Theorem znzrhfo 14204

Description: The ZZ ring homomorphism is a surjection onto ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
znzrhfo.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znzrhfo.b	|- B = ( Base ` Y )
znzrhfo.2	|- L = ( ZRHom ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znzrhfo	|- ( N e. NN0 -> L : ZZ -onto-> B )

Proof of Theorem znzrhfo

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2197	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) )
2		zringbas 14152	. . . . 5 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
3	2	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ZZ = ( Base ` ℤring ) )
4		eqid 2196	. . . 4 |- ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) = ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) )
5		zringring 14149	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
6		rspex 14030	. . . . . . 7 |- (ℤring e. Ring -> (RSpan ` ℤring ) e. _V )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 |- (RSpan ` ℤring ) e. _V
8		snexg 4217	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> { N } e. _V )
9		fvexg 5577	. . . . . 6 |- ( ( (RSpan ` ℤring ) e. _V /\ { N } e. _V ) -> ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) e. _V )
10	7, 8, 9	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) e. _V )
11		eqgex 13351	. . . . 5 |- ( (ℤring e. Ring /\ ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) e. _V ) -> (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) e. _V )
12	5, 10, 11	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) e. _V )
13	5	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ℤring e. Ring )
14	1, 3, 4, 12, 13	quslem 12967	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) : ZZ -onto-> ( ZZ /. (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) )
15		eqid 2196	. . . . . 6 |- (RSpan ` ℤring ) = (RSpan ` ℤring )
16		znzrhfo.y	. . . . . 6 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
17		eqid 2196	. . . . . 6 |- (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) = (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) )
18	15, 16, 17	znbas 14200	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ZZ /. (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) = ( Base ` Y ) )
19		znzrhfo.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` Y )
20	18, 19	eqtr4di 2247	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ZZ /. (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) = B )
21		foeq3 5478	. . . 4 |- ( ( ZZ /. (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) = B -> ( ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) : ZZ -onto-> ( ZZ /. (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) <-> ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) : ZZ -onto-> B ) )
22	20, 21	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) : ZZ -onto-> ( ZZ /. (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) <-> ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) : ZZ -onto-> B ) )
23	14, 22	mpbid 147	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) : ZZ -onto-> B )
24		znzrhfo.2	. . . 4 |- L = ( ZRHom ` Y )
25	15, 17, 16, 24	znzrh2 14202	. . 3 |- ( N e. NN0 -> L = ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) )
26		foeq1 5476	. . 3 |- ( L = ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) -> ( L : ZZ -onto-> B <-> ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) : ZZ -onto-> B ) )
27	25, 26	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( L : ZZ -onto-> B <-> ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) : ZZ -onto-> B ) )
28	23, 27	mpbird 167	1 |- ( N e. NN0 -> L : ZZ -onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   {csn 3622   |-> cmpt 4094   -onto->wfo 5256   ` cfv 5258  (class class class)co 5922   [cec 6590   /.cqs 6591   NN0cn0 9249   ZZcz 9326   Basecbs 12678   /._s cqus 12943   ~_QG cqg 13299   Ringcrg 13552  RSpancrsp 14024  ℤ_ringczring 14146   ZRHomczrh 14167  ℤ/nℤczn 14169

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-addf 8001  ax-mulf 8002

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-tp 3630  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-tpos 6303  df-recs 6363  df-frec 6449  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-map 6709  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-9 9056  df-n0 9250  df-z 9327  df-dec 9458  df-uz 9602  df-rp 9729  df-fz 10084  df-fzo 10218  df-seqfrec 10540  df-cj 11007  df-abs 11164  df-struct 12680  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-starv 12770  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-ip 12773  df-tset 12774  df-ple 12775  df-ds 12777  df-unif 12778  df-0g 12929  df-topgen 12931  df-iimas 12945  df-qus 12946  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-mhm 13091  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-sbg 13137  df-mulg 13250  df-subg 13300  df-nsg 13301  df-eqg 13302  df-ghm 13371  df-cmn 13416  df-abl 13417  df-mgp 13477  df-rng 13489  df-ur 13516  df-srg 13520  df-ring 13554  df-cring 13555  df-oppr 13624  df-rhm 13708  df-subrg 13775  df-lmod 13845  df-lssm 13909  df-lsp 13943  df-sra 13991  df-rgmod 13992  df-lidl 14025  df-rsp 14026  df-2idl 14056  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-fg 14105  df-metu 14106  df-cnfld 14113  df-zring 14147  df-zrh 14170  df-zn 14172

This theorem is referenced by:  znf1o  14207  znidom  14213  znunit  14215  znrrg  14216