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Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > tfrlem5 | Unicode version |
Description: Lemma for transfinite recursion. The values of two acceptable functions are the same within their domains. (Contributed by NM, 9-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.) |
Ref | Expression |
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tfrlem.1 |
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tfrlem5 |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | tfrlem.1 |
. . 3
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2 | vex 2660 |
. . 3
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3 | 1, 2 | tfrlem3a 6161 |
. 2
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4 | vex 2660 |
. . 3
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5 | 1, 4 | tfrlem3a 6161 |
. 2
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6 | reeanv 2574 |
. . 3
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7 | fveq2 5375 |
. . . . . . . . 9
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8 | fveq2 5375 |
. . . . . . . . 9
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9 | 7, 8 | eqeq12d 2129 |
. . . . . . . 8
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10 | onin 4268 |
. . . . . . . . . 10
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11 | 10 | 3ad2ant1 985 |
. . . . . . . . 9
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12 | simp2ll 1031 |
. . . . . . . . . . 11
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13 | fnfun 5178 |
. . . . . . . . . . 11
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14 | 12, 13 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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15 | inss1 3262 |
. . . . . . . . . . 11
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16 | fndm 5180 |
. . . . . . . . . . . 12
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17 | 12, 16 | syl 14 |
. . . . . . . . . . 11
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18 | 15, 17 | sseqtrrid 3114 |
. . . . . . . . . 10
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19 | 14, 18 | jca 302 |
. . . . . . . . 9
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20 | simp2rl 1033 |
. . . . . . . . . . 11
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21 | fnfun 5178 |
. . . . . . . . . . 11
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22 | 20, 21 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
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23 | inss2 3263 |
. . . . . . . . . . 11
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24 | fndm 5180 |
. . . . . . . . . . . 12
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25 | 20, 24 | syl 14 |
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26 | 23, 25 | sseqtrrid 3114 |
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27 | 22, 26 | jca 302 |
. . . . . . . . 9
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28 | simp2lr 1032 |
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29 | ssralv 3127 |
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. . . . . . . . 9
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. . . . . . . . . 10
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33 | 23, 31, 32 | mpsyl 65 |
. . . . . . . . 9
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34 | 11, 19, 27, 30, 33 | tfrlem1 6159 |
. . . . . . . 8
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35 | simp3l 992 |
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36 | fnbr 5183 |
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38 | simp3r 993 |
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39 | fnbr 5183 |
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41 | elin 3225 |
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42 | 37, 40, 41 | sylanbrc 411 |
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43 | 9, 34, 42 | rspcdva 2765 |
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45 | 14, 35, 44 | sylc 62 |
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46 | funbrfv 5414 |
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47 | 22, 38, 46 | sylc 62 |
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48 | 43, 45, 47 | 3eqtr3d 2155 |
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49 | 48 | 3exp 1163 |
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50 | 49 | rexlimdva 2523 |
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51 | 50 | rexlimiv 2517 |
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52 | 6, 51 | sylbir 134 |
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53 | 3, 5, 52 | syl2anb 287 |
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Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-1 5 ax-2 6 ax-mp 7 ax-ia1 105 ax-ia2 106 ax-ia3 107 ax-io 681 ax-5 1406 ax-7 1407 ax-gen 1408 ax-ie1 1452 ax-ie2 1453 ax-8 1465 ax-10 1466 ax-11 1467 ax-i12 1468 ax-bndl 1469 ax-4 1470 ax-14 1475 ax-17 1489 ax-i9 1493 ax-ial 1497 ax-i5r 1498 ax-ext 2097 ax-sep 4006 ax-pow 4058 ax-pr 4091 ax-setind 4412 |
This theorem depends on definitions: df-bi 116 df-3an 947 df-tru 1317 df-nf 1420 df-sb 1719 df-eu 1978 df-mo 1979 df-clab 2102 df-cleq 2108 df-clel 2111 df-nfc 2244 df-ral 2395 df-rex 2396 df-rab 2399 df-v 2659 df-sbc 2879 df-csb 2972 df-un 3041 df-in 3043 df-ss 3050 df-pw 3478 df-sn 3499 df-pr 3500 df-op 3502 df-uni 3703 df-br 3896 df-opab 3950 df-mpt 3951 df-tr 3987 df-id 4175 df-iord 4248 df-on 4250 df-xp 4505 df-rel 4506 df-cnv 4507 df-co 4508 df-dm 4509 df-res 4511 df-iota 5046 df-fun 5083 df-fn 5084 df-fv 5089 |
This theorem is referenced by: tfrlem7 6168 tfrexlem 6185 |
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