Theorem subg0cl 13985

Description: The group identity is an element of any subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subg0cl.i	|- .0. = ( 0g ` G )

Assertion

Ref	Expression
subg0cl	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. S )

Proof of Theorem subg0cl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2238	. . . 4 |- ( G ↾s S ) = ( G ↾s S )
2	1	subggrp 13980	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s S ) e. Grp )
3		eqid 2238	. . . 4 |- ( Base ` ( G ↾s S ) ) = ( Base ` ( G ↾s S ) )
4		eqid 2238	. . . 4 |- ( 0g ` ( G ↾s S ) ) = ( 0g ` ( G ↾s S ) )
5	3, 4	grpidcl 13834	. . 3 |- ( ( G ↾s S ) e. Grp -> ( 0g ` ( G ↾s S ) ) e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
6	2, 5	syl 14	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` ( G ↾s S ) ) e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
7		subg0cl.i	. . 3 |- .0. = ( 0g ` G )
8	1, 7	subg0 13983	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> .0. = ( 0g ` ( G ↾s S ) ) )
9	1	subgbas 13981	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
10	6, 8, 9	3eltr4d 2322	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> .0. e. S )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   = wceq 1402   e. wcel 2209   ` cfv 5377  (class class class)co 6085   Basecbs 13352   ↾_s cress 13353   0gc0g 13610   Grpcgrp 13805  SubGrpcsubg 13970

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-ltxr 8365  df-inn 9305  df-2 9363  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-iress 13360  df-plusg 13444  df-0g 13612  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-grp 13808  df-subg 13973

This theorem is used by:  subgmulgcl  13990  issubg3  13995  issubg4m  13996  subgintm  14001  trivsubgd  14003  eqger  14027  ghmpreima  14069  islss4  14719  dflidl2rng  14818  rnglidlrng  14835  rng2idl0  14856  rng2idlsubg0  14859  2idlcpblrng  14860  dvply2g  15867