Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  uzdcinzz Unicode version

Theorem uzdcinzz 13035
Description: An upperset of integers is decidable in the integers. Reformulation of eluzdc 9411. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2020.) (Revised by BJ, 19-Feb-2022.)
Assertion
Ref Expression
uzdcinzz  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  M ) DECIDin  ZZ )

Proof of Theorem uzdcinzz
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zlelttric 9106 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  x  \/  x  <  M ) )
2 eluz 9346 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  <->  M  <_  x ) )
32biimprd 157 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( M  <_  x  ->  x  e.  ( ZZ>= `  M ) ) )
4 zltnle 9107 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ZZ  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( x  <  M  <->  -.  M  <_  x )
)
54ancoms 266 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  <  M  <->  -.  M  <_  x )
)
62notbid 656 . . . . . . 7  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( -.  x  e.  ( ZZ>= `  M )  <->  -.  M  <_  x )
)
76biimprd 157 . . . . . 6  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( -.  M  <_  x  ->  -.  x  e.  ( ZZ>= `  M )
) )
85, 7sylbid 149 . . . . 5  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  <  M  ->  -.  x  e.  (
ZZ>= `  M ) ) )
93, 8orim12d 775 . . . 4  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( ( M  <_  x  \/  x  <  M )  ->  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  \/  -.  x  e.  (
ZZ>= `  M ) ) ) )
101, 9mpd 13 . . 3  |-  ( ( M  e.  ZZ  /\  x  e.  ZZ )  ->  ( x  e.  (
ZZ>= `  M )  \/ 
-.  x  e.  (
ZZ>= `  M ) ) )
1110ex 114 . 2  |-  ( M  e.  ZZ  ->  (
x  e.  ZZ  ->  ( x  e.  ( ZZ>= `  M )  \/  -.  x  e.  ( ZZ>= `  M ) ) ) )
1211decidr 13033 1  |-  ( M  e.  ZZ  ->  ( ZZ>=
`  M ) DECIDin  ZZ )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 103    <-> wb 104    \/ wo 697    e. wcel 1480   class class class wbr 3929   ` cfv 5123    < clt 7807    <_ cle 7808   ZZcz 9061   ZZ>=cuz 9333   DECIDin wdcin 13030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7718  ax-resscn 7719  ax-1cn 7720  ax-1re 7721  ax-icn 7722  ax-addcl 7723  ax-addrcl 7724  ax-mulcl 7725  ax-addcom 7727  ax-addass 7729  ax-distr 7731  ax-i2m1 7732  ax-0lt1 7733  ax-0id 7735  ax-rnegex 7736  ax-cnre 7738  ax-pre-ltirr 7739  ax-pre-ltwlin 7740  ax-pre-lttrn 7741  ax-pre-ltadd 7743
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-pnf 7809  df-mnf 7810  df-xr 7811  df-ltxr 7812  df-le 7813  df-sub 7942  df-neg 7943  df-inn 8728  df-n0 8985  df-z 9062  df-uz 9334  df-dcin 13031
This theorem is referenced by:  sumdc2  13036
  Copyright terms: Public domain W3C validator