ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  stoig GIF version

Theorem stoig 12185
Description: The topological space built with a subspace topology. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
restuni.1 𝑋 = 𝐽
Assertion
Ref Expression
stoig ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽t 𝐴)⟩} ∈ TopSp)

Proof of Theorem stoig
StepHypRef Expression
1 restuni.1 . . . 4 𝑋 = 𝐽
21toptopon 12028 . . 3 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3 resttopon 12183 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴𝑋) → (𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
42, 3sylanb 280 . 2 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → (𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
5 eqid 2115 . . 3 {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽t 𝐴)⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽t 𝐴)⟩}
65eltpsg 12050 . 2 ((𝐽t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) → {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽t 𝐴)⟩} ∈ TopSp)
74, 6syl 14 1 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴𝑋) → {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽t 𝐴)⟩} ∈ TopSp)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1314  wcel 1463  wss 3037  {cpr 3494  cop 3496   cuni 3702  cfv 5081  (class class class)co 5728  ndxcnx 11799  Basecbs 11802  TopSetcts 11870  t crest 11963  Topctop 12007  TopOnctopon 12020  TopSpctps 12040
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-addcom 7645  ax-addass 7647  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-ltadd 7661
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-id 4175  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-ltxr 7729  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-5 8692  df-6 8693  df-7 8694  df-8 8695  df-9 8696  df-ndx 11805  df-slot 11806  df-base 11808  df-tset 11883  df-rest 11965  df-topn 11966  df-topgen 11984  df-top 12008  df-topon 12021  df-topsp 12041  df-bases 12053
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator