Theorem subginvcl 13900

Description: The inverse of an element is closed in a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
subginvcl.i	|- I = ( invg ` G )

Assertion

Ref	Expression
subginvcl	|- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S ) -> ( I ` X ) e. S )

Proof of Theorem subginvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2232	. . . 4 |- ( G ↾s S ) = ( G ↾s S )
2	1	subggrp 13894	. . 3 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s S ) e. Grp )
3		simpr 110	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S ) -> X e. S )
4	1	subgbas 13895	. . . . 5 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S = ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
5	4	adantr 276	. . . 4 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S ) -> S = ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
6	3, 5	eleqtrd 2311	. . 3 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S ) -> X e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
7		eqid 2232	. . . 4 |- ( Base ` ( G ↾s S ) ) = ( Base ` ( G ↾s S ) )
8		eqid 2232	. . . 4 |- ( invg ` ( G ↾s S ) ) = ( invg ` ( G ↾s S ) )
9	7, 8	grpinvcl 13761	. . 3 |- ( ( ( G ↾s S ) e. Grp /\ X e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) ) -> ( ( invg ` ( G ↾s S ) ) ` X ) e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
10	2, 6, 9	syl2an2r 599	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S ) -> ( ( invg ` ( G ↾s S ) ) ` X ) e. ( Base ` ( G ↾s S ) ) )
11		subginvcl.i	. . 3 |- I = ( invg ` G )
12	1, 11, 8	subginv 13898	. 2 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S ) -> ( I ` X ) = ( ( invg ` ( G ↾s S ) ) ` X ) )
13	10, 12, 5	3eltr4d 2316	1 |- ( ( S e. (SubGrp ` G ) /\ X e. S ) -> ( I ` X ) e. S )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2203   ` cfv 5352  (class class class)co 6050   Basecbs 13212   ↾_s cress 13213   Grpcgrp 13713   invgcminusg 13714  SubGrpcsubg 13884

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-addcom 8227  ax-addass 8229  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltadd 8243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rmo 2528  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-id 4414  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-ltxr 8313  df-inn 9238  df-2 9296  df-ndx 13215  df-slot 13216  df-base 13218  df-sets 13219  df-iress 13220  df-plusg 13303  df-0g 13471  df-mgm 13569  df-sgrp 13615  df-mnd 13630  df-grp 13716  df-minusg 13717  df-subg 13887

This theorem is referenced by:  subgsubcl  13902  subgmulgcl  13904  issubg2m  13906  subgintm  13915  ssnmz  13928  eqger  13941  ghmpreima  13983