Theorem subcld 8282

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subcl 8170	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2158  (class class class)co 5888   CCcc 7823   - cmin 8142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-setind 4548  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-distr 7929  ax-i2m1 7930  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-cnre 7936

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-opab 4077  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-sub 8144

This theorem is referenced by:  pnpncand  8346  kcnktkm1cn  8354  muleqadd  8639  peano2zm  9305  peano5uzti  9375  modqmuladdnn0  10382  modsumfzodifsn  10410  hashfz  10815  hashfzo  10816  shftfvalg  10841  ovshftex  10842  shftfibg  10843  shftfval  10844  shftdm  10845  shftfib  10846  shftval  10848  2shfti  10854  crre  10880  remim  10883  remullem  10894  resqrexlemover  11033  resqrexlemcalc1  11037  abssubne0  11114  abs3lem  11134  caubnd2  11140  maxabslemlub  11230  maxabslemval  11231  maxcl  11233  minabs  11258  bdtrilem  11261  bdtri  11262  climuni  11315  mulcn2  11334  reccn2ap  11335  cn1lem  11336  climcvg1nlem  11371  fsumparts  11492  arisum2  11521  geosergap  11528  geo2sum2  11537  geoisum1c  11542  cvgratnnlemrate  11552  sinval  11724  sinf  11726  tanval2ap  11735  tanval3ap  11736  sinneg  11748  efival  11754  cos12dec  11789  pythagtriplem1  12279  pythagtriplem14  12291  pythagtriplem16  12293  pythagtriplem17  12294  dvdsprmpweqle  12350  4sqlem5  12394  mul4sqlem  12405  addcncntoplem  14404  mulcncflem  14443  cnopnap  14447  limcimolemlt  14486  limcimo  14487  cnplimclemle  14490  limccnp2lem  14498  dvlemap  14502  dvconst  14514  dvid  14515  dvcnp2cntop  14516  dvaddxxbr  14518  dvmulxxbr  14519  dvcoapbr  14524  dvcjbr  14525  dvrecap  14530  dveflem  14540  dvef  14541  sin0pilem1  14555  ptolemy  14598  tangtx  14612  cosq34lt1  14624  lgsdirprm  14788  qdencn  15129  trirec0  15146  apdifflemf  15148  apdifflemr  15149  apdiff  15150