Theorem stoig 15025

Description: The topological space built with a subspace topology. (Contributed by FL, 5-Jan-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 1-May-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
restuni.1	⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽

Assertion

Ref	Expression
stoig	⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↾t 𝐴)⟩} ∈ TopSp)

Proof of Theorem stoig

Step	Hyp	Ref	Expression
1		restuni.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ∪ 𝐽
2	1	toptopon 14870	. . 3 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋))
3		resttopon 15023	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝑋) ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
4	2, 3	sylanb 284	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → (𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴))
5		eqid 2232	. . 3 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↾t 𝐴)⟩} = {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↾t 𝐴)⟩}
6	5	eltpsg 14892	. 2 ⊢ ((𝐽 ↾t 𝐴) ∈ (TopOn‘𝐴) → {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↾t 𝐴)⟩} ∈ TopSp)
7	4, 6	syl 14	1 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐴 ⊆ 𝑋) → {⟨(Base‘ndx), 𝐴⟩, ⟨(TopSet‘ndx), (𝐽 ↾t 𝐴)⟩} ∈ TopSp)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ⊆ wss 3210  {cpr 3689  ⟨cop 3691  ∪ cuni 3913  ‘cfv 5351  (class class class)co 6049  ndxcnx 13198  Basecbs 13201  TopSetcts 13285   ↾_t crest 13441  Topctop 14849  TopOnctopon 14862  TopSpctps 14882

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1cn 8216  ax-1re 8217  ax-icn 8218  ax-addcl 8219  ax-addrcl 8220  ax-mulcl 8221  ax-addcom 8223  ax-addass 8225  ax-i2m1 8228  ax-0lt1 8229  ax-0id 8231  ax-rnegex 8232  ax-pre-ltirr 8235  ax-pre-lttrn 8237  ax-pre-ltadd 8239

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-nul 3508  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-1st 6333  df-2nd 6334  df-pnf 8306  df-mnf 8307  df-ltxr 8309  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-9 9299  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-tset 13298  df-rest 13443  df-topn 13444  df-topgen 13462  df-top 14850  df-topon 14863  df-topsp 14883  df-bases 14895

This theorem is referenced by: (None)