Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzdcinzz Unicode version

Theorem uzdcinzz 11653
Description: An upperset of integers is decidable in the integers. Reformulation of eluzdc 9095. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2020.) (Revised by BJ, 19-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
uzdcinzz  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  M ) DECIDin  ZZ )

Proof of Theorem uzdcinzz
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlelttric 8793 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  x  \/  x  <  M ) )
2 eluz 9030 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  x ) )
32biimprd 156 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  x  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M ) ) )
4 zltnle 8794 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( x  <  M  <->  -.  M  <_  x )
)
54ancoms 264 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  <  M  <->  -.  M  <_  x )
)
62notbid 627 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( -.  x  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  -.  M  <_  x )
)
76biimprd 156 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( -.  M  <_  x  ->  -.  x  e.  ( ZZ>= `  M )
) )
85, 7sylbid 148 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  <  M  ->  -.  x  e.  (
ZZ>= `  M ) ) )
93, 8orim12d 735 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  x  \/  x  <  M )  ->  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  \/  -.  x  e.  (
ZZ>= `  M ) ) ) )
101, 9mpd 13 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  \/ 
-.  x  e.  (
ZZ>= `  M ) ) )
1110ex 113 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
x  e.  ZZ  ->  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  \/  -.  x  e.  ( ZZ>= `  M ) ) ) )
1211decidr 11651 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  M ) DECIDin  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 102    <-> wb 103    \/ wo 664    e. wcel 1438   class class class wbr 3845   ` cfv 5015    < clt 7520    <_ cle 7521   ZZcz 8748   ZZ>=cuz 9017   DECIDin wdcin 11648
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-sep 3957  ax-pow 4009  ax-pr 4036  ax-un 4260  ax-setind 4353  ax-cnex 7434  ax-resscn 7435  ax-1cn 7436  ax-1re 7437  ax-icn 7438  ax-addcl 7439  ax-addrcl 7440  ax-mulcl 7441  ax-addcom 7443  ax-addass 7445  ax-distr 7447  ax-i2m1 7448  ax-0lt1 7449  ax-0id 7451  ax-rnegex 7452  ax-cnre 7454  ax-pre-ltirr 7455  ax-pre-ltwlin 7456  ax-pre-lttrn 7457  ax-pre-ltadd 7459
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 781  df-3or 925  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-nel 2351  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2841  df-dif 3001  df-un 3003  df-in 3005  df-ss 3012  df-pw 3431  df-sn 3452  df-pr 3453  df-op 3455  df-uni 3654  df-int 3689  df-br 3846  df-opab 3900  df-mpt 3901  df-id 4120  df-xp 4444  df-rel 4445  df-cnv 4446  df-co 4447  df-dm 4448  df-iota 4980  df-fun 5017  df-fv 5023  df-riota 5608  df-ov 5655  df-oprab 5656  df-mpt2 5657  df-pnf 7522  df-mnf 7523  df-xr 7524  df-ltxr 7525  df-le 7526  df-sub 7653  df-neg 7654  df-inn 8421  df-n0 8672  df-z 8749  df-uz 9018  df-dcin 11649
This theorem is referenced by:  sumdc2  11654
  Copyright terms: Public domain W3C validator