Theorem submss 13517

Description: Submonoids are subsets of the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
submss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
submss	⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem submss

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		submrcl 13512	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑀 ∈ Mnd)
2		submss.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
3		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
4		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
5	2, 3, 4	issubm 13513	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
6	1, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
7	6	ibi 176	. 2 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝑀) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆))
8	7	simp1d 1033	1 ⊢ (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) → 𝑆 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   ∧ w3a 1002   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508   ⊆ wss 3197  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13040  +_gcplusg 13118  0_gc0g 13297  Mndcmnd 13457  SubMndcsubmnd 13499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-cnex 8098  ax-resscn 8099  ax-1re 8101  ax-addrcl 8104

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-fv 5326  df-ov 6010  df-inn 9119  df-ndx 13043  df-slot 13044  df-base 13046  df-submnd 13501

This theorem is referenced by:  submbas  13522  subm0  13523  subsubm  13524  resmhm  13528  resmhm2  13529  mhmima  13532  gsumsubm  13535  gsumwsubmcl  13537  submmulgcl  13710  submmulg  13711  gsumfzsubmcl  13883