Theorem nsgid 13551

Description: The whole group is a normal subgroup of itself. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
nsgid.z	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
nsgid	|- ( G e. Grp -> B e. (NrmSGrp ` G ) )

Proof of Theorem nsgid

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nsgid.z	. . 3 |- B = ( Base ` G )
2	1	subgid 13511	. 2 |- ( G e. Grp -> B e. (SubGrp ` G ) )
3		simp1 1000	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B /\ y e. B ) -> G e. Grp )
4		eqid 2205	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
5	1, 4	grpcl 13340	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( x ( +g ` G ) y ) e. B )
6		simp2 1001	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B /\ y e. B ) -> x e. B )
7		eqid 2205	. . . . . 6 |- ( -g ` G ) = ( -g ` G )
8	1, 7	grpsubcl 13412	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ ( x ( +g ` G ) y ) e. B /\ x e. B ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. B )
9	3, 5, 6, 8	syl3anc 1250	. . . 4 |- ( ( G e. Grp /\ x e. B /\ y e. B ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. B )
10	9	3expb 1207	. . 3 |- ( ( G e. Grp /\ ( x e. B /\ y e. B ) ) -> ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. B )
11	10	ralrimivva 2588	. 2 |- ( G e. Grp -> A. x e. B A. y e. B ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. B )
12	1, 4, 7	isnsg3 13543	. 2 |- ( B e. (NrmSGrp ` G ) <-> ( B e. (SubGrp ` G ) /\ A. x e. B A. y e. B ( ( x ( +g ` G ) y ) ( -g ` G ) x ) e. B ) )
13	2, 11, 12	sylanbrc 417	1 |- ( G e. Grp -> B e. (NrmSGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ w3a 981   = wceq 1373   e. wcel 2176   A.wral 2484   ` cfv 5271  (class class class)co 5944   Basecbs 12832   +g cplusg 12909   Grpcgrp 13332   -gcsg 13334  SubGrpcsubg 13503  NrmSGrpcnsg 13504

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-13 2178  ax-14 2179  ax-ext 2187  ax-coll 4159  ax-sep 4162  ax-pow 4218  ax-pr 4253  ax-un 4480  ax-setind 4585  ax-cnex 8016  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-1re 8019  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-addrcl 8022  ax-mulcl 8023  ax-addcom 8025  ax-addass 8027  ax-i2m1 8030  ax-0lt1 8031  ax-0id 8033  ax-rnegex 8034  ax-pre-ltirr 8037  ax-pre-ltadd 8041

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1484  df-sb 1786  df-eu 2057  df-mo 2058  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ne 2377  df-nel 2472  df-ral 2489  df-rex 2490  df-reu 2491  df-rmo 2492  df-rab 2493  df-v 2774  df-sbc 2999  df-csb 3094  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3461  df-pw 3618  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-int 3886  df-iun 3929  df-br 4045  df-opab 4106  df-mpt 4107  df-id 4340  df-xp 4681  df-rel 4682  df-cnv 4683  df-co 4684  df-dm 4685  df-rn 4686  df-res 4687  df-ima 4688  df-iota 5232  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-riota 5899  df-ov 5947  df-oprab 5948  df-mpo 5949  df-1st 6226  df-2nd 6227  df-pnf 8109  df-mnf 8110  df-ltxr 8112  df-inn 9037  df-2 9095  df-ndx 12835  df-slot 12836  df-base 12838  df-sets 12839  df-iress 12840  df-plusg 12922  df-0g 13090  df-mgm 13188  df-sgrp 13234  df-mnd 13249  df-grp 13335  df-minusg 13336  df-sbg 13337  df-subg 13506  df-nsg 13507

This theorem is referenced by:  0idnsgd  13552  trivnsgd  13553  1nsgtrivd  13555