Theorem rspvalg 14176

Description: Value of the ring span function. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rspvalg	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)))

Proof of Theorem rspvalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rsp 14174	. . 3 ⊢ RSpan = (LSpan ∘ ringLMod)
2	1	fveq1i 5576	. 2 ⊢ (RSpan‘𝑊) = ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊)
3		rlmfn 14157	. . 3 ⊢ ringLMod Fn V
4		elex 2782	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
5		fvco2 5647	. . 3 ⊢ ((ringLMod Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)))
6	3, 4, 5	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)))
7	2, 6	eqtrid 2249	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771   ∘ ccom 4678   Fn wfn 5265  ‘cfv 5270  LSpanclspn 14090  ringLModcrglmod 14138  RSpancrsp 14172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1re 8018  ax-addrcl 8021

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-f1 5275  df-fo 5276  df-f1o 5277  df-fv 5278  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-inn 9036  df-2 9094  df-3 9095  df-4 9096  df-5 9097  df-6 9098  df-7 9099  df-8 9100  df-ndx 12777  df-slot 12778  df-base 12780  df-sets 12781  df-iress 12782  df-mulr 12865  df-sca 12867  df-vsca 12868  df-ip 12869  df-sra 14139  df-rgmod 14140  df-rsp 14174

This theorem is referenced by:  rspex  14178  rspcl  14195  rspssid  14196  rsp0  14197  rspssp  14198  lidlrsppropdg  14199  rspsn  14238