . 6 |- ( RR* X. RR* ) e. _V
30		lerelxr 8352	. . . . . 6 |- <_ C_ ( RR* X. RR* )
31	29, 30	ssexi 4253	. . . . 5 |- <_ e. _V
32		coexg 5312	. . . . 5 |- ( ( F e. _V /\ <_ e. _V ) -> ( F o. <_ ) e. _V )
33	27, 31, 32	sylancl 413	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( F o. <_ ) e. _V )
34		cnvexg 5305	. . . . 5 |- ( F e. _V -> `' F e. _V )
35	27, 34	syl 14	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> `' F e. _V )
36		coexg 5312	. . . 4 |- ( ( ( F o. <_ ) e. _V /\ `' F e. _V ) -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) e. _V )
37	33, 35, 36	syl2anc 411	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) e. _V )
38		pleslid 13502	. . . 4 |- ( le = Slot ( le ` ndx ) /\ ( le ` ndx ) e. NN )
39	38	setsslid 13350	. . 3 |- ( ( U e. _V /\ ( ( F o. <_ ) o. `' F ) e. _V ) -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) = ( le ` ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( F o. <_ ) o. `' F ) >. ) ) )
40	22, 37, 39	syl2anc 411	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ( F o. <_ ) o. `' F ) = ( le ` ( U sSet <. ( le ` ndx ) , ( ( F o. <_ ) o. `' F ) >. ) ) )
41	8, 10, 40	3eqtr4d 2277	1 |- ( N e. NN0 -> .<_ = ( ( F o. <_ ) o. `' F ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   ifcif 3624   {csn 3694   <.cop 3697   X. cxp 4752   `'ccnv 4753   |` cres 4756   o. ccom 4758   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   0cc0 8143   RR*cxr 8323   <_ cle 8325   NN0cn0 9516   ZZcz 9597  ..^cfzo 10501   ndxcnx 13296   sSet csts 13297   lecple 13384   /._s cqus 13569   ~_QG cqg 13925   Ringcrg 14242  RSpancrsp 14745  ℤ_ringczring 14867   ZRHomczrh 14888  ℤ/nℤczn 14890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-addf 8265  ax-mulf 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-ec 6782  df-map 6897  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-n0 9517  df-z 9598  df-dec 9731  df-uz 9875  df-rp 10008  df-fz 10365  df-cj 11555  df-abs 11712  df-struct 13301  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-sets 13306  df-iress 13307  df-plusg 13390  df-mulr 13391  df-starv 13392  df-sca 13393  df-vsca 13394  df-ip 13395  df-tset 13396  df-ple 13397  df-ds 13399  df-unif 13400  df-0g 13558  df-topgen 13560  df-iimas 13570  df-qus 13571  df-mgm 13622  df-sgrp 13668  df-mnd 13681  df-grp 13761  df-minusg 13762  df-subg 13926  df-eqg 13928  df-cmn 14042  df-mgp 14163  df-ur 14206  df-ring 14244  df-cring 14245  df-rhm 14400  df-subrg 14468  df-lsp 14664  df-sra 14712  df-rgmod 14713  df-rsp 14747  df-bl 14823  df-mopn 14824  df-fg 14826  df-metu 14827  df-cnfld 14834  df-zring 14868  df-zrh 14891  df-zn 14893

This theorem is referenced by:  znval2  14915  znle2  14929