Theorem subrngin 14171

Description: The intersection of two subrings is a subring. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
subrngin	|- ( ( A e. (SubRng ` R ) /\ B e. (SubRng ` R ) ) -> ( A i^i B ) e. (SubRng ` R ) )

Proof of Theorem subrngin

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intprg 3955	. 2 |- ( ( A e. (SubRng ` R ) /\ B e. (SubRng ` R ) ) -> |^| { A , B } = ( A i^i B ) )
2		prssi 3825	. . 3 |- ( ( A e. (SubRng ` R ) /\ B e. (SubRng ` R ) ) -> { A , B } C_ (SubRng ` R ) )
3		prmg 3788	. . . 4 |- ( A e. (SubRng ` R ) -> E. j j e. { A , B } )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. (SubRng ` R ) /\ B e. (SubRng ` R ) ) -> E. j j e. { A , B } )
5		subrngintm 14170	. . 3 |- ( ( { A , B } C_ (SubRng ` R ) /\ E. j j e. { A , B } ) -> |^| { A , B } e. (SubRng ` R ) )
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. (SubRng ` R ) /\ B e. (SubRng ` R ) ) -> |^| { A , B } e. (SubRng ` R ) )
7	1, 6	eqeltrrd 2307	1 |- ( ( A e. (SubRng ` R ) /\ B e. (SubRng ` R ) ) -> ( A i^i B ) e. (SubRng ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1538   e. wcel 2200   i^i cin 3196   C_ wss 3197   {cpr 3667   |^|cint 3922   ` cfv 5317  SubRngcsubrng 14155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4198  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4523  ax-setind 4628  ax-cnex 8086  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-1re 8089  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-addrcl 8092  ax-mulcl 8093  ax-addcom 8095  ax-addass 8097  ax-i2m1 8100  ax-0lt1 8101  ax-0id 8103  ax-rnegex 8104  ax-pre-ltirr 8107  ax-pre-lttrn 8109  ax-pre-ltadd 8111

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-int 3923  df-iun 3966  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-id 4383  df-xp 4724  df-rel 4725  df-cnv 4726  df-co 4727  df-dm 4728  df-rn 4729  df-res 4730  df-ima 4731  df-iota 5277  df-fun 5319  df-fn 5320  df-f 5321  df-f1 5322  df-fo 5323  df-f1o 5324  df-fv 5325  df-riota 5953  df-ov 6003  df-oprab 6004  df-mpo 6005  df-pnf 8179  df-mnf 8180  df-ltxr 8182  df-inn 9107  df-2 9165  df-3 9166  df-ndx 13030  df-slot 13031  df-base 13033  df-sets 13034  df-iress 13035  df-plusg 13118  df-mulr 13119  df-0g 13286  df-mgm 13384  df-sgrp 13430  df-mnd 13445  df-grp 13531  df-minusg 13532  df-subg 13702  df-cmn 13818  df-abl 13819  df-mgp 13879  df-rng 13891  df-subrng 14156

This theorem is referenced by: (None)