Theorem sratsetg 13761

Description: Topology component of a subring algebra. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Oct-2015.) (Revised by Thierry Arnoux, 16-Jun-2019.) (Revised by AV, 29-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
srapart.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
srapart.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
srapart.ex	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)

Assertion

Ref	Expression
sratsetg	⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑊) = (TopSet‘𝐴))

Proof of Theorem sratsetg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		srapart.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = ((subringAlg ‘𝑊)‘𝑆))
2		srapart.s	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑊))
3		srapart.ex	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
4		tsetslid 12699	. 2 ⊢ (TopSet = Slot (TopSet‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ∈ ℕ)
5		slotstnscsi 12706	. . . 4 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx))
6	5	simp1i 1008	. . 3 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (Scalar‘ndx)
7	6	necomi 2445	. 2 ⊢ (Scalar‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
8	5	simp2i 1009	. . 3 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ ( ·𝑠 ‘ndx)
9	8	necomi 2445	. 2 ⊢ ( ·𝑠 ‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
10	5	simp3i 1010	. . 3 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (·𝑖‘ndx)
11	10	necomi 2445	. 2 ⊢ (·𝑖‘ndx) ≠ (TopSet‘ndx)
12	1, 2, 3, 4, 7, 9, 11	sralemg 13754	1 ⊢ (𝜑 → (TopSet‘𝑊) = (TopSet‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160   ≠ wne 2360   ⊆ wss 3144  ‘cfv 5235  ndxcnx 12509  Basecbs 12512  Scalarcsca 12592   ·_𝑠 cvsca 12593  ·_𝑖cip 12594  TopSetcts 12595  subringAlg csra 13749

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-cnex 7932  ax-resscn 7933  ax-1cn 7934  ax-1re 7935  ax-icn 7936  ax-addcl 7937  ax-addrcl 7938  ax-mulcl 7939  ax-addcom 7941  ax-addass 7943  ax-i2m1 7946  ax-0lt1 7947  ax-0id 7949  ax-rnegex 7950  ax-pre-ltirr 7953  ax-pre-lttrn 7955  ax-pre-ltadd 7957

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5899  df-oprab 5900  df-mpo 5901  df-pnf 8024  df-mnf 8025  df-ltxr 8027  df-inn 8950  df-2 9008  df-3 9009  df-4 9010  df-5 9011  df-6 9012  df-7 9013  df-8 9014  df-9 9015  df-ndx 12515  df-slot 12516  df-base 12518  df-sets 12519  df-iress 12520  df-mulr 12603  df-sca 12605  df-vsca 12606  df-ip 12607  df-tset 12608  df-sra 13751

This theorem is referenced by:  sratopng  13763