Theorem shftdm 11445

Description: Domain of a relation shifted by 𝐴. The set on the right is more commonly notated as (dom 𝐹 + 𝐴) (meaning add 𝐴 to every element of dom 𝐹). (Contributed by Mario Carneiro, 3-Nov-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
shftfval.1	⊢ 𝐹 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
shftdm	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝐹 shift 𝐴) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹})

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹

Proof of Theorem shftdm

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		shftfval.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 ∈ V
2	1	shftfval 11444	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐹 shift 𝐴) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
3	2	dmeqd 4939	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝐹 shift 𝐴) = dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)})
4		19.42v 1955	. . . . 5 ⊢ (∃𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦(𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦))
5		simpr 110	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℂ)
6		simpl 109	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
7	5, 6	subcld 8532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 − 𝐴) ∈ ℂ)
8		eldmg 4932	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 − 𝐴) ∈ ℂ → ((𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑦(𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦))
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹 ↔ ∃𝑦(𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦))
10	9	pm5.32da 452	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ ∃𝑦(𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)))
11	4, 10	bitr4id 199	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (∃𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹)))
12	11	abbidv 2350	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹)})
13		dmopab 4948	. . 3 ⊢ dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} = {𝑥 ∣ ∃𝑦(𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)}
14		df-rab 2520	. . 3 ⊢ {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹} = {𝑥 ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹)}
15	12, 13, 14	3eqtr4g 2289	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 − 𝐴)𝐹𝑦)} = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹})
16	3, 15	eqtrd 2264	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → dom (𝐹 shift 𝐴) = {𝑥 ∈ ℂ ∣ (𝑥 − 𝐴) ∈ dom 𝐹})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2202  {cab 2217  {crab 2515  Vcvv 2803   class class class wbr 4093  {copab 4154  dom cdm 4731  (class class class)co 6028  ℂcc 8073   − cmin 8392   shift cshi 11437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-sub 8394  df-shft 11438

This theorem is referenced by:  shftfn  11447