Theorem rspvalg 14637

Description: Value of the ring span function. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rspvalg	|- ( W e. V -> (RSpan ` W ) = ( LSpan ` (ringLMod ` W ) ) )

Proof of Theorem rspvalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rsp 14635	. . 3 |- RSpan = ( LSpan o. ringLMod )
2	1	fveq1i 5673	. 2 |- (RSpan ` W ) = ( ( LSpan o. ringLMod ) ` W )
3		rlmfn 14618	. . 3 |- ringLMod Fn _V
4		elex 2827	. . 3 |- ( W e. V -> W e. _V )
5		fvco2 5748	. . 3 |- ( (ringLMod Fn _V /\ W e. _V ) -> ( ( LSpan o. ringLMod ) ` W ) = ( LSpan ` (ringLMod ` W ) ) )
6	3, 4, 5	sylancr 414	. 2 |- ( W e. V -> ( ( LSpan o. ringLMod ) ` W ) = ( LSpan ` (ringLMod ` W ) ) )
7	2, 6	eqtrid 2279	1 |- ( W e. V -> (RSpan ` W ) = ( LSpan ` (ringLMod ` W ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   _Vcvv 2815   o. ccom 4755   Fn wfn 5349   ` cfv 5354   LSpanclspn 14551  ringLModcrglmod 14599  RSpancrsp 14633

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8220  ax-resscn 8221  ax-1re 8223  ax-addrcl 8226

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-inn 9240  df-2 9298  df-3 9299  df-4 9300  df-5 9301  df-6 9302  df-7 9303  df-8 9304  df-ndx 13232  df-slot 13233  df-base 13235  df-sets 13236  df-iress 13237  df-mulr 13321  df-sca 13323  df-vsca 13324  df-ip 13325  df-sra 14600  df-rgmod 14601  df-rsp 14635

This theorem is referenced by:  rspex  14639  rspcl  14656  rspssid  14657  rsp0  14658  rspssp  14659  lidlrsppropdg  14660  rspsn  14699