Theorem znbas 15063

Description: The base set of ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znbas.s	|- S = (RSpan ` ℤring )
znbas.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znbas.r	|- R = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )

Assertion

Ref	Expression
znbas	|- ( N e. NN0 -> ( ZZ /. R ) = ( Base ` Y ) )

Proof of Theorem znbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2239	. . 3 |- ( N e. NN0 -> (ℤring /.s R ) = (ℤring /.s R ) )
2		zringbas 15015	. . . 4 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ZZ = ( Base ` ℤring ) )
4		znbas.r	. . . 4 |- R = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
5		zringring 15012	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
6		znbas.s	. . . . . . 7 |- S = (RSpan ` ℤring )
7		rspex 14895	. . . . . . . 8 |- (ℤring e. Ring -> (RSpan ` ℤring ) e. _V )
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- (RSpan ` ℤring ) e. _V
9	6, 8	eqeltri 2311	. . . . . 6 |- S e. _V
10		snexg 4321	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> { N } e. _V )
11		fvexg 5714	. . . . . 6 |- ( ( S e. _V /\ { N } e. _V ) -> ( S ` { N } ) e. _V )
12	9, 10, 11	sylancr 418	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( S ` { N } ) e. _V )
13		eqgex 14077	. . . . 5 |- ( (ℤring e. Ring /\ ( S ` { N } ) e. _V ) -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
14	5, 12, 13	sylancr 418	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
15	4, 14	eqeltrid 2325	. . 3 |- ( N e. NN0 -> R e. _V )
16	5	a1i 9	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ℤring e. Ring )
17	1, 3, 15, 16	qusbas 13701	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ZZ /. R ) = ( Base ` (ℤring /.s R ) ) )
18	4	oveq2i 6096	. . 3 |- (ℤring /.s R ) = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
19		znbas.y	. . 3 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
20	6, 18, 19	znbas2 15059	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( Base ` (ℤring /.s R ) ) = ( Base ` Y ) )
21	17, 20	eqtrd 2271	1 |- ( N e. NN0 -> ( ZZ /. R ) = ( Base ` Y ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   _Vcvv 2821   {csn 3709   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   /.cqs 6806   NN0cn0 9568   ZZcz 9649   Basecbs 13404   /._s cqus 13676   ~_QG cqg 14025   Ringcrg 14384  RSpancrsp 14889  ℤ_ringczring 15009  ℤ/nℤczn 15032

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-addf 8302  ax-mulf 8303

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-tp 3717  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-ec 6809  df-qs 6813  df-map 6924  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-inn 9308  df-2 9366  df-3 9367  df-4 9368  df-5 9369  df-6 9370  df-7 9371  df-8 9372  df-9 9373  df-n0 9569  df-z 9650  df-dec 9783  df-uz 9932  df-rp 10066  df-fz 10423  df-cj 11623  df-abs 11781  df-struct 13406  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-iress 13412  df-plusg 13497  df-mulr 13498  df-starv 13499  df-sca 13500  df-vsca 13501  df-ip 13502  df-tset 13503  df-ple 13504  df-ds 13506  df-unif 13507  df-0g 13665  df-topgen 13667  df-iimas 13677  df-qus 13678  df-mgm 13729  df-sgrp 13770  df-mnd 13783  df-grp 13861  df-minusg 13862  df-subg 14026  df-eqg 14028  df-cmn 14173  df-mgp 14302  df-ur 14347  df-ring 14386  df-cring 14387  df-rhm 14543  df-subrg 14611  df-lsp 14808  df-sra 14856  df-rgmod 14857  df-rsp 14891  df-bl 14967  df-mopn 14968  df-fg 14970  df-metu 14971  df-cnfld 14978  df-zring 15010  df-zrh 15033  df-zn 15035

This theorem is used by:  znzrhfo  15067