Theorem subcld 8644

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subcl 8532	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. CC )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6088   CCcc 8183   - cmin 8504

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-setind 4686  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-distr 8289  ax-i2m1 8290  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-cnre 8296

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4132  df-opab 4194  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-sub 8506

This theorem is used by:  pnpncand  8708  kcnktkm1cn  8717  muleqadd  9006  ofsubeq0  9300  ofnegsub  9301  peano2zm  9691  peano5uzti  9764  modqmuladdnn0  10825  modsumfzodifsn  10853  bcm1n  11228  hashfz  11283  hashfzo  11284  hashf1lem2  11307  hashf1  11308  ccatswrd  11463  pfxccatin12lem2  11524  shftfvalg  11604  ovshftex  11605  shftfibg  11606  shftfval  11607  shftdm  11608  shftfib  11609  shftval  11611  2shfti  11617  crre  11643  remim  11646  remullem  11657  resqrexlemover  11797  resqrexlemcalc1  11801  abssubne0  11879  abs3lem  11899  caubnd2  11905  maxabslemlub  11995  maxabslemval  11996  maxcl  11998  minabs  12025  bdtrilem  12029  bdtri  12030  climuni  12083  mulcn2  12102  reccn2ap  12103  cn1lem  12104  climcvg1nlem  12139  fsumparts  12261  arisum2  12290  geosergap  12297  geo2sum2  12306  geoisum1c  12311  cvgratnnlemrate  12321  sinval  12493  sinf  12495  tanval2ap  12504  tanval3ap  12505  sinneg  12517  efival  12523  cos12dec  12559  bitsinv1lem  12752  pythagtriplem1  13072  pythagtriplem14  13084  pythagtriplem16  13086  pythagtriplem17  13087  dvdsprmpweqle  13144  4sqlem5  13189  mul4sqlem  13200  4sqlem17  13214  gzsumshift  14238  addcncntoplem  15804  mulcncflem  15850  cnopnap  15854  limcimolemlt  15907  limcimo  15908  cnplimclemle  15911  limccnp2lem  15919  dvlemap  15923  dvconst  15937  dvid  15938  dvconstre  15939  dvidre  15940  dvconstss  15941  dvcnp2cntop  15942  dvaddxxbr  15944  dvmulxxbr  15945  dvcoapbr  15950  dvcjbr  15951  dvrecap  15956  dveflem  15969  dvef  15970  sin0pilem1  16025  ptolemy  16068  tangtx  16082  sineq0re  16093  cosq34lt1  16095  pellexlem2  16247  lgsdirprm  16375  gausslemma2dlem1a  16399  clwwlknonex2lem1  16900  dichmul0orlem7  16981  qdencn  17295  trirec0  17317  apdifflemf  17319  apdifflemr  17320  apdiff  17321  qdiff  17322