Theorem subcld 8339

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subcl 8227	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2167  (class class class)co 5923   CCcc 7879   - cmin 8199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-setind 4574  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-cnre 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-sub 8201

This theorem is referenced by:  pnpncand  8403  kcnktkm1cn  8411  muleqadd  8697  ofnegsub  8991  peano2zm  9366  peano5uzti  9436  modqmuladdnn0  10462  modsumfzodifsn  10490  hashfz  10915  hashfzo  10916  shftfvalg  10985  ovshftex  10986  shftfibg  10987  shftfval  10988  shftdm  10989  shftfib  10990  shftval  10992  2shfti  10998  crre  11024  remim  11027  remullem  11038  resqrexlemover  11177  resqrexlemcalc1  11181  abssubne0  11258  abs3lem  11278  caubnd2  11284  maxabslemlub  11374  maxabslemval  11375  maxcl  11377  minabs  11403  bdtrilem  11406  bdtri  11407  climuni  11460  mulcn2  11479  reccn2ap  11480  cn1lem  11481  climcvg1nlem  11516  fsumparts  11637  arisum2  11666  geosergap  11673  geo2sum2  11682  geoisum1c  11687  cvgratnnlemrate  11697  sinval  11869  sinf  11871  tanval2ap  11880  tanval3ap  11881  sinneg  11893  efival  11899  cos12dec  11935  bitsinv1lem  12128  pythagtriplem1  12444  pythagtriplem14  12456  pythagtriplem16  12458  pythagtriplem17  12459  dvdsprmpweqle  12516  4sqlem5  12561  mul4sqlem  12572  4sqlem17  12586  addcncntoplem  14807  mulcncflem  14853  cnopnap  14857  limcimolemlt  14910  limcimo  14911  cnplimclemle  14914  limccnp2lem  14922  dvlemap  14926  dvconst  14940  dvid  14941  dvconstre  14942  dvidre  14943  dvconstss  14944  dvcnp2cntop  14945  dvaddxxbr  14947  dvmulxxbr  14948  dvcoapbr  14953  dvcjbr  14954  dvrecap  14959  dveflem  14972  dvef  14973  sin0pilem1  15027  ptolemy  15070  tangtx  15084  cosq34lt1  15096  lgsdirprm  15285  gausslemma2dlem1a  15309  qdencn  15681  trirec0  15698  apdifflemf  15700  apdifflemr  15701  apdiff  15702