Theorem znzrhfo 14925

Description: The ZZ ring homomorphism is a surjection onto ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
znzrhfo.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znzrhfo.b	|- B = ( Base ` Y )
znzrhfo.2	|- L = ( ZRHom ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znzrhfo	|- ( N e. NN0 -> L : ZZ -onto-> B )

Proof of Theorem znzrhfo

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2235	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) )
2		zringbas 14873	. . . . 5 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
3	2	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ZZ = ( Base ` ℤring ) )
4		eqid 2234	. . . 4 |- ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) = ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) )
5		zringring 14870	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
6		rspex 14751	. . . . . . 7 |- (ℤring e. Ring -> (RSpan ` ℤring ) e. _V )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 |- (RSpan ` ℤring ) e. _V
8		snexg 4302	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> { N } e. _V )
9		fvexg 5694	. . . . . 6 |- ( ( (RSpan ` ℤring ) e. _V /\ { N } e. _V ) -> ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) e. _V )
10	7, 8, 9	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) e. _V )
11		eqgex 13977	. . . . 5 |- ( (ℤring e. Ring /\ ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) e. _V ) -> (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) e. _V )
12	5, 10, 11	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) e. _V )
13	5	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ℤring e. Ring )
14	1, 3, 4, 12, 13	quslem 13591	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) : ZZ -onto-> ( ZZ /. (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) )
15		eqid 2234	. . . . . 6 |- (RSpan ` ℤring ) = (RSpan ` ℤring )
16		znzrhfo.y	. . . . . 6 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
17		eqid 2234	. . . . . 6 |- (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) = (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) )
18	15, 16, 17	znbas 14921	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ZZ /. (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) = ( Base ` Y ) )
19		znzrhfo.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` Y )
20	18, 19	eqtr4di 2285	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ZZ /. (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) = B )
21		foeq3 5593	. . . 4 |- ( ( ZZ /. (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) = B -> ( ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) : ZZ -onto-> ( ZZ /. (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) <-> ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) : ZZ -onto-> B ) )
22	20, 21	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) : ZZ -onto-> ( ZZ /. (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) <-> ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) : ZZ -onto-> B ) )
23	14, 22	mpbid 147	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) : ZZ -onto-> B )
24		znzrhfo.2	. . . 4 |- L = ( ZRHom ` Y )
25	15, 17, 16, 24	znzrh2 14923	. . 3 |- ( N e. NN0 -> L = ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) )
26		foeq1 5591	. . 3 |- ( L = ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) -> ( L : ZZ -onto-> B <-> ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) : ZZ -onto-> B ) )
27	25, 26	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( L : ZZ -onto-> B <-> ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) : ZZ -onto-> B ) )
28	23, 27	mpbird 167	1 |- ( N e. NN0 -> L : ZZ -onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   {csn 3694   |-> cmpt 4176   -onto->wfo 5355   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   [cec 6778   /.cqs 6779   NN0cn0 9516   ZZcz 9597   Basecbs 13299   /._s cqus 13569   ~_QG cqg 13925   Ringcrg 14242  RSpancrsp 14745  ℤ_ringczring 14867   ZRHomczrh 14888  ℤ/nℤczn 14890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-addf 8265  ax-mulf 8266

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-tp 3702  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-tpos 6489  df-recs 6549  df-frec 6635  df-er 6780  df-ec 6782  df-qs 6786  df-map 6897  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8463  df-neg 8464  df-reap 8867  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-n0 9517  df-z 9598  df-dec 9731  df-uz 9875  df-rp 10008  df-fz 10365  df-fzo 10502  df-seqfrec 10837  df-cj 11555  df-abs 11712  df-struct 13301  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-sets 13306  df-iress 13307  df-plusg 13390  df-mulr 13391  df-starv 13392  df-sca 13393  df-vsca 13394  df-ip 13395  df-tset 13396  df-ple 13397  df-ds 13399  df-unif 13400  df-0g 13558  df-topgen 13560  df-iimas 13570  df-qus 13571  df-mgm 13622  df-sgrp 13668  df-mnd 13681  df-mhm 13717  df-grp 13761  df-minusg 13762  df-sbg 13763  df-mulg 13876  df-subg 13926  df-nsg 13927  df-eqg 13928  df-ghm 13997  df-cmn 14042  df-abl 14043  df-mgp 14163  df-rng 14175  df-ur 14206  df-srg 14210  df-ring 14244  df-cring 14245  df-oppr 14314  df-rhm 14400  df-subrg 14468  df-lmod 14566  df-lssm 14630  df-lsp 14664  df-sra 14712  df-rgmod 14713  df-lidl 14746  df-rsp 14747  df-2idl 14777  df-bl 14823  df-mopn 14824  df-fg 14826  df-metu 14827  df-cnfld 14834  df-zring 14868  df-zrh 14891  df-zn 14893

This theorem is referenced by:  znf1o  14928  znidom  14934  znunit  14936  znrrg  14937