Theorem rspvalg 13968

Description: Value of the ring span function. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rspvalg	⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)))

Proof of Theorem rspvalg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rsp 13966	. . 3 ⊢ RSpan = (LSpan ∘ ringLMod)
2	1	fveq1i 5555	. 2 ⊢ (RSpan‘𝑊) = ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊)
3		rlmfn 13949	. . 3 ⊢ ringLMod Fn V
4		elex 2771	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → 𝑊 ∈ V)
5		fvco2 5626	. . 3 ⊢ ((ringLMod Fn V ∧ 𝑊 ∈ V) → ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)))
6	3, 4, 5	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → ((LSpan ∘ ringLMod)‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)))
7	2, 6	eqtrid 2238	1 ⊢ (𝑊 ∈ 𝑉 → (RSpan‘𝑊) = (LSpan‘(ringLMod‘𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∘ ccom 4663   Fn wfn 5249  ‘cfv 5254  LSpanclspn 13882  ringLModcrglmod 13930  RSpancrsp 13964

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-ip 12713  df-sra 13931  df-rgmod 13932  df-rsp 13966

This theorem is referenced by:  rspex  13970  rspcl  13987  rspssid  13988  rsp0  13989  rspssp  13990  lidlrsppropdg  13991  rspsn  14030