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Theorem tfrlem1 6157
Description: A technical lemma for transfinite recursion. Compare Lemma 1 of [TakeutiZaring] p. 47. (Contributed by NM, 23-Mar-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrlem1.1 (𝜑𝐴 ∈ On)
tfrlem1.2 (𝜑 → (Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹))
tfrlem1.3 (𝜑 → (Fun 𝐺𝐴 ⊆ dom 𝐺))
tfrlem1.4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐵‘(𝐹𝑥)))
tfrlem1.5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐺𝑥) = (𝐵‘(𝐺𝑥)))
Assertion
Ref Expression
tfrlem1 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem tfrlem1
Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3081 . 2 𝐴𝐴
2 tfrlem1.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 sseq1 3084 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝐴𝐴𝐴))
4 raleq 2598 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
53, 4imbi12d 233 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) ↔ (𝐴𝐴 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
65imbi2d 229 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝐴𝐴 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
7 sseq1 3084 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
8 raleq 2598 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
97, 8imbi12d 233 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) ↔ (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
109imbi2d 229 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
11 r19.21v 2481 . . . . . 6 (∀𝑧𝑦 (𝜑 → (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ↔ (𝜑 → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
12 simplll 505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → 𝜑)
1312adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝜑)
14 tfrlem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹))
1513, 14syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹))
1615simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → Fun 𝐹)
17 funfn 5109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
1816, 17sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
19 simpllr 506 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ On)
20 eloni 4255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ On → Ord 𝑦)
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → Ord 𝑦)
22 ordelss 4259 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Ord 𝑦𝑤𝑦) → 𝑤𝑦)
2321, 22sylan 279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤𝑦)
24 simplr 502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑦𝐴)
2523, 24sstrd 3071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤𝐴)
2615simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
2725, 26sstrd 3071 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤 ⊆ dom 𝐹)
28 fnssres 5192 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 Fn dom 𝐹𝑤 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝑤) Fn 𝑤)
2918, 27, 28syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐹𝑤) Fn 𝑤)
30 tfrlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (Fun 𝐺𝐴 ⊆ dom 𝐺))
3113, 30syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (Fun 𝐺𝐴 ⊆ dom 𝐺))
3231simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → Fun 𝐺)
33 funfn 5109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Fun 𝐺𝐺 Fn dom 𝐺)
3432, 33sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝐺 Fn dom 𝐺)
3531simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝐴 ⊆ dom 𝐺)
3625, 35sstrd 3071 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤 ⊆ dom 𝐺)
37 fnssres 5192 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 Fn dom 𝐺𝑤 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺𝑤) Fn 𝑤)
3834, 36, 37syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐺𝑤) Fn 𝑤)
39 fveq2 5373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑢 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑢))
40 fveq2 5373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑢 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑢))
4139, 40eqeq12d 2127 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑢 → ((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ (𝐹𝑢) = (𝐺𝑢)))
42 simplr 502 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → 𝑤𝑦)
43 simplr 502 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
4443ad2antrr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
4525adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → 𝑤𝐴)
46 sseq1 3084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐴𝑤𝐴))
47 raleq 2598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑥𝑤 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
4846, 47imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) ↔ (𝑤𝐴 → ∀𝑥𝑤 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
4948rspcv 2754 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤𝑦 → (∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) → (𝑤𝐴 → ∀𝑥𝑤 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
5042, 44, 45, 49syl3c 63 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ∀𝑥𝑤 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
51 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → 𝑢𝑤)
5241, 50, 51rspcdva 2763 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → (𝐹𝑢) = (𝐺𝑢))
53 fvres 5397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢𝑤 → ((𝐹𝑤)‘𝑢) = (𝐹𝑢))
5453adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ((𝐹𝑤)‘𝑢) = (𝐹𝑢))
55 fvres 5397 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢𝑤 → ((𝐺𝑤)‘𝑢) = (𝐺𝑢))
5655adantl 273 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ((𝐺𝑤)‘𝑢) = (𝐺𝑢))
5752, 54, 563eqtr4d 2155 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ((𝐹𝑤)‘𝑢) = ((𝐺𝑤)‘𝑢))
5829, 38, 57eqfnfvd 5473 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))
5958fveq2d 5377 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐵‘(𝐹𝑤)) = (𝐵‘(𝐺𝑤)))
60 fveq2 5373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑤))
61 reseq2 4770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑤))
6261fveq2d 5377 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (𝐵‘(𝐹𝑥)) = (𝐵‘(𝐹𝑤)))
6360, 62eqeq12d 2127 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑥) = (𝐵‘(𝐹𝑥)) ↔ (𝐹𝑤) = (𝐵‘(𝐹𝑤))))
64 tfrlem1.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐵‘(𝐹𝑥)))
6513, 64syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐵‘(𝐹𝑥)))
66 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
6766sselda 3061 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤𝐴)
6863, 65, 67rspcdva 2763 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐹𝑤) = (𝐵‘(𝐹𝑤)))
69 fveq2 5373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑤))
70 reseq2 4770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑤))
7170fveq2d 5377 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (𝐵‘(𝐺𝑥)) = (𝐵‘(𝐺𝑤)))
7269, 71eqeq12d 2127 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐺𝑥) = (𝐵‘(𝐺𝑥)) ↔ (𝐺𝑤) = (𝐵‘(𝐺𝑤))))
73 tfrlem1.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐺𝑥) = (𝐵‘(𝐺𝑥)))
7413, 73syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → ∀𝑥𝐴 (𝐺𝑥) = (𝐵‘(𝐺𝑥)))
7572, 74, 67rspcdva 2763 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐺𝑤) = (𝐵‘(𝐺𝑤)))
7659, 68, 753eqtr4d 2155 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))
7776ralrimiva 2477 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → ∀𝑤𝑦 (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))
7860, 69eqeq12d 2127 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)))
7978cbvralv 2626 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑤𝑦 (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))
8077, 79sylibr 133 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
8180exp31 359 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ On) → (∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
8281expcom 115 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ On → (𝜑 → (∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
8382a2d 26 . . . . . 6 (𝑦 ∈ On → ((𝜑 → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) → (𝜑 → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
8411, 83syl5bi 151 . . . . 5 (𝑦 ∈ On → (∀𝑧𝑦 (𝜑 → (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) → (𝜑 → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
8510, 84tfis2 4457 . . . 4 (𝑦 ∈ On → (𝜑 → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
866, 85vtoclga 2721 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝜑 → (𝐴𝐴 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
872, 86mpcom 36 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐴 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
881, 87mpi 15 1 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1312  wcel 1461  wral 2388  wss 3035  Ord word 4242  Oncon0 4243  dom cdm 4497  cres 4499  Fun wfun 5073   Fn wfn 5074  cfv 5079
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-setind 4410
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 945  df-tru 1315  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ral 2393  df-rex 2394  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-tr 3985  df-id 4173  df-iord 4246  df-on 4248  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-res 4509  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-fv 5087
This theorem is referenced by:  tfrlem5  6163
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