Theorem rspcl 14023

Description: The span of a set of ring elements is an ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	|- K = (RSpan ` R )
rspcl.b	|- B = ( Base ` R )
rspcl.u	|- U = (LIdeal ` R )

Assertion

Ref	Expression
rspcl	|- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> ( K ` G ) e. U )

Proof of Theorem rspcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 13996	. . 3 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
2		rspcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
3		rlmbasg 13987	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) = ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
4	2, 3	eqtrid 2241	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> B = ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
5	4	sseq2d 3213	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( G C_ B <-> G C_ ( Base ` (ringLMod ` R ) ) ) )
6	5	biimpa 296	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> G C_ ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
7		eqid 2196	. . . 4 |- ( Base ` (ringLMod ` R ) ) = ( Base ` (ringLMod ` R ) )
8		eqid 2196	. . . 4 |- ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) )
9		eqid 2196	. . . 4 |- ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) )
10	7, 8, 9	lspcl 13923	. . 3 |- ( ( (ringLMod ` R ) e. LMod /\ G C_ ( Base ` (ringLMod ` R ) ) ) -> ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
11	1, 6, 10	syl2an2r 595	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
12		rspcl.k	. . . . . 6 |- K = (RSpan ` R )
13		rspvalg 14004	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> (RSpan ` R ) = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) )
14	12, 13	eqtrid 2241	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> K = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) )
15	14	fveq1d 5560	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( K ` G ) = ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) )
16		rspcl.u	. . . . 5 |- U = (LIdeal ` R )
17		lidlvalg 14003	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> (LIdeal ` R ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
18	16, 17	eqtrid 2241	. . . 4 |- ( R e. Ring -> U = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
19	15, 18	eleq12d 2267	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( K ` G ) e. U <-> ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) ) )
20	19	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> ( ( K ` G ) e. U <-> ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) ) )
21	11, 20	mpbird 167	1 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> ( K ` G ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   ` cfv 5258   Basecbs 12654   Ringcrg 13528   LModclmod 13819   LSubSpclss 13884   LSpanclspn 13918  ringLModcrglmod 13966  LIdealclidl 13999  RSpancrsp 14000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7968  ax-resscn 7969  ax-1cn 7970  ax-1re 7971  ax-icn 7972  ax-addcl 7973  ax-addrcl 7974  ax-mulcl 7975  ax-addcom 7977  ax-addass 7979  ax-i2m1 7982  ax-0lt1 7983  ax-0id 7985  ax-rnegex 7986  ax-pre-ltirr 7989  ax-pre-lttrn 7991  ax-pre-ltadd 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8061  df-mnf 8062  df-ltxr 8064  df-inn 8988  df-2 9046  df-3 9047  df-4 9048  df-5 9049  df-6 9050  df-7 9051  df-8 9052  df-ndx 12657  df-slot 12658  df-base 12660  df-sets 12661  df-iress 12662  df-plusg 12744  df-mulr 12745  df-sca 12747  df-vsca 12748  df-ip 12749  df-0g 12905  df-mgm 12975  df-sgrp 13021  df-mnd 13034  df-grp 13111  df-minusg 13112  df-sbg 13113  df-subg 13276  df-mgp 13453  df-ur 13492  df-ring 13530  df-subrg 13751  df-lmod 13821  df-lssm 13885  df-lsp 13919  df-sra 13967  df-rgmod 13968  df-lidl 14001  df-rsp 14002

This theorem is referenced by:  znlidl  14166  zndvds  14181