Theorem rspcl 14495

Description: The span of a set of ring elements is an ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	|- K = (RSpan ` R )
rspcl.b	|- B = ( Base ` R )
rspcl.u	|- U = (LIdeal ` R )

Assertion

Ref	Expression
rspcl	|- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> ( K ` G ) e. U )

Proof of Theorem rspcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 14468	. . 3 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
2		rspcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
3		rlmbasg 14459	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) = ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
4	2, 3	eqtrid 2274	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> B = ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
5	4	sseq2d 3255	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( G C_ B <-> G C_ ( Base ` (ringLMod ` R ) ) ) )
6	5	biimpa 296	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> G C_ ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
7		eqid 2229	. . . 4 |- ( Base ` (ringLMod ` R ) ) = ( Base ` (ringLMod ` R ) )
8		eqid 2229	. . . 4 |- ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) )
9		eqid 2229	. . . 4 |- ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) )
10	7, 8, 9	lspcl 14395	. . 3 |- ( ( (ringLMod ` R ) e. LMod /\ G C_ ( Base ` (ringLMod ` R ) ) ) -> ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
11	1, 6, 10	syl2an2r 597	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
12		rspcl.k	. . . . . 6 |- K = (RSpan ` R )
13		rspvalg 14476	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> (RSpan ` R ) = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) )
14	12, 13	eqtrid 2274	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> K = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) )
15	14	fveq1d 5637	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( K ` G ) = ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) )
16		rspcl.u	. . . . 5 |- U = (LIdeal ` R )
17		lidlvalg 14475	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> (LIdeal ` R ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
18	16, 17	eqtrid 2274	. . . 4 |- ( R e. Ring -> U = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
19	15, 18	eleq12d 2300	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( K ` G ) e. U <-> ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) ) )
20	19	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> ( ( K ` G ) e. U <-> ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) ) )
21	11, 20	mpbird 167	1 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> ( K ` G ) e. U )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3198   ` cfv 5324   Basecbs 13072   Ringcrg 13999   LModclmod 14291   LSubSpclss 14356   LSpanclspn 14390  ringLModcrglmod 14438  LIdealclidl 14471  RSpancrsp 14472

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-addcom 8122  ax-addass 8124  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-ltadd 8138

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-1st 6298  df-2nd 6299  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-ltxr 8209  df-inn 9134  df-2 9192  df-3 9193  df-4 9194  df-5 9195  df-6 9196  df-7 9197  df-8 9198  df-ndx 13075  df-slot 13076  df-base 13078  df-sets 13079  df-iress 13080  df-plusg 13163  df-mulr 13164  df-sca 13166  df-vsca 13167  df-ip 13168  df-0g 13331  df-mgm 13429  df-sgrp 13475  df-mnd 13490  df-grp 13576  df-minusg 13577  df-sbg 13578  df-subg 13747  df-mgp 13924  df-ur 13963  df-ring 14001  df-subrg 14223  df-lmod 14293  df-lssm 14357  df-lsp 14391  df-sra 14439  df-rgmod 14440  df-lidl 14473  df-rsp 14474

This theorem is referenced by:  znlidl  14638  zndvds  14653