Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfrlem5 Unicode version

Theorem tfrlem5 6214
 Description: Lemma for transfinite recursion. The values of two acceptable functions are the same within their domains. (Contributed by NM, 9-Apr-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
tfrlem.1
Assertion
Ref Expression
tfrlem5
Distinct variable groups:   ,,,,,,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,,,,)

Proof of Theorem tfrlem5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfrlem.1 . . 3
2 vex 2689 . . 3
31, 2tfrlem3a 6210 . 2
4 vex 2689 . . 3
51, 4tfrlem3a 6210 . 2
6 reeanv 2600 . . 3
7 fveq2 5424 . . . . . . . . 9
8 fveq2 5424 . . . . . . . . 9
97, 8eqeq12d 2154 . . . . . . . 8
10 onin 4311 . . . . . . . . . 10
11103ad2ant1 1002 . . . . . . . . 9
12 simp2ll 1048 . . . . . . . . . . 11
13 fnfun 5223 . . . . . . . . . . 11
1412, 13syl 14 . . . . . . . . . 10
15 inss1 3296 . . . . . . . . . . 11
16 fndm 5225 . . . . . . . . . . . 12
1712, 16syl 14 . . . . . . . . . . 11
1815, 17sseqtrrid 3148 . . . . . . . . . 10
1914, 18jca 304 . . . . . . . . 9
20 simp2rl 1050 . . . . . . . . . . 11
21 fnfun 5223 . . . . . . . . . . 11
2220, 21syl 14 . . . . . . . . . 10
23 inss2 3297 . . . . . . . . . . 11
24 fndm 5225 . . . . . . . . . . . 12
2520, 24syl 14 . . . . . . . . . . 11
2623, 25sseqtrrid 3148 . . . . . . . . . 10
2722, 26jca 304 . . . . . . . . 9
28 simp2lr 1049 . . . . . . . . . 10
29 ssralv 3161 . . . . . . . . . 10
3015, 28, 29mpsyl 65 . . . . . . . . 9
31 simp2rr 1051 . . . . . . . . . 10
32 ssralv 3161 . . . . . . . . . 10
3323, 31, 32mpsyl 65 . . . . . . . . 9
3411, 19, 27, 30, 33tfrlem1 6208 . . . . . . . 8
35 simp3l 1009 . . . . . . . . . 10
36 fnbr 5228 . . . . . . . . . 10
3712, 35, 36syl2anc 408 . . . . . . . . 9
38 simp3r 1010 . . . . . . . . . 10
39 fnbr 5228 . . . . . . . . . 10
4020, 38, 39syl2anc 408 . . . . . . . . 9
41 elin 3259 . . . . . . . . 9
4237, 40, 41sylanbrc 413 . . . . . . . 8
439, 34, 42rspcdva 2794 . . . . . . 7
44 funbrfv 5463 . . . . . . . 8
4514, 35, 44sylc 62 . . . . . . 7
46 funbrfv 5463 . . . . . . . 8
4722, 38, 46sylc 62 . . . . . . 7
4843, 45, 473eqtr3d 2180 . . . . . 6
49483exp 1180 . . . . 5
5049rexlimdva 2549 . . . 4
5150rexlimiv 2543 . . 3
526, 51sylbir 134 . 2
533, 5, 52syl2anb 289 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wa 103   w3a 962   wceq 1331   wcel 1480  cab 2125  wral 2416  wrex 2417   cin 3070   wss 3071   class class class wbr 3932  con0 4288   cdm 4542   cres 4544   wfun 5120   wfn 5121  cfv 5126 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-setind 4455 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-iord 4291  df-on 4293  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-res 4554  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-fv 5134 This theorem is referenced by:  tfrlem7  6217  tfrexlem  6234
 Copyright terms: Public domain W3C validator