Theorem subcld 8270

Description: Closure law for subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
negidd.1	|- ( ph -> A e. CC )
pncand.2	|- ( ph -> B e. CC )

Assertion

Ref	Expression
subcld	|- ( ph -> ( A - B ) e. CC )

Proof of Theorem subcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negidd.1	. 2 |- ( ph -> A e. CC )
2		pncand.2	. 2 |- ( ph -> B e. CC )
3		subcl 8158	. 2 |- ( ( A e. CC /\ B e. CC ) -> ( A - B ) e. CC )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A - B ) e. CC )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2148  (class class class)co 5877   CCcc 7811   - cmin 8130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-setind 4538  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-sub 8132

This theorem is referenced by:  pnpncand  8334  kcnktkm1cn  8342  muleqadd  8627  peano2zm  9293  peano5uzti  9363  modqmuladdnn0  10370  modsumfzodifsn  10398  hashfz  10803  hashfzo  10804  shftfvalg  10829  ovshftex  10830  shftfibg  10831  shftfval  10832  shftdm  10833  shftfib  10834  shftval  10836  2shfti  10842  crre  10868  remim  10871  remullem  10882  resqrexlemover  11021  resqrexlemcalc1  11025  abssubne0  11102  abs3lem  11122  caubnd2  11128  maxabslemlub  11218  maxabslemval  11219  maxcl  11221  minabs  11246  bdtrilem  11249  bdtri  11250  climuni  11303  mulcn2  11322  reccn2ap  11323  cn1lem  11324  climcvg1nlem  11359  fsumparts  11480  arisum2  11509  geosergap  11516  geo2sum2  11525  geoisum1c  11530  cvgratnnlemrate  11540  sinval  11712  sinf  11714  tanval2ap  11723  tanval3ap  11724  sinneg  11736  efival  11742  cos12dec  11777  pythagtriplem1  12267  pythagtriplem14  12279  pythagtriplem16  12281  pythagtriplem17  12282  dvdsprmpweqle  12338  4sqlem5  12382  mul4sqlem  12393  addcncntoplem  14090  mulcncflem  14129  cnopnap  14133  limcimolemlt  14172  limcimo  14173  cnplimclemle  14176  limccnp2lem  14184  dvlemap  14188  dvconst  14200  dvid  14201  dvcnp2cntop  14202  dvaddxxbr  14204  dvmulxxbr  14205  dvcoapbr  14210  dvcjbr  14211  dvrecap  14216  dveflem  14226  dvef  14227  sin0pilem1  14241  ptolemy  14284  tangtx  14298  cosq34lt1  14310  lgsdirprm  14474  qdencn  14814  trirec0  14831  apdifflemf  14833  apdifflemr  14834  apdiff  14835