Theorem subgss 13554

Description: A subgroup is a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubg.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
subgss	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ B )

Proof of Theorem subgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubg.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2	1	issubg 13553	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ B /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
3	2	simp2bi 1016	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1373   e. wcel 2177   C_ wss 3167   ` cfv 5276  (class class class)co 5951   Basecbs 12876   ↾_s cress 12877   Grpcgrp 13376  SubGrpcsubg 13547

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1re 8026  ax-addrcl 8029

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-fv 5284  df-ov 5954  df-inn 9044  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-subg 13550

This theorem is referenced by:  subgbas  13558  subg0  13560  subginv  13561  subgsubcl  13565  subgsub  13566  subgmulgcl  13567  subgmulg  13568  issubg2m  13569  issubg4m  13573  subsubg  13577  subgintm  13578  trivsubgd  13580  nsgconj  13586  ssnmz  13591  eqger  13604  eqgid  13606  eqgen  13607  eqgcpbl  13608  resghm  13640  ghmnsgima  13648  conjsubg  13657  conjsubgen  13658  conjnmz  13659  conjnmzb  13660  qusecsub  13711  subgabl  13712  issubrng2  14016  issubrg2  14047  issubrg3  14053  islss4  14188  dflidl2rng  14287