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Theorem tfrlem1 6208
Description: A technical lemma for transfinite recursion. Compare Lemma 1 of [TakeutiZaring] p. 47. (Contributed by NM, 23-Mar-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrlem1.1 (𝜑𝐴 ∈ On)
tfrlem1.2 (𝜑 → (Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹))
tfrlem1.3 (𝜑 → (Fun 𝐺𝐴 ⊆ dom 𝐺))
tfrlem1.4 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐵‘(𝐹𝑥)))
tfrlem1.5 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐺𝑥) = (𝐵‘(𝐺𝑥)))
Assertion
Ref Expression
tfrlem1 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺
Allowed substitution hint:   𝜑(𝑥)

Proof of Theorem tfrlem1
Dummy variables 𝑢 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3117 . 2 𝐴𝐴
2 tfrlem1.1 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ On)
3 sseq1 3120 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (𝑦𝐴𝐴𝐴))
4 raleq 2626 . . . . . 6 (𝑦 = 𝐴 → (∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
53, 4imbi12d 233 . . . . 5 (𝑦 = 𝐴 → ((𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) ↔ (𝐴𝐴 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
65imbi2d 229 . . . 4 (𝑦 = 𝐴 → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝐴𝐴 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
7 sseq1 3120 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (𝑦𝐴𝑧𝐴))
8 raleq 2626 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑧 → (∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
97, 8imbi12d 233 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑧 → ((𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) ↔ (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
109imbi2d 229 . . . . 5 (𝑦 = 𝑧 → ((𝜑 → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ↔ (𝜑 → (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
11 r19.21v 2509 . . . . . 6 (∀𝑧𝑦 (𝜑 → (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ↔ (𝜑 → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
12 simplll 522 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → 𝜑)
1312adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝜑)
14 tfrlem1.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹))
1513, 14syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (Fun 𝐹𝐴 ⊆ dom 𝐹))
1615simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → Fun 𝐹)
17 funfn 5156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
1816, 17sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
19 simpllr 523 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ On)
20 eloni 4300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ On → Ord 𝑦)
2119, 20syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → Ord 𝑦)
22 ordelss 4304 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((Ord 𝑦𝑤𝑦) → 𝑤𝑦)
2321, 22sylan 281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤𝑦)
24 simplr 519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑦𝐴)
2523, 24sstrd 3107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤𝐴)
2615simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝐴 ⊆ dom 𝐹)
2725, 26sstrd 3107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤 ⊆ dom 𝐹)
28 fnssres 5239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹 Fn dom 𝐹𝑤 ⊆ dom 𝐹) → (𝐹𝑤) Fn 𝑤)
2918, 27, 28syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐹𝑤) Fn 𝑤)
30 tfrlem1.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (Fun 𝐺𝐴 ⊆ dom 𝐺))
3113, 30syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (Fun 𝐺𝐴 ⊆ dom 𝐺))
3231simpld 111 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → Fun 𝐺)
33 funfn 5156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Fun 𝐺𝐺 Fn dom 𝐺)
3432, 33sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝐺 Fn dom 𝐺)
3531simprd 113 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝐴 ⊆ dom 𝐺)
3625, 35sstrd 3107 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤 ⊆ dom 𝐺)
37 fnssres 5239 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺 Fn dom 𝐺𝑤 ⊆ dom 𝐺) → (𝐺𝑤) Fn 𝑤)
3834, 36, 37syl2anc 408 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐺𝑤) Fn 𝑤)
39 fveq2 5424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑢 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑢))
40 fveq2 5424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑢 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑢))
4139, 40eqeq12d 2154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑢 → ((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ (𝐹𝑢) = (𝐺𝑢)))
42 simplr 519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → 𝑤𝑦)
43 simplr 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
4443ad2antrr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
4525adantr 274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → 𝑤𝐴)
46 sseq1 3120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐴𝑤𝐴))
47 raleq 2626 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑤 → (∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑥𝑤 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
