Theorem subgss 13066

Description: A subgroup is a subset. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubg.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
subgss	|- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ B )

Proof of Theorem subgss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubg.b	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2	1	issubg 13065	. 2 |- ( S e. (SubGrp ` G ) <-> ( G e. Grp /\ S C_ B /\ ( G ↾s S ) e. Grp ) )
3	2	simp2bi 1014	1 |- ( S e. (SubGrp ` G ) -> S C_ B )

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1363   e. wcel 2158   C_ wss 3141   ` cfv 5228  (class class class)co 5888   Basecbs 12476   ↾_s cress 12477   Grpcgrp 12899  SubGrpcsubg 13059

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1re 7919  ax-addrcl 7922

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-fv 5236  df-ov 5891  df-inn 8934  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-subg 13062

This theorem is referenced by:  subgbas  13070  subg0  13072  subginv  13073  subgsubcl  13077  subgsub  13078  subgmulgcl  13079  subgmulg  13080  issubg2m  13081  issubg4m  13085  subsubg  13089  subgintm  13090  trivsubgd  13092  nsgconj  13098  ssnmz  13103  eqger  13116  eqgid  13118  eqgen  13119  eqgcpbl  13120  qusecsub  13166  subgabl  13167  issubrng2  13430  issubrg2  13461  issubrg3  13467  islss4  13571  dflidl2rng  13670