Theorem subgss 13697

Description: A subgroup is a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubg.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
subgss	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ B )

Proof of Theorem subgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubg.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2	1	issubg 13696	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ B /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
3	2	simp2bi 1037	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1395   e. wcel 2200   C_ wss 3197   ` cfv 5314  (class class class)co 5994   Basecbs 13018   ↾_s cress 13019   Grpcgrp 13519  SubGrpcsubg 13690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521  ax-cnex 8078  ax-resscn 8079  ax-1re 8081  ax-addrcl 8084

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4381  df-xp 4722  df-rel 4723  df-cnv 4724  df-co 4725  df-dm 4726  df-rn 4727  df-res 4728  df-ima 4729  df-iota 5274  df-fun 5316  df-fn 5317  df-fv 5322  df-ov 5997  df-inn 9099  df-ndx 13021  df-slot 13022  df-base 13024  df-subg 13693

This theorem is referenced by:  subgbas  13701  subg0  13703  subginv  13704  subgsubcl  13708  subgsub  13709  subgmulgcl  13710  subgmulg  13711  issubg2m  13712  issubg4m  13716  subsubg  13720  subgintm  13721  trivsubgd  13723  nsgconj  13729  ssnmz  13734  eqger  13747  eqgid  13749  eqgen  13750  eqgcpbl  13751  resghm  13783  ghmnsgima  13791  conjsubg  13800  conjsubgen  13801  conjnmz  13802  conjnmzb  13803  qusecsub  13854  subgabl  13855  issubrng2  14159  issubrg2  14190  issubrg3  14196  islss4  14331  dflidl2rng  14430