Theorem sratsetg 14446

Description: Topology component of a subring algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Revised by AV, 29-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
srapart.ex	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
sratsetg	⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑊) = (TopSet‘𝐴))

Proof of Theorem sratsetg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srapart.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
2		srapart.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
3		srapart.ex	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
4		tsetslid 13258	. 2 ⊢ (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
5		slotstnscsi 13265	. . . 4 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
6	5	simp1i 1030	. . 3 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
7	6	necomi 2485	. 2 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
8	5	simp2i 1031	. . 3 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
9	8	necomi 2485	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
10	5	simp3i 1032	. . 3 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
11	10	necomi 2485	. 2 ⊢ (·𝑖‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
12	1, 2, 3, 4, 7, 9, 11	sralemg 14439	1 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑊) = (TopSet‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   ⊆ wss 3198  ‘cfv 5322  ndxcnx 13066  Basecbs 13069  Scalarcsca 13150   ·_𝑠 cvsca 13151  ·_𝑖cip 13152  TopSetcts 13153  subringAlg csra 14434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-cnex 8111  ax-resscn 8112  ax-1cn 8113  ax-1re 8114  ax-icn 8115  ax-addcl 8116  ax-addrcl 8117  ax-mulcl 8118  ax-addcom 8120  ax-addass 8122  ax-i2m1 8125  ax-0lt1 8126  ax-0id 8128  ax-rnegex 8129  ax-pre-ltirr 8132  ax-pre-lttrn 8134  ax-pre-ltadd 8136

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-id 4386  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-pnf 8204  df-mnf 8205  df-ltxr 8207  df-inn 9132  df-2 9190  df-3 9191  df-4 9192  df-5 9193  df-6 9194  df-7 9195  df-8 9196  df-9 9197  df-ndx 13072  df-slot 13073  df-base 13075  df-sets 13076  df-iress 13077  df-mulr 13161  df-sca 13163  df-vsca 13164  df-ip 13165  df-tset 13166  df-sra 14436

This theorem is referenced by:  sratopng  14448