Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  srngplusgd GIF version

Theorem srngplusgd 12097
 Description: The addition operation of a constructed star ring. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Jun-2015.) (Revised by Jim Kingdon, 5-Feb-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
srngstr.r 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ⟩})
srngstrd.b (𝜑𝐵𝑉)
srngstrd.p (𝜑+𝑊)
srngstrd.m (𝜑·𝑋)
srngstrd.s (𝜑𝑌)
Assertion
Ref Expression
srngplusgd (𝜑+ = (+g𝑅))

Proof of Theorem srngplusgd
StepHypRef Expression
1 plusgslid 12068 . 2 (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
2 srngstr.r . . 3 𝑅 = ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ⟩})
3 srngstrd.b . . 3 (𝜑𝐵𝑉)
4 srngstrd.p . . 3 (𝜑+𝑊)
5 srngstrd.m . . 3 (𝜑·𝑋)
6 srngstrd.s . . 3 (𝜑𝑌)
72, 3, 4, 5, 6srngstrd 12095 . 2 (𝜑𝑅 Struct ⟨1, 4⟩)
81simpri 112 . . . . 5 (+g‘ndx) ∈ ℕ
9 opexg 4150 . . . . 5 (((+g‘ndx) ∈ ℕ ∧ +𝑊) → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V)
108, 4, 9sylancr 410 . . . 4 (𝜑 → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V)
11 tpid2g 3637 . . . 4 (⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ V → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩})
12 elun1 3243 . . . 4 (⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ {⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ⟩}))
1310, 11, 123syl 17 . . 3 (𝜑 → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ ({⟨(Base‘ndx), 𝐵⟩, ⟨(+g‘ndx), + ⟩, ⟨(.r‘ndx), · ⟩} ∪ {⟨(*𝑟‘ndx), ⟩}))
1413, 2eleqtrrdi 2233 . 2 (𝜑 → ⟨(+g‘ndx), + ⟩ ∈ 𝑅)
151, 7, 4, 14opelstrsl 12069 1 (𝜑+ = (+g𝑅))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1331   ∈ wcel 1480  Vcvv 2686   ∪ cun 3069  {csn 3527  {ctp 3529  ⟨cop 3530  ‘cfv 5123  1c1 7633  ℕcn 8732  4c4 8785  ndxcnx 11970  Slot cslot 11972  Basecbs 11973  +gcplusg 12035  .rcmulr 12036  *𝑟cstv 12037 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-addcom 7732  ax-addass 7734  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-tp 3535  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-inn 8733  df-2 8791  df-3 8792  df-4 8793  df-n0 8990  df-z 9067  df-uz 9339  df-fz 9803  df-struct 11975  df-ndx 11976  df-slot 11977  df-base 11979  df-plusg 12048  df-mulr 12049  df-starv 12050 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator