Theorem rspvalg 14319

Description: Value of the ring span function. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rspvalg	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)))

Proof of Theorem rspvalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rsp 14317	. . 3 ⊢ RSpan = (LSpan ∘ ringLMod)
2	1	fveq1i 5595	. 2 ⊢ (RSpan‘𝑊) = ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊)
3		rlmfn 14300	. . 3 ⊢ ringLMod Fn V
4		elex 2785	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
5		fvco2 5666	. . 3 ⊢ ((ringLMod Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)))
6	3, 4, 5	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)))
7	2, 6	eqtrid 2251	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ∘ ccom 4692   Fn wfn 5280  ‘cfv 5285  LSpanclspn 14233  ringLModcrglmod 14281  RSpancrsp 14315

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4170  ax-sep 4173  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1re 8049  ax-addrcl 8052

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-iun 3938  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-id 4353  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-5 9128  df-6 9129  df-7 9130  df-8 9131  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-sets 12924  df-iress 12925  df-mulr 13008  df-sca 13010  df-vsca 13011  df-ip 13012  df-sra 14282  df-rgmod 14283  df-rsp 14317

This theorem is referenced by:  rspex  14321  rspcl  14338  rspssid  14339  rsp0  14340  rspssp  14341  lidlrsppropdg  14342  rspsn  14381