Theorem nsgid 13768

Description: The whole group is a normal subgroup of itself. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
nsgid.z	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
nsgid	|- ( G e. Grp -> B e. (NrmSGrp ` G ) )

Proof of Theorem nsgid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgid.z	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2	1	subgid 13728	. 2 |- ( G e. Grp -> B e. (SubGrp ` G ) )
3		simp1 1021	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B /\ y e. B ) -> G e. Grp )
4		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
5	1, 4	grpcl 13557	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. B )
6		simp2 1022	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B /\ y e. B ) -> x e. B )
7		eqid 2229	. . . . . 6 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
8	1, 7	grpsubcl 13629	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( x ( +g ` G ) y ) e. B /\ x e. B ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. B )
9	3, 5, 6, 8	syl3anc 1271	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. B )
10	9	3expb 1228	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. B )
11	10	ralrimivva 2612	. 2 |- ( G e. Grp -> A. x e. B A. y e. B ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. B )
12	1, 4, 7	isnsg3 13760	. 2 |- ( B e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( B e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. B ) )
13	2, 11, 12	sylanbrc 417	1 |- ( G e. Grp -> B e. (NrmSGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 1002   = wceq 1395   e. wcel 2200   A.wral 2508   ` cfv 5318  (class class class)co 6007   Basecbs 13048   +g cplusg 13126   Grpcgrp 13549   -gcsg 13551  SubGrpcsubg 13720  NrmSGrpcnsg 13721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-inn 9122  df-2 9180  df-ndx 13051  df-slot 13052  df-base 13054  df-sets 13055  df-iress 13056  df-plusg 13139  df-0g 13307  df-mgm 13405  df-sgrp 13451  df-mnd 13466  df-grp 13552  df-minusg 13553  df-sbg 13554  df-subg 13723  df-nsg 13724

This theorem is referenced by:  0idnsgd  13769  trivnsgd  13770  1nsgtrivd  13772