Theorem subginvcl 13594

Description: The inverse of an element is closed in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subginvcl.i	|- I = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
subginvcl	|- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S ) -> ( I ` X ) e. S )

Proof of Theorem subginvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2206	. . . 4 |- ( G ↾s S ) = ( G ↾s S )
2	1	subggrp 13588	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s S ) e. Grp )
3		simpr 110	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S ) -> X e. S )
4	1	subgbas 13589	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
5	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S ) -> S = ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
6	3, 5	eleqtrd 2285	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S ) -> X e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
7		eqid 2206	. . . 4 |- ( Base ` ( G ↾s S ) ) = ( Base ` ( G ↾s S ) )
8		eqid 2206	. . . 4 |- ( invg ` ( G ↾s S ) ) = ( invg ` ( G ↾s S ) )
9	7, 8	grpinvcl 13455	. . 3 |- ( ( ( G ↾s S ) e. Grp /\ X e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) ) -> ( ( invg ` ( G ↾s S ) ) ` X ) e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
10	2, 6, 9	syl2an2r 595	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S ) -> ( ( invg ` ( G ↾s S ) ) ` X ) e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
11		subginvcl.i	. . 3 |- I = ( invg ` G )
12	1, 11, 8	subginv 13592	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S ) -> ( I ` X ) = ( ( invg ` ( G ↾s S ) ) ` X ) )
13	10, 12, 5	3eltr4d 2290	1 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S ) -> ( I ` X ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1373   e. wcel 2177   ` cfv 5280  (class class class)co 5957   Basecbs 12907   ↾_s cress 12908   Grpcgrp 13407   invgcminusg 13408  SubGrpcsubg 13578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4167  ax-sep 4170  ax-pow 4226  ax-pr 4261  ax-un 4488  ax-setind 4593  ax-cnex 8036  ax-resscn 8037  ax-1cn 8038  ax-1re 8039  ax-icn 8040  ax-addcl 8041  ax-addrcl 8042  ax-mulcl 8043  ax-addcom 8045  ax-addass 8047  ax-i2m1 8050  ax-0lt1 8051  ax-0id 8053  ax-rnegex 8054  ax-pre-ltirr 8057  ax-pre-ltadd 8061

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3857  df-int 3892  df-iun 3935  df-br 4052  df-opab 4114  df-mpt 4115  df-id 4348  df-xp 4689  df-rel 4690  df-cnv 4691  df-co 4692  df-dm 4693  df-rn 4694  df-res 4695  df-ima 4696  df-iota 5241  df-fun 5282  df-fn 5283  df-f 5284  df-f1 5285  df-fo 5286  df-f1o 5287  df-fv 5288  df-riota 5912  df-ov 5960  df-oprab 5961  df-mpo 5962  df-pnf 8129  df-mnf 8130  df-ltxr 8132  df-inn 9057  df-2 9115  df-ndx 12910  df-slot 12911  df-base 12913  df-sets 12914  df-iress 12915  df-plusg 12997  df-0g 13165  df-mgm 13263  df-sgrp 13309  df-mnd 13324  df-grp 13410  df-minusg 13411  df-subg 13581

This theorem is referenced by:  subgsubcl  13596  subgmulgcl  13598  issubg2m  13600  subgintm  13609  ssnmz  13622  eqger  13635  ghmpreima  13677