Theorem znbas 13956

Description: The base set of ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znbas.s	|- S = (RSpan ` ℤring )
znbas.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znbas.r	|- R = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )

Assertion

Ref	Expression
znbas	|- ( N e. NN0 -> ( ZZ /. R ) = ( Base ` Y ) )

Proof of Theorem znbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2190	. . 3 |- ( N e. NN0 -> (ℤring /.s R ) = (ℤring /.s R ) )
2		zringbas 13912	. . . 4 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ZZ = ( Base ` ℤring ) )
4		znbas.r	. . . 4 |- R = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
5		zringring 13909	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
6		znbas.s	. . . . . . 7 |- S = (RSpan ` ℤring )
7		rspex 13807	. . . . . . . 8 |- (ℤring e. Ring -> (RSpan ` ℤring ) e. _V )
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- (RSpan ` ℤring ) e. _V
9	6, 8	eqeltri 2262	. . . . . 6 |- S e. _V
10		snexg 4202	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> { N } e. _V )
11		fvexg 5553	. . . . . 6 |- ( ( S e. _V /\ { N } e. _V ) -> ( S ` { N } ) e. _V )
12	9, 10, 11	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( S ` { N } ) e. _V )
13		eqgex 13177	. . . . 5 |- ( (ℤring e. Ring /\ ( S ` { N } ) e. _V ) -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
14	5, 12, 13	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
15	4, 14	eqeltrid 2276	. . 3 |- ( N e. NN0 -> R e. _V )
16	5	a1i 9	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ℤring e. Ring )
17	1, 3, 15, 16	qusbas 12807	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ZZ /. R ) = ( Base ` (ℤring /.s R ) ) )
18	4	oveq2i 5908	. . 3 |- (ℤring /.s R ) = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
19		znbas.y	. . 3 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
20	6, 18, 19	znbas2 13953	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( Base ` (ℤring /.s R ) ) = ( Base ` Y ) )
21	17, 20	eqtrd 2222	1 |- ( N e. NN0 -> ( ZZ /. R ) = ( Base ` Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2160   _Vcvv 2752   {csn 3607   ` cfv 5235  (class class class)co 5897   /.cqs 6559   NN0cn0 9207   ZZcz 9284   Basecbs 12515   /._s cqus 12780   ~_QG cqg 13125   Ringcrg 13367  RSpancrsp 13801  ℤ_ringczring 13906  ℤ/nℤczn 13928

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7933  ax-resscn 7934  ax-1cn 7935  ax-1re 7936  ax-icn 7937  ax-addcl 7938  ax-addrcl 7939  ax-mulcl 7940  ax-mulrcl 7941  ax-addcom 7942  ax-mulcom 7943  ax-addass 7944  ax-mulass 7945  ax-distr 7946  ax-i2m1 7947  ax-0lt1 7948  ax-1rid 7949  ax-0id 7950  ax-rnegex 7951  ax-precex 7952  ax-cnre 7953  ax-pre-ltirr 7954  ax-pre-ltwlin 7955  ax-pre-lttrn 7956  ax-pre-apti 7957  ax-pre-ltadd 7958  ax-pre-mulgt0 7959  ax-addf 7964  ax-mulf 7965

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-tp 3615  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-riota 5852  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-ec 6562  df-qs 6566  df-map 6677  df-pnf 8025  df-mnf 8026  df-xr 8027  df-ltxr 8028  df-le 8029  df-sub 8161  df-neg 8162  df-reap 8563  df-inn 8951  df-2 9009  df-3 9010  df-4 9011  df-5 9012  df-6 9013  df-7 9014  df-8 9015  df-9 9016  df-n0 9208  df-z 9285  df-dec 9416  df-uz 9560  df-fz 10041  df-cj 10886  df-struct 12517  df-ndx 12518  df-slot 12519  df-base 12521  df-sets 12522  df-iress 12523  df-plusg 12605  df-mulr 12606  df-starv 12607  df-sca 12608  df-vsca 12609  df-ip 12610  df-ple 12612  df-0g 12766  df-iimas 12782  df-qus 12783  df-mgm 12835  df-sgrp 12880  df-mnd 12893  df-grp 12963  df-minusg 12964  df-subg 13126  df-eqg 13128  df-cmn 13242  df-mgp 13292  df-ur 13331  df-ring 13369  df-cring 13370  df-rhm 13519  df-subrg 13583  df-lsp 13720  df-sra 13768  df-rgmod 13769  df-rsp 13803  df-icnfld 13882  df-zring 13907  df-zrh 13929  df-zn 13931

This theorem is referenced by: (None)