Theorem rsp0 14939

Description: The span of the zero element is the zero ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	|- K = (RSpan ` R )
rsp0.z	|- .0. = ( 0g ` R )

Assertion

Ref	Expression
rsp0	|- ( R e. Ring -> ( K ` { .0. } ) = { .0. } )

Proof of Theorem rsp0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 14910	. . 3 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
2		eqid 2238	. . . 4 |- ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) = ( 0g ` (ringLMod ` R ) )
3		eqid 2238	. . . 4 |- ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) )
4	2, 3	lspsn0 14868	. . 3 |- ( (ringLMod ` R ) e. LMod -> ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` { ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) } ) = { ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) } )
5	1, 4	syl 14	. 2 |- ( R e. Ring -> ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` { ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) } ) = { ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) } )
6		rspcl.k	. . . 4 |- K = (RSpan ` R )
7		rspvalg 14918	. . . 4 |- ( R e. Ring -> (RSpan ` R ) = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) )
8	6, 7	eqtrid 2283	. . 3 |- ( R e. Ring -> K = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) )
9		rsp0.z	. . . . 5 |- .0. = ( 0g ` R )
10		rlm0g 14903	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> ( 0g ` R ) = ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) )
11	9, 10	eqtrid 2283	. . . 4 |- ( R e. Ring -> .0. = ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) )
12	11	sneqd 3722	. . 3 |- ( R e. Ring -> { .0. } = { ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) } )
13	8, 12	fveq12d 5705	. 2 |- ( R e. Ring -> ( K ` { .0. } ) = ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` { ( 0g ` (ringLMod ` R ) ) } ) )
14	5, 13, 12	3eqtr4d 2281	1 |- ( R e. Ring -> ( K ` { .0. } ) = { .0. } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   {csn 3709   ` cfv 5380   0gc0g 13669   Ringcrg 14407   LModclmod 14732   LSpanclspn 14832  ringLModcrglmod 14880  RSpancrsp 14914

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-lttrn 8299  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-3 9373  df-4 9374  df-5 9375  df-6 9376  df-7 9377  df-8 9378  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-plusg 13503  df-mulr 13504  df-sca 13506  df-vsca 13507  df-ip 13508  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-minusg 13868  df-subg 14032  df-mgp 14325  df-ur 14370  df-ring 14409  df-subrg 14636  df-lmod 14734  df-lssm 14799  df-lsp 14833  df-sra 14881  df-rgmod 14882  df-rsp 14916

This theorem is used by: (None)