Theorem subg0cl 14044

Description: The group identity is an element of any subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subg0cl.i	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
subg0cl	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. S )

Proof of Theorem subg0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 |- ( G ↾s S ) = ( G ↾s S )
2	1	subggrp 14039	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s S ) e. Grp )
3		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` ( G ↾s S ) ) = ( Base ` ( G ↾s S ) )
4		eqid 2238	. . . 4 |- ( 0g ` ( G ↾s S ) ) = ( 0g ` ( G ↾s S ) )
5	3, 4	grpidcl 13893	. . 3 |- ( ( G ↾s S ) e. Grp -> ( 0g ` ( G ↾s S ) ) e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
6	2, 5	syl 14	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` ( G ↾s S ) ) e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
7		subg0cl.i	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
8	1, 7	subg0 14042	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> .0. = ( 0g ` ( G ↾s S ) ) )
9	1	subgbas 14040	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
10	6, 8, 9	3eltr4d 2322	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. S )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   Basecbs 13410   ↾_s cress 13411   0gc0g 13669   Grpcgrp 13864  SubGrpcsubg 14029

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8276  ax-resscn 8277  ax-1cn 8278  ax-1re 8279  ax-icn 8280  ax-addcl 8281  ax-addrcl 8282  ax-mulcl 8283  ax-addcom 8285  ax-addass 8287  ax-i2m1 8290  ax-0lt1 8291  ax-0id 8293  ax-rnegex 8294  ax-pre-ltirr 8297  ax-pre-ltadd 8301

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-pnf 8368  df-mnf 8369  df-ltxr 8371  df-inn 9314  df-2 9372  df-ndx 13413  df-slot 13414  df-base 13416  df-sets 13417  df-iress 13418  df-plusg 13503  df-0g 13671  df-mgm 13735  df-sgrp 13776  df-mnd 13789  df-grp 13867  df-subg 14032

This theorem is used by:  subgmulgcl  14049  issubg3  14054  issubg4m  14055  subgintm  14060  trivsubgd  14062  eqger  14086  ghmpreima  14128  islss4  14828  dflidl2rng  14927  rnglidlrng  14944  rng2idl0  14965  rng2idlsubg0  14968  2idlcpblrng  14969  dvply2g  15992