Theorem lidlvalg 14283

Description: Value of the set of ring ideals. (Contributed by Stefan O'Rear, 31-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lidlvalg	|- ( W e. V -> (LIdeal ` W ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) )

Proof of Theorem lidlvalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-lidl 14281	. . 3 |- LIdeal = ( LSubSp o. ringLMod )
2	1	fveq1i 5587	. 2 |- (LIdeal ` W ) = ( ( LSubSp o. ringLMod ) ` W )
3		rlmfn 14265	. . 3 |- ringLMod Fn _V
4		elex 2785	. . 3 |- ( W e. V -> W e. _V )
5		fvco2 5658	. . 3 |- ( (ringLMod Fn _V /\ W e. _V ) -> ( ( LSubSp o. ringLMod ) ` W ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) )
6	3, 4, 5	sylancr 414	. 2 |- ( W e. V -> ( ( LSubSp o. ringLMod ) ` W ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) )
7	2, 6	eqtrid 2251	1 |- ( W e. V -> (LIdeal ` W ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` W ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   _Vcvv 2773   o. ccom 4684   Fn wfn 5272   ` cfv 5277   LSubSpclss 14164  ringLModcrglmod 14246  LIdealclidl 14279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1re 8032  ax-addrcl 8035

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-5 9111  df-6 9112  df-7 9113  df-8 9114  df-ndx 12885  df-slot 12886  df-base 12888  df-sets 12889  df-iress 12890  df-mulr 12973  df-sca 12975  df-vsca 12976  df-ip 12977  df-sra 14247  df-rgmod 14248  df-lidl 14281

This theorem is referenced by:  lidlex  14285  lidlss  14288  islidlm  14291  lidl0cl  14295  lidlacl  14296  lidlnegcl  14297  lidl0  14301  lidl1  14302  rspcl  14303  rspssp  14306  lidlrsppropdg  14307