Theorem subcld 8468

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subcl 8356	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2200  (class class class)co 6007   CCcc 8008   - cmin 8328

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-setind 4629  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-distr 8114  ax-i2m1 8115  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-sub 8330

This theorem is referenced by:  pnpncand  8532  kcnktkm1cn  8540  muleqadd  8826  ofnegsub  9120  peano2zm  9495  peano5uzti  9566  modqmuladdnn0  10602  modsumfzodifsn  10630  hashfz  11056  hashfzo  11057  ccatswrd  11218  pfxccatin12lem2  11279  shftfvalg  11345  ovshftex  11346  shftfibg  11347  shftfval  11348  shftdm  11349  shftfib  11350  shftval  11352  2shfti  11358  crre  11384  remim  11387  remullem  11398  resqrexlemover  11537  resqrexlemcalc1  11541  abssubne0  11618  abs3lem  11638  caubnd2  11644  maxabslemlub  11734  maxabslemval  11735  maxcl  11737  minabs  11763  bdtrilem  11766  bdtri  11767  climuni  11820  mulcn2  11839  reccn2ap  11840  cn1lem  11841  climcvg1nlem  11876  fsumparts  11997  arisum2  12026  geosergap  12033  geo2sum2  12042  geoisum1c  12047  cvgratnnlemrate  12057  sinval  12229  sinf  12231  tanval2ap  12240  tanval3ap  12241  sinneg  12253  efival  12259  cos12dec  12295  bitsinv1lem  12488  pythagtriplem1  12804  pythagtriplem14  12816  pythagtriplem16  12818  pythagtriplem17  12819  dvdsprmpweqle  12876  4sqlem5  12921  mul4sqlem  12932  4sqlem17  12946  addcncntoplem  15251  mulcncflem  15297  cnopnap  15301  limcimolemlt  15354  limcimo  15355  cnplimclemle  15358  limccnp2lem  15366  dvlemap  15370  dvconst  15384  dvid  15385  dvconstre  15386  dvidre  15387  dvconstss  15388  dvcnp2cntop  15389  dvaddxxbr  15391  dvmulxxbr  15392  dvcoapbr  15397  dvcjbr  15398  dvrecap  15403  dveflem  15416  dvef  15417  sin0pilem1  15471  ptolemy  15514  tangtx  15528  cosq34lt1  15540  lgsdirprm  15729  gausslemma2dlem1a  15753  qdencn  16483  trirec0  16500  apdifflemf  16502  apdifflemr  16503  apdiff  16504