Theorem subcld 8549

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subcl 8437	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2202  (class class class)co 6028   CCcc 8090   - cmin 8409

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-setind 4641  ax-resscn 8184  ax-1cn 8185  ax-icn 8187  ax-addcl 8188  ax-addrcl 8189  ax-mulcl 8190  ax-addcom 8192  ax-addass 8194  ax-distr 8196  ax-i2m1 8197  ax-0id 8200  ax-rnegex 8201  ax-cnre 8203

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8411

This theorem is referenced by:  pnpncand  8613  kcnktkm1cn  8621  muleqadd  8907  ofnegsub  9201  peano2zm  9578  peano5uzti  9649  modqmuladdnn0  10693  modsumfzodifsn  10721  hashfz  11148  hashfzo  11149  ccatswrd  11317  pfxccatin12lem2  11378  shftfvalg  11458  ovshftex  11459  shftfibg  11460  shftfval  11461  shftdm  11462  shftfib  11463  shftval  11465  2shfti  11471  crre  11497  remim  11500  remullem  11511  resqrexlemover  11650  resqrexlemcalc1  11654  abssubne0  11731  abs3lem  11751  caubnd2  11757  maxabslemlub  11847  maxabslemval  11848  maxcl  11850  minabs  11876  bdtrilem  11879  bdtri  11880  climuni  11933  mulcn2  11952  reccn2ap  11953  cn1lem  11954  climcvg1nlem  11989  fsumparts  12111  arisum2  12140  geosergap  12147  geo2sum2  12156  geoisum1c  12161  cvgratnnlemrate  12171  sinval  12343  sinf  12345  tanval2ap  12354  tanval3ap  12355  sinneg  12367  efival  12373  cos12dec  12409  bitsinv1lem  12602  pythagtriplem1  12918  pythagtriplem14  12930  pythagtriplem16  12932  pythagtriplem17  12933  dvdsprmpweqle  12990  4sqlem5  13035  mul4sqlem  13046  4sqlem17  13060  addcncntoplem  15372  mulcncflem  15418  cnopnap  15422  limcimolemlt  15475  limcimo  15476  cnplimclemle  15479  limccnp2lem  15487  dvlemap  15491  dvconst  15505  dvid  15506  dvconstre  15507  dvidre  15508  dvconstss  15509  dvcnp2cntop  15510  dvaddxxbr  15512  dvmulxxbr  15513  dvcoapbr  15518  dvcjbr  15519  dvrecap  15524  dveflem  15537  dvef  15538  sin0pilem1  15592  ptolemy  15635  tangtx  15649  cosq34lt1  15661  pellexlem2  15792  lgsdirprm  15853  gausslemma2dlem1a  15877  clwwlknonex2lem1  16378  qdencn  16755  trirec0  16776  apdifflemf  16778  apdifflemr  16779  apdiff  16780  qdiff  16781  gsumgfsumlem  16812