Theorem subgss 13932

Description: A subgroup is a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubg.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
subgss	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ B )

Proof of Theorem subgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubg.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2	1	issubg 13931	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ B /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
3	2	simp2bi 1040	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1398   e. wcel 2205   C_ wss 3214   ` cfv 5358  (class class class)co 6059   Basecbs 13301   ↾_s cress 13302   Grpcgrp 13760  SubGrpcsubg 13925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-cnex 8235  ax-resscn 8236  ax-1re 8238  ax-addrcl 8241

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4761  df-rel 4762  df-cnv 4763  df-co 4764  df-dm 4765  df-rn 4766  df-res 4767  df-ima 4768  df-iota 5318  df-fun 5360  df-fn 5361  df-fv 5366  df-ov 6062  df-inn 9259  df-ndx 13304  df-slot 13305  df-base 13307  df-subg 13928

This theorem is referenced by:  subgbas  13936  subg0  13938  subginv  13939  subgsubcl  13943  subgsub  13944  subgmulgcl  13945  subgmulg  13946  issubg2m  13947  issubg4m  13951  subsubg  13955  subgintm  13956  trivsubgd  13958  nsgconj  13964  ssnmz  13969  eqger  13982  eqgid  13984  eqgen  13985  eqgcpbl  13986  resghm  14018  ghmnsgima  14026  conjsubg  14035  conjsubgen  14036  conjnmz  14037  conjnmzb  14038  qusecsub  14089  subgabl  14090  issubrng2  14461  issubrg2  14492  issubrg3  14498  islss4  14661  dflidl2rng  14760