Theorem znzrhfo 14280

Description: The ZZ ring homomorphism is a surjection onto ℤ/nℤ. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
znzrhfo.y	|- Y = (ℤ/nℤ ` N )
znzrhfo.b	|- B = ( Base ` Y )
znzrhfo.2	|- L = ( ZRHom ` Y )

Assertion

Ref	Expression
znzrhfo	|- ( N e. NN0 -> L : ZZ -onto-> B )

Proof of Theorem znzrhfo

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2197	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) = (ℤring /.s (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) )
2		zringbas 14228	. . . . 5 |- ZZ = ( Base ` ℤring )
3	2	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ZZ = ( Base ` ℤring ) )
4		eqid 2196	. . . 4 |- ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) = ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) )
5		zringring 14225	. . . . 5 |- ℤring e. Ring
6		rspex 14106	. . . . . . 7 |- (ℤring e. Ring -> (RSpan ` ℤring ) e. _V )
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 |- (RSpan ` ℤring ) e. _V
8		snexg 4218	. . . . . 6 |- ( N e. NN0 -> { N } e. _V )
9		fvexg 5580	. . . . . 6 |- ( ( (RSpan ` ℤring ) e. _V /\ { N } e. _V ) -> ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) e. _V )
10	7, 8, 9	sylancr 414	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) e. _V )
11		eqgex 13427	. . . . 5 |- ( (ℤring e. Ring /\ ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) e. _V ) -> (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) e. _V )
12	5, 10, 11	sylancr 414	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) e. _V )
13	5	a1i 9	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ℤring e. Ring )
14	1, 3, 4, 12, 13	quslem 13026	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) : ZZ -onto-> ( ZZ /. (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) )
15		eqid 2196	. . . . . 6 |- (RSpan ` ℤring ) = (RSpan ` ℤring )
16		znzrhfo.y	. . . . . 6 |- Y = (ℤ/nℤ ` N )
17		eqid 2196	. . . . . 6 |- (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) = (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) )
18	15, 16, 17	znbas 14276	. . . . 5 |- ( N e. NN0 -> ( ZZ /. (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) = ( Base ` Y ) )
19		znzrhfo.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` Y )
20	18, 19	eqtr4di 2247	. . . 4 |- ( N e. NN0 -> ( ZZ /. (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) = B )
21		foeq3 5481	. . . 4 |- ( ( ZZ /. (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) = B -> ( ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) : ZZ -onto-> ( ZZ /. (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) <-> ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) : ZZ -onto-> B ) )
22	20, 21	syl 14	. . 3 |- ( N e. NN0 -> ( ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) : ZZ -onto-> ( ZZ /. (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) <-> ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) : ZZ -onto-> B ) )
23	14, 22	mpbid 147	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) : ZZ -onto-> B )
24		znzrhfo.2	. . . 4 |- L = ( ZRHom ` Y )
25	15, 17, 16, 24	znzrh2 14278	. . 3 |- ( N e. NN0 -> L = ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) )
26		foeq1 5479	. . 3 |- ( L = ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) -> ( L : ZZ -onto-> B <-> ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) : ZZ -onto-> B ) )
27	25, 26	syl 14	. 2 |- ( N e. NN0 -> ( L : ZZ -onto-> B <-> ( x e. ZZ |-> [ x ] (ℤring ~QG ( (RSpan ` ℤring ) ` { N } ) ) ) : ZZ -onto-> B ) )
28	23, 27	mpbird 167	1 |- ( N e. NN0 -> L : ZZ -onto-> B )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   _Vcvv 2763   {csn 3623   |-> cmpt 4095   -onto->wfo 5257   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   [cec 6599   /.cqs 6600   NN0cn0 9266   ZZcz 9343   Basecbs 12703   /._s cqus 13002   ~_QG cqg 13375   Ringcrg 13628  RSpancrsp 14100  ℤ_ringczring 14222   ZRHomczrh 14243  ℤ/nℤczn 14245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7987  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-1re 7990  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-addrcl 7993  ax-mulcl 7994  ax-mulrcl 7995  ax-addcom 7996  ax-mulcom 7997  ax-addass 7998  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-i2m1 8001  ax-0lt1 8002  ax-1rid 8003  ax-0id 8004  ax-rnegex 8005  ax-precex 8006  ax-cnre 8007  ax-pre-ltirr 8008  ax-pre-ltwlin 8009  ax-pre-lttrn 8010  ax-pre-apti 8011  ax-pre-ltadd 8012  ax-pre-mulgt0 8013  ax-addf 8018  ax-mulf 8019

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5880  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-tpos 6312  df-recs 6372  df-frec 6458  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-map 6718  df-pnf 8080  df-mnf 8081  df-xr 8082  df-ltxr 8083  df-le 8084  df-sub 8216  df-neg 8217  df-reap 8619  df-inn 9008  df-2 9066  df-3 9067  df-4 9068  df-5 9069  df-6 9070  df-7 9071  df-8 9072  df-9 9073  df-n0 9267  df-z 9344  df-dec 9475  df-uz 9619  df-rp 9746  df-fz 10101  df-fzo 10235  df-seqfrec 10557  df-cj 11024  df-abs 11181  df-struct 12705  df-ndx 12706  df-slot 12707  df-base 12709  df-sets 12710  df-iress 12711  df-plusg 12793  df-mulr 12794  df-starv 12795  df-sca 12796  df-vsca 12797  df-ip 12798  df-tset 12799  df-ple 12800  df-ds 12802  df-unif 12803  df-0g 12960  df-topgen 12962  df-iimas 13004  df-qus 13005  df-mgm 13058  df-sgrp 13104  df-mnd 13119  df-mhm 13161  df-grp 13205  df-minusg 13206  df-sbg 13207  df-mulg 13326  df-subg 13376  df-nsg 13377  df-eqg 13378  df-ghm 13447  df-cmn 13492  df-abl 13493  df-mgp 13553  df-rng 13565  df-ur 13592  df-srg 13596  df-ring 13630  df-cring 13631  df-oppr 13700  df-rhm 13784  df-subrg 13851  df-lmod 13921  df-lssm 13985  df-lsp 14019  df-sra 14067  df-rgmod 14068  df-lidl 14101  df-rsp 14102  df-2idl 14132  df-bl 14178  df-mopn 14179  df-fg 14181  df-metu 14182  df-cnfld 14189  df-zring 14223  df-zrh 14246  df-zn 14248

This theorem is referenced by:  znf1o  14283  znidom  14289  znunit  14291  znrrg  14292