ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subcld Unicode version

Theorem subcld 8092
Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
negidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
pncand.2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
Assertion
Ref Expression
subcld  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )

Proof of Theorem subcld
StepHypRef Expression
1 negidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
2 pncand.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
3 subcl 7980 . 2  |-  ( ( A  e.  CC  /\  B  e.  CC )  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
41, 2, 3syl2anc 408 1  |-  ( ph  ->  ( A  -  B
)  e.  CC )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1480  (class class class)co 5777   CCcc 7637    - cmin 7952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-setind 4455  ax-resscn 7731  ax-1cn 7732  ax-icn 7734  ax-addcl 7735  ax-addrcl 7736  ax-mulcl 7737  ax-addcom 7739  ax-addass 7741  ax-distr 7743  ax-i2m1 7744  ax-0id 7747  ax-rnegex 7748  ax-cnre 7750
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-br 3933  df-opab 3993  df-id 4218  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fv 5134  df-riota 5733  df-ov 5780  df-oprab 5781  df-mpo 5782  df-sub 7954
This theorem is referenced by:  pnpncand  8156  kcnktkm1cn  8164  muleqadd  8448  peano2zm  9111  peano5uzti  9178  modqmuladdnn0  10165  modsumfzodifsn  10193  hashfz  10591  hashfzo  10592  shftfvalg  10614  ovshftex  10615  shftfibg  10616  shftfval  10617  shftdm  10618  shftfib  10619  shftval  10621  2shfti  10627  crre  10653  remim  10656  remullem  10667  resqrexlemover  10806  resqrexlemcalc1  10810  abssubne0  10887  abs3lem  10907  caubnd2  10913  maxabslemlub  11003  maxabslemval  11004  maxcl  11006  minabs  11031  bdtrilem  11034  bdtri  11035  climuni  11086  mulcn2  11105  reccn2ap  11106  cn1lem  11107  climcvg1nlem  11142  fsumparts  11263  arisum2  11292  geosergap  11299  geo2sum2  11308  geoisum1c  11313  cvgratnnlemrate  11323  sinval  11432  sinf  11434  tanval2ap  11443  tanval3ap  11444  sinneg  11456  efival  11462  cos12dec  11497  addcncntoplem  12746  mulcncflem  12785  cnopnap  12789  limcimolemlt  12828  limcimo  12829  cnplimclemle  12832  limccnp2lem  12840  dvlemap  12844  dvconst  12856  dvid  12857  dvcnp2cntop  12858  dvaddxxbr  12860  dvmulxxbr  12861  dvcoapbr  12866  dvcjbr  12867  dvrecap  12872  dveflem  12882  dvef  12883  sin0pilem1  12896  ptolemy  12939  tangtx  12953  cosq34lt1  12965  qdencn  13370  trirec0  13385  apdifflemf  13387  apdifflemr  13388  apdiff  13389
  Copyright terms: Public domain W3C validator