Theorem rspcl 14877

Description: The span of a set of ring elements is an ideal. (Contributed by Stefan O'Rear, 3-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
rspcl.k	|- K = (RSpan ` R )
rspcl.b	|- B = ( Base ` R )
rspcl.u	|- U = (LIdeal ` R )

Assertion

Ref	Expression
rspcl	|- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> ( K ` G ) e. U )

Proof of Theorem rspcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rlmlmod 14850	. . 3 |- ( R e. Ring -> (ringLMod ` R ) e. LMod )
2		rspcl.b	. . . . . 6 |- B = ( Base ` R )
3		rlmbasg 14841	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> ( Base ` R ) = ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
4	2, 3	eqtrid 2283	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> B = ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
5	4	sseq2d 3278	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( G C_ B <-> G C_ ( Base ` (ringLMod ` R ) ) ) )
6	5	biimpa 296	. . 3 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> G C_ ( Base ` (ringLMod ` R ) ) )
7		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` (ringLMod ` R ) ) = ( Base ` (ringLMod ` R ) )
8		eqid 2238	. . . 4 |- ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) )
9		eqid 2238	. . . 4 |- ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) )
10	7, 8, 9	lspcl 14777	. . 3 |- ( ( (ringLMod ` R ) e. LMod /\ G C_ ( Base ` (ringLMod ` R ) ) ) -> ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
11	1, 6, 10	syl2an2r 603	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
12		rspcl.k	. . . . . 6 |- K = (RSpan ` R )
13		rspvalg 14858	. . . . . 6 |- ( R e. Ring -> (RSpan ` R ) = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) )
14	12, 13	eqtrid 2283	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> K = ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) )
15	14	fveq1d 5697	. . . 4 |- ( R e. Ring -> ( K ` G ) = ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) )
16		rspcl.u	. . . . 5 |- U = (LIdeal ` R )
17		lidlvalg 14857	. . . . 5 |- ( R e. Ring -> (LIdeal ` R ) = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
18	16, 17	eqtrid 2283	. . . 4 |- ( R e. Ring -> U = ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) )
19	15, 18	eleq12d 2309	. . 3 |- ( R e. Ring -> ( ( K ` G ) e. U <-> ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) ) )
20	19	adantr 276	. 2 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> ( ( K ` G ) e. U <-> ( ( LSpan ` (ringLMod ` R ) ) ` G ) e. ( LSubSp ` (ringLMod ` R ) ) ) )
21	11, 20	mpbird 167	1 |- ( ( R e. Ring /\ G C_ B ) -> ( K ` G ) e. U )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   C_ wss 3220   ` cfv 5377   Basecbs 13401   Ringcrg 14349   LModclmod 14672   LSubSpclss 14738   LSpanclspn 14772  ringLModcrglmod 14820  LIdealclidl 14853  RSpancrsp 14854

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9307  df-2 9365  df-3 9366  df-4 9367  df-5 9368  df-6 9369  df-7 9370  df-8 9371  df-ndx 13404  df-slot 13405  df-base 13407  df-sets 13408  df-iress 13409  df-plusg 13493  df-mulr 13494  df-sca 13496  df-vsca 13497  df-ip 13498  df-0g 13661  df-mgm 13725  df-sgrp 13766  df-mnd 13779  df-grp 13857  df-minusg 13858  df-sbg 13859  df-subg 14022  df-mgp 14267  df-ur 14312  df-ring 14351  df-subrg 14576  df-lmod 14674  df-lssm 14739  df-lsp 14773  df-sra 14821  df-rgmod 14822  df-lidl 14855  df-rsp 14856

This theorem is used by:  znlidl  15018  zndvds  15033