Theorem subgss 13975

Description: A subgroup is a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubg.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
subgss	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ B )

Proof of Theorem subgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubg.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2	1	issubg 13974	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ B /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
3	2	simp2bi 1040	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   C_ wss 3214   ` cfv 5357  (class class class)co 6058   Basecbs 13296   ↾_s cress 13297   Grpcgrp 13797  SubGrpcsubg 13968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-fv 5365  df-ov 6061  df-inn 9255  df-ndx 13299  df-slot 13300  df-base 13302  df-subg 13971

This theorem is referenced by:  subgbas  13979  subg0  13981  subginv  13982  subgsubcl  13986  subgsub  13987  subgmulgcl  13988  subgmulg  13989  issubg2m  13990  issubg4m  13994  subsubg  13998  subgintm  13999  trivsubgd  14001  nsgconj  14007  ssnmz  14012  eqger  14025  eqgid  14027  eqgen  14028  eqgcpbl  14029  resghm  14061  ghmnsgima  14069  conjsubg  14078  conjsubgen  14079  conjnmz  14080  conjnmzb  14081  qusecsub  14132  subgabl  14133  issubrng2  14441  issubrg2  14472  issubrg3  14478  islss4  14642  dflidl2rng  14741