Theorem uzdcinzz 15360

Description: An upperset of integers is decidable in the integers. Reformulation of eluzdc 9678. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2020.) (Revised by BJ, 19-Feb-2022.)

Assertion

Ref	Expression
uzdcinzz	|- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) DECIDin ZZ )

Proof of Theorem uzdcinzz

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zlelttric 9365	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( M <_ x \/ x < M ) )
2		eluz 9608	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) <-> M <_ x ) )
3	2	biimprd 158	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( M <_ x -> x e. ( ZZ>= ` M ) ) )
4		zltnle 9366	. . . . . . 7 |- ( ( x e. ZZ /\ M e. ZZ ) -> ( x < M <-> -. M <_ x ) )
5	4	ancoms 268	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( x < M <-> -. M <_ x ) )
6	2	notbid 668	. . . . . . 7 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( -. x e. ( ZZ>= ` M ) <-> -. M <_ x ) )
7	6	biimprd 158	. . . . . 6 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( -. M <_ x -> -. x e. ( ZZ>= ` M ) ) )
8	5, 7	sylbid 150	. . . . 5 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( x < M -> -. x e. ( ZZ>= ` M ) ) )
9	3, 8	orim12d 787	. . . 4 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( ( M <_ x \/ x < M ) -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. x e. ( ZZ>= ` M ) ) ) )
10	1, 9	mpd 13	. . 3 |- ( ( M e. ZZ /\ x e. ZZ ) -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. x e. ( ZZ>= ` M ) ) )
11	10	ex 115	. 2 |- ( M e. ZZ -> ( x e. ZZ -> ( x e. ( ZZ>= ` M ) \/ -. x e. ( ZZ>= ` M ) ) ) )
12	11	decidr 15358	1 |- ( M e. ZZ -> ( ZZ>= ` M ) DECIDin ZZ )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 709   e. wcel 2164   class class class wbr 4030   ` cfv 5255   < clt 8056   <_ cle 8057   ZZcz 9320   ZZ>=cuz 9595   DECID_in wdcin 15355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-1re 7968  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-addrcl 7971  ax-mulcl 7972  ax-addcom 7974  ax-addass 7976  ax-distr 7978  ax-i2m1 7979  ax-0lt1 7980  ax-0id 7982  ax-rnegex 7983  ax-cnre 7985  ax-pre-ltirr 7986  ax-pre-ltwlin 7987  ax-pre-lttrn 7988  ax-pre-ltadd 7990

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fv 5263  df-riota 5874  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-pnf 8058  df-mnf 8059  df-xr 8060  df-ltxr 8061  df-le 8062  df-sub 8194  df-neg 8195  df-inn 8985  df-n0 9244  df-z 9321  df-uz 9596  df-dcin 15356

This theorem is referenced by:  sumdc2  15361