Theorem subgss 13382

Description: A subgroup is a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubg.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
subgss	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ B )

Proof of Theorem subgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubg.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2	1	issubg 13381	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ B /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
3	2	simp2bi 1015	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1364   e. wcel 2167   C_ wss 3157   ` cfv 5259  (class class class)co 5925   Basecbs 12705   ↾_s cress 12706   Grpcgrp 13204  SubGrpcsubg 13375

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-cnex 7989  ax-resscn 7990  ax-1re 7992  ax-addrcl 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-ov 5928  df-inn 9010  df-ndx 12708  df-slot 12709  df-base 12711  df-subg 13378

This theorem is referenced by:  subgbas  13386  subg0  13388  subginv  13389  subgsubcl  13393  subgsub  13394  subgmulgcl  13395  subgmulg  13396  issubg2m  13397  issubg4m  13401  subsubg  13405  subgintm  13406  trivsubgd  13408  nsgconj  13414  ssnmz  13419  eqger  13432  eqgid  13434  eqgen  13435  eqgcpbl  13436  resghm  13468  ghmnsgima  13476  conjsubg  13485  conjsubgen  13486  conjnmz  13487  conjnmzb  13488  qusecsub  13539  subgabl  13540  issubrng2  13844  issubrg2  13875  issubrg3  13881  islss4  14016  dflidl2rng  14115