Theorem sratsetg 14424

Description: Topology component of a subring algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Revised by AV, 29-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
srapart.ex	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
sratsetg	⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑊) = (TopSet‘𝐴))

Proof of Theorem sratsetg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srapart.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
2		srapart.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
3		srapart.ex	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
4		tsetslid 13236	. 2 ⊢ (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
5		slotstnscsi 13243	. . . 4 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
6	5	simp1i 1030	. . 3 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
7	6	necomi 2485	. 2 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
8	5	simp2i 1031	. . 3 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
9	8	necomi 2485	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
10	5	simp3i 1032	. . 3 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
11	10	necomi 2485	. 2 ⊢ (·𝑖‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
12	1, 2, 3, 4, 7, 9, 11	sralemg 14417	1 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑊) = (TopSet‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ≠ wne 2400   ⊆ wss 3197  ‘cfv 5318  ndxcnx 13044  Basecbs 13047  Scalarcsca 13128   ·_𝑠 cvsca 13129  ·_𝑖cip 13130  TopSetcts 13131  subringAlg csra 14412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-lttrn 8124  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-7 9185  df-8 9186  df-9 9187  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-sets 13054  df-iress 13055  df-mulr 13139  df-sca 13141  df-vsca 13142  df-ip 13143  df-tset 13144  df-sra 14414

This theorem is referenced by:  sratopng  14426