Theorem rsp0 14457

Description: The span of the zero element is the zero ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	|- K = (RSpan ` R )
rsp0.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
rsp0	|- ( R e. Ring -> ( K ` { .0. } ) = { .0. } )

Proof of Theorem rsp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 14428	. . 3 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
2		eqid 2229	. . . 4 |- ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) = ( 0g ` (ringLMod ` R ) )
3		eqid 2229	. . . 4 |- ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) )
4	2, 3	lspsn0 14386	. . 3 |- ( (ringLMod ` R ) e. LMod -> ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` { ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) } ) = { ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) } )
5	1, 4	syl 14	. 2 |- ( R e. Ring -> ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` { ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) } ) = { ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) } )
6		rspcl.k	. . . 4 |- K = (RSpan ` R )
7		rspvalg 14436	. . . 4 |- ( R e. Ring -> (RSpan ` R ) = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) )
8	6, 7	eqtrid 2274	. . 3 |- ( R e. Ring -> K = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) )
9		rsp0.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
10		rlm0g 14421	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) )
11	9, 10	eqtrid 2274	. . . 4 |- ( R e. Ring -> .0. = ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) )
12	11	sneqd 3679	. . 3 |- ( R e. Ring -> { .0. } = { ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) } )
13	8, 12	fveq12d 5634	. 2 |- ( R e. Ring -> ( K ` { .0. } ) = ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` { ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) } ) )
14	5, 13, 12	3eqtr4d 2272	1 |- ( R e. Ring -> ( K ` { .0. } ) = { .0. } )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   {csn 3666   ` cfv 5318   0gc0g 13289   Ringcrg 13959   LModclmod 14251   LSpanclspn 14350  ringLModcrglmod 14398  RSpancrsp 14432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-ltadd 8115

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-ltxr 8186  df-inn 9111  df-2 9169  df-3 9170  df-4 9171  df-5 9172  df-6 9173  df-7 9174  df-8 9175  df-ndx 13035  df-slot 13036  df-base 13038  df-sets 13039  df-iress 13040  df-plusg 13123  df-mulr 13124  df-sca 13126  df-vsca 13127  df-ip 13128  df-0g 13291  df-mgm 13389  df-sgrp 13435  df-mnd 13450  df-grp 13536  df-minusg 13537  df-subg 13707  df-mgp 13884  df-ur 13923  df-ring 13961  df-subrg 14183  df-lmod 14253  df-lssm 14317  df-lsp 14351  df-sra 14399  df-rgmod 14400  df-rsp 14434

This theorem is referenced by: (None)