Theorem sratsetg 14322

Description: Topology component of a subring algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Revised by AV, 29-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
srapart.ex	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
sratsetg	⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑊) = (TopSet‘𝐴))

Proof of Theorem sratsetg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srapart.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
2		srapart.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
3		srapart.ex	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
4		tsetslid 13135	. 2 ⊢ (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
5		slotstnscsi 13142	. . . 4 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
6	5	simp1i 1009	. . 3 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
7	6	necomi 2463	. 2 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
8	5	simp2i 1010	. . 3 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
9	8	necomi 2463	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
10	5	simp3i 1011	. . 3 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
11	10	necomi 2463	. 2 ⊢ (·𝑖‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
12	1, 2, 3, 4, 7, 9, 11	sralemg 14315	1 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑊) = (TopSet‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2178   ≠ wne 2378   ⊆ wss 3174  ‘cfv 5290  ndxcnx 12944  Basecbs 12947  Scalarcsca 13027   ·_𝑠 cvsca 13028  ·_𝑖cip 13029  TopSetcts 13030  subringAlg csra 14310

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-coll 4175  ax-sep 4178  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498  ax-setind 4603  ax-cnex 8051  ax-resscn 8052  ax-1cn 8053  ax-1re 8054  ax-icn 8055  ax-addcl 8056  ax-addrcl 8057  ax-mulcl 8058  ax-addcom 8060  ax-addass 8062  ax-i2m1 8065  ax-0lt1 8066  ax-0id 8068  ax-rnegex 8069  ax-pre-ltirr 8072  ax-pre-lttrn 8074  ax-pre-ltadd 8076

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ne 2379  df-nel 2474  df-ral 2491  df-rex 2492  df-reu 2493  df-rab 2495  df-v 2778  df-sbc 3006  df-csb 3102  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3943  df-br 4060  df-opab 4122  df-mpt 4123  df-id 4358  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-res 4705  df-ima 4706  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fo 5296  df-f1o 5297  df-fv 5298  df-ov 5970  df-oprab 5971  df-mpo 5972  df-pnf 8144  df-mnf 8145  df-ltxr 8147  df-inn 9072  df-2 9130  df-3 9131  df-4 9132  df-5 9133  df-6 9134  df-7 9135  df-8 9136  df-9 9137  df-ndx 12950  df-slot 12951  df-base 12953  df-sets 12954  df-iress 12955  df-mulr 13038  df-sca 13040  df-vsca 13041  df-ip 13042  df-tset 13043  df-sra 14312

This theorem is referenced by:  sratopng  14324