Theorem subcld 8457

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subcl 8345	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200  (class class class)co 6001   CCcc 7997   - cmin 8317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-addcom 8099  ax-addass 8101  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-cnre 8110

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-sub 8319

This theorem is referenced by:  pnpncand  8521  kcnktkm1cn  8529  muleqadd  8815  ofnegsub  9109  peano2zm  9484  peano5uzti  9555  modqmuladdnn0  10590  modsumfzodifsn  10618  hashfz  11043  hashfzo  11044  ccatswrd  11202  pfxccatin12lem2  11263  shftfvalg  11329  ovshftex  11330  shftfibg  11331  shftfval  11332  shftdm  11333  shftfib  11334  shftval  11336  2shfti  11342  crre  11368  remim  11371  remullem  11382  resqrexlemover  11521  resqrexlemcalc1  11525  abssubne0  11602  abs3lem  11622  caubnd2  11628  maxabslemlub  11718  maxabslemval  11719  maxcl  11721  minabs  11747  bdtrilem  11750  bdtri  11751  climuni  11804  mulcn2  11823  reccn2ap  11824  cn1lem  11825  climcvg1nlem  11860  fsumparts  11981  arisum2  12010  geosergap  12017  geo2sum2  12026  geoisum1c  12031  cvgratnnlemrate  12041  sinval  12213  sinf  12215  tanval2ap  12224  tanval3ap  12225  sinneg  12237  efival  12243  cos12dec  12279  bitsinv1lem  12472  pythagtriplem1  12788  pythagtriplem14  12800  pythagtriplem16  12802  pythagtriplem17  12803  dvdsprmpweqle  12860  4sqlem5  12905  mul4sqlem  12916  4sqlem17  12930  addcncntoplem  15235  mulcncflem  15281  cnopnap  15285  limcimolemlt  15338  limcimo  15339  cnplimclemle  15342  limccnp2lem  15350  dvlemap  15354  dvconst  15368  dvid  15369  dvconstre  15370  dvidre  15371  dvconstss  15372  dvcnp2cntop  15373  dvaddxxbr  15375  dvmulxxbr  15376  dvcoapbr  15381  dvcjbr  15382  dvrecap  15387  dveflem  15400  dvef  15401  sin0pilem1  15455  ptolemy  15498  tangtx  15512  cosq34lt1  15524  lgsdirprm  15713  gausslemma2dlem1a  15737  qdencn  16395  trirec0  16412  apdifflemf  16414  apdifflemr  16415  apdiff  16416