Theorem subcld 8385

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subcl 8273	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2176  (class class class)co 5946   CCcc 7925   - cmin 8245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-sep 4163  ax-pow 4219  ax-pr 4254  ax-setind 4586  ax-resscn 8019  ax-1cn 8020  ax-icn 8022  ax-addcl 8023  ax-addrcl 8024  ax-mulcl 8025  ax-addcom 8027  ax-addass 8029  ax-distr 8031  ax-i2m1 8032  ax-0id 8035  ax-rnegex 8036  ax-cnre 8038

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4046  df-opab 4107  df-id 4341  df-xp 4682  df-rel 4683  df-cnv 4684  df-co 4685  df-dm 4686  df-iota 5233  df-fun 5274  df-fv 5280  df-riota 5901  df-ov 5949  df-oprab 5950  df-mpo 5951  df-sub 8247

This theorem is referenced by:  pnpncand  8449  kcnktkm1cn  8457  muleqadd  8743  ofnegsub  9037  peano2zm  9412  peano5uzti  9483  modqmuladdnn0  10515  modsumfzodifsn  10543  hashfz  10968  hashfzo  10969  ccatswrd  11126  shftfvalg  11162  ovshftex  11163  shftfibg  11164  shftfval  11165  shftdm  11166  shftfib  11167  shftval  11169  2shfti  11175  crre  11201  remim  11204  remullem  11215  resqrexlemover  11354  resqrexlemcalc1  11358  abssubne0  11435  abs3lem  11455  caubnd2  11461  maxabslemlub  11551  maxabslemval  11552  maxcl  11554  minabs  11580  bdtrilem  11583  bdtri  11584  climuni  11637  mulcn2  11656  reccn2ap  11657  cn1lem  11658  climcvg1nlem  11693  fsumparts  11814  arisum2  11843  geosergap  11850  geo2sum2  11859  geoisum1c  11864  cvgratnnlemrate  11874  sinval  12046  sinf  12048  tanval2ap  12057  tanval3ap  12058  sinneg  12070  efival  12076  cos12dec  12112  bitsinv1lem  12305  pythagtriplem1  12621  pythagtriplem14  12633  pythagtriplem16  12635  pythagtriplem17  12636  dvdsprmpweqle  12693  4sqlem5  12738  mul4sqlem  12749  4sqlem17  12763  addcncntoplem  15066  mulcncflem  15112  cnopnap  15116  limcimolemlt  15169  limcimo  15170  cnplimclemle  15173  limccnp2lem  15181  dvlemap  15185  dvconst  15199  dvid  15200  dvconstre  15201  dvidre  15202  dvconstss  15203  dvcnp2cntop  15204  dvaddxxbr  15206  dvmulxxbr  15207  dvcoapbr  15212  dvcjbr  15213  dvrecap  15218  dveflem  15231  dvef  15232  sin0pilem1  15286  ptolemy  15329  tangtx  15343  cosq34lt1  15355  lgsdirprm  15544  gausslemma2dlem1a  15568  qdencn  16003  trirec0  16020  apdifflemf  16022  apdifflemr  16023  apdiff  16024