Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftdm GIF version

Theorem shftdm 10653
 Description: Domain of a relation shifted by 𝐴. The set on the right is more commonly notated as (dom 𝐹 + 𝐴) (meaning add 𝐴 to every element of dom 𝐹). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
shftdm (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝐹 shift 𝐴) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem shftdm
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shftfval.1 . . . 4 𝐹 ∈ V
21shftfval 10652 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)})
32dmeqd 4752 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝐹 shift 𝐴) = dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)})
4 19.42v 1879 . . . . 5 (∃𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦(𝑥𝐴)𝐹𝑦))
5 simpr 109 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
6 simpl 108 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
75, 6subcld 8124 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥𝐴) ∈ ℂ)
8 eldmg 4745 . . . . . . 7 ((𝑥𝐴) ∈ ℂ → ((𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑦(𝑥𝐴)𝐹𝑦))
97, 8syl 14 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑦(𝑥𝐴)𝐹𝑦))
109pm5.32da 448 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦(𝑥𝐴)𝐹𝑦)))
114, 10bitr4id 198 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹)))
1211abbidv 2258 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹)})
13 dmopab 4761 . . 3 dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)}
14 df-rab 2426 . . 3 {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹)}
1512, 13, 143eqtr4g 2198 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥𝐴)𝐹𝑦)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹})
163, 15eqtrd 2173 1 (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝐹 shift 𝐴) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥𝐴) ∈ dom 𝐹})
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481  {cab 2126  {crab 2421  Vcvv 2690   class class class wbr 3938  {copab 3997  dom cdm 4550  (class class class)co 5785  ℂcc 7669   − cmin 7984   shift cshi 10645 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4052  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4141  ax-un 4365  ax-setind 4462  ax-resscn 7763  ax-1cn 7764  ax-icn 7766  ax-addcl 7767  ax-addrcl 7768  ax-mulcl 7769  ax-addcom 7771  ax-addass 7773  ax-distr 7775  ax-i2m1 7776  ax-0id 7779  ax-rnegex 7780  ax-cnre 7782 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-csb 3009  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-iun 3824  df-br 3939  df-opab 3999  df-mpt 4000  df-id 4225  df-xp 4556  df-rel 4557  df-cnv 4558  df-co 4559  df-dm 4560  df-rn 4561  df-res 4562  df-ima 4563  df-iota 5099  df-fun 5136  df-fn 5137  df-f 5138  df-f1 5139  df-fo 5140  df-f1o 5141  df-fv 5142  df-riota 5741  df-ov 5788  df-oprab 5789  df-mpo 5790  df-sub 7986  df-shft 10646 This theorem is referenced by:  shftfn  10655
 Copyright terms: Public domain W3C validator