Theorem uzdcinzz 11055

Description: An upperset of integers is decidable in the integers. Reformulation of eluzdc 9006. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2020.) (Revised by BJ, 19-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
uzdcinzz	|- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) DECIDin ZZ )

Proof of Theorem uzdcinzz

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlelttric 8705	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( M <_ x \/ x < M ) )
2		eluz 8941	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ x ) )
3	2	biimprd 156	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( M <_ x -> x e. ( ZZ>= ` M ) ) )
4		zltnle 8706	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( x < M <-> -. M <_ x ) )
5	4	ancoms 264	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( x < M <-> -. M <_ x ) )
6	2	notbid 625	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( -. x e. ( ZZ>= ` M ) <-> -. M <_ x ) )
7	6	biimprd 156	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( -. M <_ x -> -. x e. ( ZZ>= ` M ) ) )
8	5, 7	sylbid 148	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( x < M -> -. x e. ( ZZ>= ` M ) ) )
9	3, 8	orim12d 733	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( M <_ x \/ x < M ) -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. x e. ( ZZ>= ` M ) ) ) )
10	1, 9	mpd 13	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. x e. ( ZZ>= ` M ) ) )
11	10	ex 113	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( x e. ZZ -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. x e. ( ZZ>= ` M ) ) ) )
12	11	decidr 11053	1 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) DECIDin ZZ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 102   <-> wb 103   \/ wo 662   e. wcel 1436   class class class wbr 3814   ` cfv 4972   < clt 7443   <_ cle 7444   ZZcz 8660   ZZ>=cuz 8928   DECID_in wdcin 11050

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3925  ax-pow 3977  ax-pr 4003  ax-un 4227  ax-setind 4319  ax-cnex 7357  ax-resscn 7358  ax-1cn 7359  ax-1re 7360  ax-icn 7361  ax-addcl 7362  ax-addrcl 7363  ax-mulcl 7364  ax-addcom 7366  ax-addass 7368  ax-distr 7370  ax-i2m1 7371  ax-0lt1 7372  ax-0id 7374  ax-rnegex 7375  ax-cnre 7377  ax-pre-ltirr 7378  ax-pre-ltwlin 7379  ax-pre-lttrn 7380  ax-pre-ltadd 7382

This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 779  df-3or 923  df-3an 924  df-tru 1290  df-fal 1293  df-nf 1393  df-sb 1690  df-eu 1948  df-mo 1949  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-ne 2252  df-nel 2347  df-ral 2360  df-rex 2361  df-reu 2362  df-rab 2364  df-v 2616  df-sbc 2829  df-dif 2988  df-un 2990  df-in 2992  df-ss 2999  df-pw 3411  df-sn 3431  df-pr 3432  df-op 3434  df-uni 3631  df-int 3666  df-br 3815  df-opab 3869  df-mpt 3870  df-id 4087  df-xp 4410  df-rel 4411  df-cnv 4412  df-co 4413  df-dm 4414  df-iota 4937  df-fun 4974  df-fv 4980  df-riota 5550  df-ov 5597  df-oprab 5598  df-mpt2 5599  df-pnf 7445  df-mnf 7446  df-xr 7447  df-ltxr 7448  df-le 7449  df-sub 7576  df-neg 7577  df-inn 8335  df-n0 8584  df-z 8661  df-uz 8929  df-dcin 11051

This theorem is referenced by:  sumdc2  11056