Theorem subrngin 13795

Description: The intersection of two subrings is a subring. (Contributed by AV, 15-Feb-2025.)

Assertion

Ref	Expression
subrngin	|- ( ( A e. (SubRng ` R ) /\ B e. (SubRng ` R ) ) -> ( A i^i B ) e. (SubRng ` R ) )

Proof of Theorem subrngin

Dummy variable j is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		intprg 3908	. 2 |- ( ( A e. (SubRng ` R ) /\ B e. (SubRng ` R ) ) -> |^| { A , B } = ( A i^i B ) )
2		prssi 3781	. . 3 |- ( ( A e. (SubRng ` R ) /\ B e. (SubRng ` R ) ) -> { A , B } C_ (SubRng ` R ) )
3		prmg 3744	. . . 4 |- ( A e. (SubRng ` R ) -> E. j j e. { A , B } )
4	3	adantr 276	. . 3 |- ( ( A e. (SubRng ` R ) /\ B e. (SubRng ` R ) ) -> E. j j e. { A , B } )
5		subrngintm 13794	. . 3 |- ( ( { A , B } C_ (SubRng ` R ) /\ E. j j e. { A , B } ) -> |^| { A , B } e. (SubRng ` R ) )
6	2, 4, 5	syl2anc 411	. 2 |- ( ( A e. (SubRng ` R ) /\ B e. (SubRng ` R ) ) -> |^| { A , B } e. (SubRng ` R ) )
7	1, 6	eqeltrrd 2274	1 |- ( ( A e. (SubRng ` R ) /\ B e. (SubRng ` R ) ) -> ( A i^i B ) e. (SubRng ` R ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   E.wex 1506   e. wcel 2167   i^i cin 3156   C_ wss 3157   {cpr 3624   |^|cint 3875   ` cfv 5259  SubRngcsubrng 13779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7973  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-1re 7976  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-addrcl 7979  ax-mulcl 7980  ax-addcom 7982  ax-addass 7984  ax-i2m1 7987  ax-0lt1 7988  ax-0id 7990  ax-rnegex 7991  ax-pre-ltirr 7994  ax-pre-lttrn 7996  ax-pre-ltadd 7998

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8066  df-mnf 8067  df-ltxr 8069  df-inn 8994  df-2 9052  df-3 9053  df-ndx 12692  df-slot 12693  df-base 12695  df-sets 12696  df-iress 12697  df-plusg 12779  df-mulr 12780  df-0g 12946  df-mgm 13025  df-sgrp 13071  df-mnd 13084  df-grp 13161  df-minusg 13162  df-subg 13326  df-cmn 13442  df-abl 13443  df-mgp 13503  df-rng 13515  df-subrng 13780

This theorem is referenced by: (None)