Theorem subcld 8586

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subcl 8474	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2205  (class class class)co 6052   CCcc 8127   - cmin 8446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-setind 4661  ax-resscn 8221  ax-1cn 8222  ax-icn 8224  ax-addcl 8225  ax-addrcl 8226  ax-mulcl 8227  ax-addcom 8229  ax-addass 8231  ax-distr 8233  ax-i2m1 8234  ax-0id 8237  ax-rnegex 8238  ax-cnre 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-br 4112  df-opab 4174  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fv 5362  df-riota 6005  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-sub 8448

This theorem is referenced by:  pnpncand  8650  kcnktkm1cn  8658  muleqadd  8944  ofnegsub  9238  peano2zm  9617  peano5uzti  9689  modqmuladdnn0  10734  modsumfzodifsn  10762  bcm1n  11135  hashfz  11190  hashfzo  11191  ccatswrd  11366  pfxccatin12lem2  11427  shftfvalg  11507  ovshftex  11508  shftfibg  11509  shftfval  11510  shftdm  11511  shftfib  11512  shftval  11514  2shfti  11520  crre  11546  remim  11549  remullem  11560  resqrexlemover  11699  resqrexlemcalc1  11703  abssubne0  11780  abs3lem  11800  caubnd2  11806  maxabslemlub  11896  maxabslemval  11897  maxcl  11899  minabs  11925  bdtrilem  11928  bdtri  11929  climuni  11982  mulcn2  12001  reccn2ap  12002  cn1lem  12003  climcvg1nlem  12038  fsumparts  12160  arisum2  12189  geosergap  12196  geo2sum2  12205  geoisum1c  12210  cvgratnnlemrate  12220  sinval  12392  sinf  12394  tanval2ap  12403  tanval3ap  12404  sinneg  12416  efival  12422  cos12dec  12458  bitsinv1lem  12651  pythagtriplem1  12967  pythagtriplem14  12979  pythagtriplem16  12981  pythagtriplem17  12982  dvdsprmpweqle  13039  4sqlem5  13084  mul4sqlem  13095  4sqlem17  13109  addcncntoplem  15443  mulcncflem  15489  cnopnap  15493  limcimolemlt  15546  limcimo  15547  cnplimclemle  15550  limccnp2lem  15558  dvlemap  15562  dvconst  15576  dvid  15577  dvconstre  15578  dvidre  15579  dvconstss  15580  dvcnp2cntop  15581  dvaddxxbr  15583  dvmulxxbr  15584  dvcoapbr  15589  dvcjbr  15590  dvrecap  15595  dveflem  15608  dvef  15609  sin0pilem1  15663  ptolemy  15706  tangtx  15720  cosq34lt1  15732  pellexlem2  15863  lgsdirprm  15924  gausslemma2dlem1a  15948  clwwlknonex2lem1  16449  qdencn  16824  trirec0  16845  apdifflemf  16847  apdifflemr  16848  apdiff  16849  qdiff  16850  gsumgfsumlem  16882