Theorem znbas 14406

Description: The base set of ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znbas.s	|- S = (RSpan ` ℤring )
znbas.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znbas.r	|- R = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )

Assertion

Ref	Expression
znbas	|- ( N e. NN0 -> ( ZZ /. R ) = ( Base ` Y ) )

Proof of Theorem znbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2206	. . 3 |- ( N e. NN0 -> (ℤring /.s R ) = (ℤring /.s R ) )
2		zringbas 14358	. . . 4 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ZZ = ( Base ` ℤring ) )
4		znbas.r	. . . 4 |- R = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
5		zringring 14355	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
6		znbas.s	. . . . . . 7 |- S = (RSpan ` ℤring )
7		rspex 14236	. . . . . . . 8 |- (ℤring e. Ring -> (RSpan ` ℤring ) e. _V )
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- (RSpan ` ℤring ) e. _V
9	6, 8	eqeltri 2278	. . . . . 6 |- S e. _V
10		snexg 4228	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> { N } e. _V )
11		fvexg 5595	. . . . . 6 |- ( ( S e. _V /\ { N } e. _V ) -> ( S ` { N } ) e. _V )
12	9, 10, 11	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( S ` { N } ) e. _V )
13		eqgex 13557	. . . . 5 |- ( (ℤring e. Ring /\ ( S ` { N } ) e. _V ) -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
14	5, 12, 13	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
15	4, 14	eqeltrid 2292	. . 3 |- ( N e. NN0 -> R e. _V )
16	5	a1i 9	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ℤring e. Ring )
17	1, 3, 15, 16	qusbas 13159	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ZZ /. R ) = ( Base ` (ℤring /.s R ) ) )
18	4	oveq2i 5955	. . 3 |- (ℤring /.s R ) = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
19		znbas.y	. . 3 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
20	6, 18, 19	znbas2 14402	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( Base ` (ℤring /.s R ) ) = ( Base ` Y ) )
21	17, 20	eqtrd 2238	1 |- ( N e. NN0 -> ( ZZ /. R ) = ( Base ` Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2176   _Vcvv 2772   {csn 3633   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   /.cqs 6619   NN0cn0 9295   ZZcz 9372   Basecbs 12832   /._s cqus 13132   ~_QG cqg 13505   Ringcrg 13758  RSpancrsp 14230  ℤ_ringczring 14352  ℤ/nℤczn 14375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-mulrcl 8024  ax-addcom 8025  ax-mulcom 8026  ax-addass 8027  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-1rid 8032  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-precex 8035  ax-cnre 8036  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltwlin 8038  ax-pre-lttrn 8039  ax-pre-apti 8040  ax-pre-ltadd 8041  ax-pre-mulgt0 8042  ax-addf 8047  ax-mulf 8048

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-if 3572  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-tp 3641  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-ec 6622  df-qs 6626  df-map 6737  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-xr 8111  df-ltxr 8112  df-le 8113  df-sub 8245  df-neg 8246  df-reap 8648  df-inn 9037  df-2 9095  df-3 9096  df-4 9097  df-5 9098  df-6 9099  df-7 9100  df-8 9101  df-9 9102  df-n0 9296  df-z 9373  df-dec 9505  df-uz 9649  df-rp 9776  df-fz 10131  df-cj 11153  df-abs 11310  df-struct 12834  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-iress 12840  df-plusg 12922  df-mulr 12923  df-starv 12924  df-sca 12925  df-vsca 12926  df-ip 12927  df-tset 12928  df-ple 12929  df-ds 12931  df-unif 12932  df-0g 13090  df-topgen 13092  df-iimas 13134  df-qus 13135  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-subg 13506  df-eqg 13508  df-cmn 13622  df-mgp 13683  df-ur 13722  df-ring 13760  df-cring 13761  df-rhm 13914  df-subrg 13981  df-lsp 14149  df-sra 14197  df-rgmod 14198  df-rsp 14232  df-bl 14308  df-mopn 14309  df-fg 14311  df-metu 14312  df-cnfld 14319  df-zring 14353  df-zrh 14376  df-zn 14378

This theorem is referenced by:  znzrhfo  14410