Theorem znbas 14521

Description: The base set of ℤ/nℤ structure. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znbas.s	|- S = (RSpan ` ℤring )
znbas.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znbas.r	|- R = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )

Assertion

Ref	Expression
znbas	|- ( N e. NN0 -> ( ZZ /. R ) = ( Base ` Y ) )

Proof of Theorem znbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2208	. . 3 |- ( N e. NN0 -> (ℤring /.s R ) = (ℤring /.s R ) )
2		zringbas 14473	. . . 4 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
3	2	a1i 9	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ZZ = ( Base ` ℤring ) )
4		znbas.r	. . . 4 |- R = (ℤring ~QG ( S ` { N } ) )
5		zringring 14470	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
6		znbas.s	. . . . . . 7 |- S = (RSpan ` ℤring )
7		rspex 14351	. . . . . . . 8 |- (ℤring e. Ring -> (RSpan ` ℤring ) e. _V )
8	5, 7	ax-mp 5	. . . . . . 7 |- (RSpan ` ℤring ) e. _V
9	6, 8	eqeltri 2280	. . . . . 6 |- S e. _V
10		snexg 4244	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> { N } e. _V )
11		fvexg 5618	. . . . . 6 |- ( ( S e. _V /\ { N } e. _V ) -> ( S ` { N } ) e. _V )
12	9, 10, 11	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( S ` { N } ) e. _V )
13		eqgex 13672	. . . . 5 |- ( (ℤring e. Ring /\ ( S ` { N } ) e. _V ) -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
14	5, 12, 13	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) e. _V )
15	4, 14	eqeltrid 2294	. . 3 |- ( N e. NN0 -> R e. _V )
16	5	a1i 9	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ℤring e. Ring )
17	1, 3, 15, 16	qusbas 13274	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( ZZ /. R ) = ( Base ` (ℤring /.s R ) ) )
18	4	oveq2i 5978	. . 3 |- (ℤring /.s R ) = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( S ` { N } ) ) )
19		znbas.y	. . 3 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
20	6, 18, 19	znbas2 14517	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( Base ` (ℤring /.s R ) ) = ( Base ` Y ) )
21	17, 20	eqtrd 2240	1 |- ( N e. NN0 -> ( ZZ /. R ) = ( Base ` Y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2178   _Vcvv 2776   {csn 3643   ` cfv 5290  (class class class)co 5967   /.cqs 6642   NN0cn0 9330   ZZcz 9407   Basecbs 12947   /._s cqus 13247   ~_QG cqg 13620   Ringcrg 13873  RSpancrsp 14345  ℤ_ringczring 14467  ℤ/nℤczn 14490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-mulrcl 8059  ax-addcom 8060  ax-mulcom 8061  ax-addass 8062  ax-mulass 8063  ax-distr 8064  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-1rid 8067  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-precex 8070  ax-cnre 8071  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-ltwlin 8073  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-apti 8075  ax-pre-ltadd 8076  ax-pre-mulgt0 8077  ax-addf 8082  ax-mulf 8083

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rmo 2494  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-if 3580  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-riota 5922  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-ec 6645  df-qs 6649  df-map 6760  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-xr 8146  df-ltxr 8147  df-le 8148  df-sub 8280  df-neg 8281  df-reap 8683  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-9 9137  df-n0 9331  df-z 9408  df-dec 9540  df-uz 9684  df-rp 9811  df-fz 10166  df-cj 11268  df-abs 11425  df-struct 12949  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-iress 12955  df-plusg 13037  df-mulr 13038  df-starv 13039  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-ip 13042  df-tset 13043  df-ple 13044  df-ds 13046  df-unif 13047  df-0g 13205  df-topgen 13207  df-iimas 13249  df-qus 13250  df-mgm 13303  df-sgrp 13349  df-mnd 13364  df-grp 13450  df-minusg 13451  df-subg 13621  df-eqg 13623  df-cmn 13737  df-mgp 13798  df-ur 13837  df-ring 13875  df-cring 13876  df-rhm 14029  df-subrg 14096  df-lsp 14264  df-sra 14312  df-rgmod 14313  df-rsp 14347  df-bl 14423  df-mopn 14424  df-fg 14426  df-metu 14427  df-cnfld 14434  df-zring 14468  df-zrh 14491  df-zn 14493

This theorem is referenced by:  znzrhfo  14525