Theorem stoig 13758

Description: The topological space built with a subspace topology. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restuni.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
stoig	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↾t 𝐴)⟩} ∈ TopSp)

Proof of Theorem stoig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restuni.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	toptopon 13603	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		resttopon 13756	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
4	2, 3	sylanb 284	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
5		eqid 2177	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↾t 𝐴)⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↾t 𝐴)⟩}
6	5	eltpsg 13625	. 2 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) → {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↾t 𝐴)⟩} ∈ TopSp)
7	4, 6	syl 14	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↾t 𝐴)⟩} ∈ TopSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1353   ∈ wcel 2148   ⊆ wss 3131  {cpr 3595  ⟨cop 3597  ∪ cuni 3811  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  ndxcnx 12461  Basecbs 12464  TopSetcts 12544   ↾_t crest 12693  Topctop 13582  TopOnctopon 13595  TopSpctps 13615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-7 8985  df-8 8986  df-9 8987  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-tset 12557  df-rest 12695  df-topn 12696  df-topgen 12714  df-top 13583  df-topon 13596  df-topsp 13616  df-bases 13628

This theorem is referenced by: (None)