Theorem subcld 8209

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subcl 8097	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
4	1, 2, 3	syl2anc 409	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2136  (class class class)co 5842   CCcc 7751   - cmin 8069

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-setind 4514  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-addcom 7853  ax-addass 7855  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-cnre 7864

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-sub 8071

This theorem is referenced by:  pnpncand  8273  kcnktkm1cn  8281  muleqadd  8565  peano2zm  9229  peano5uzti  9299  modqmuladdnn0  10303  modsumfzodifsn  10331  hashfz  10734  hashfzo  10735  shftfvalg  10760  ovshftex  10761  shftfibg  10762  shftfval  10763  shftdm  10764  shftfib  10765  shftval  10767  2shfti  10773  crre  10799  remim  10802  remullem  10813  resqrexlemover  10952  resqrexlemcalc1  10956  abssubne0  11033  abs3lem  11053  caubnd2  11059  maxabslemlub  11149  maxabslemval  11150  maxcl  11152  minabs  11177  bdtrilem  11180  bdtri  11181  climuni  11234  mulcn2  11253  reccn2ap  11254  cn1lem  11255  climcvg1nlem  11290  fsumparts  11411  arisum2  11440  geosergap  11447  geo2sum2  11456  geoisum1c  11461  cvgratnnlemrate  11471  sinval  11643  sinf  11645  tanval2ap  11654  tanval3ap  11655  sinneg  11667  efival  11673  cos12dec  11708  pythagtriplem1  12197  pythagtriplem14  12209  pythagtriplem16  12211  pythagtriplem17  12212  dvdsprmpweqle  12268  4sqlem5  12312  mul4sqlem  12323  addcncntoplem  13191  mulcncflem  13230  cnopnap  13234  limcimolemlt  13273  limcimo  13274  cnplimclemle  13277  limccnp2lem  13285  dvlemap  13289  dvconst  13301  dvid  13302  dvcnp2cntop  13303  dvaddxxbr  13305  dvmulxxbr  13306  dvcoapbr  13311  dvcjbr  13312  dvrecap  13317  dveflem  13327  dvef  13328  sin0pilem1  13342  ptolemy  13385  tangtx  13399  cosq34lt1  13411  lgsdirprm  13575  qdencn  13906  trirec0  13923  apdifflemf  13925  apdifflemr  13926  apdiff  13927