ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subgid Unicode version

Theorem subgid 12988
Description: A group is a subgroup of itself. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Dec-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
issubg.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
subgid  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  e.  (SubGrp `  G )
)

Proof of Theorem subgid
StepHypRef Expression
1 id 19 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Grp )
2 ssidd 3176 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  C_  B )
3 issubg.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
43grpressid 12885 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( Gs  B )  e.  Grp )
53issubg 12986 . 2  |-  ( B  e.  (SubGrp `  G
)  <->  ( G  e. 
Grp  /\  B  C_  B  /\  ( Gs  B )  e.  Grp ) )
61, 2, 4, 5syl3anbrc 1181 1  |-  ( G  e.  Grp  ->  B  e.  (SubGrp `  G )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1353    e. wcel 2148    C_ wss 3129   ` cfv 5216  (class class class)co 5874   Basecbs 12456   ↾s cress 12457   Grpcgrp 12831  SubGrpcsubg 12980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4118  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-iun 3888  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-f 5220  df-f1 5221  df-fo 5222  df-f1o 5223  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-ltxr 7995  df-inn 8918  df-2 8976  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-sets 12463  df-iress 12464  df-plusg 12543  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-grp 12834  df-minusg 12835  df-subg 12983
This theorem is referenced by:  trivsubgsnd  13014  nsgid  13028
  Copyright terms: Public domain W3C validator