4846, 47imbi12d 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) ↔ (𝑤𝐴 → ∀𝑥𝑤 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
4948rspcv 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑤𝑦 → (∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) → (𝑤𝐴 → ∀𝑥𝑤 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
5042, 44, 45, 49syl3c 63 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ∀𝑥𝑤 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
51 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → 𝑢𝑤)
5241, 50, 51rspcdva 2794 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → (𝐹𝑢) = (𝐺𝑢))
53 fvres 5448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢𝑤 → ((𝐹𝑤)‘𝑢) = (𝐹𝑢))
5453adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ((𝐹𝑤)‘𝑢) = (𝐹𝑢))
55 fvres 5448 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑢𝑤 → ((𝐺𝑤)‘𝑢) = (𝐺𝑢))
5655adantl 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ((𝐺𝑤)‘𝑢) = (𝐺𝑢))
5752, 54, 563eqtr4d 2182 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) ∧ 𝑢𝑤) → ((𝐹𝑤)‘𝑢) = ((𝐺𝑤)‘𝑢))
5829, 38, 57eqfnfvd 5524 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))
5958fveq2d 5428 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐵‘(𝐹𝑤)) = (𝐵‘(𝐺𝑤)))
60 fveq2 5424 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑤))
61 reseq2 4817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑤))
6261fveq2d 5428 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (𝐵‘(𝐹𝑥)) = (𝐵‘(𝐹𝑤)))
6360, 62eqeq12d 2154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑥) = (𝐵‘(𝐹𝑥)) ↔ (𝐹𝑤) = (𝐵‘(𝐹𝑤))))
64 tfrlem1.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐵‘(𝐹𝑥)))
6513, 64syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐵‘(𝐹𝑥)))
66 simpr 109 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
6766sselda 3097 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → 𝑤𝐴)
6863, 65, 67rspcdva 2794 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐹𝑤) = (𝐵‘(𝐹𝑤)))
69 fveq2 5424 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑤))
70 reseq2 4817 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑤 → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑤))
7170fveq2d 5428 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑤 → (𝐵‘(𝐺𝑥)) = (𝐵‘(𝐺𝑤)))
7269, 71eqeq12d 2154 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐺𝑥) = (𝐵‘(𝐺𝑥)) ↔ (𝐺𝑤) = (𝐵‘(𝐺𝑤))))
73 tfrlem1.5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐺𝑥) = (𝐵‘(𝐺𝑥)))
7413, 73syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → ∀𝑥𝐴 (𝐺𝑥) = (𝐵‘(𝐺𝑥)))
7572, 74, 67rspcdva 2794 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐺𝑤) = (𝐵‘(𝐺𝑤)))
7659, 68, 753eqtr4d 2182 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝑦) → (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))
7776ralrimiva 2505 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → ∀𝑤𝑦 (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))
7860, 69eqeq12d 2154 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑤 → ((𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤)))
7978cbvralv 2654 . . . . . . . . . 10 (∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥) ↔ ∀𝑤𝑦 (𝐹𝑤) = (𝐺𝑤))
8077, 79sylibr 133 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑦 ∈ On) ∧ ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) ∧ 𝑦𝐴) → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
8180exp31 361 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑦 ∈ On) → (∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
8281expcom 115 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ On → (𝜑 → (∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)) → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
8382a2d 26 . . . . . 6 (𝑦 ∈ On → ((𝜑 → ∀𝑧𝑦 (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) → (𝜑 → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
8411, 83syl5bi 151 . . . . 5 (𝑦 ∈ On → (∀𝑧𝑦 (𝜑 → (𝑧𝐴 → ∀𝑥𝑧 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))) → (𝜑 → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))))
8510, 84tfis2 4502 . . . 4 (𝑦 ∈ On → (𝜑 → (𝑦𝐴 → ∀𝑥𝑦 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
866, 85vtoclga 2752 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝜑 → (𝐴𝐴 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))))
872, 86mpcom 36 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐴 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥)))
881, 87mpi 15 1 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 (𝐹𝑥) = (𝐺𝑥))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1331  wcel 1480  wral 2416  wss 3071  Ord word 4287  Oncon0 4288  dom cdm 4542  cres 4544  Fun wfun 5120   Fn wfn 5121  cfv 5126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4049  ax-pow 4101  ax-pr 4134  ax-setind 4455
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3740  df-br 3933  df-opab 3993  df-mpt 3994  df-tr 4030  df-id 4218  df-iord 4291  df-on 4293  df-xp 4548  df-rel 4549  df-cnv 4550  df-co 4551  df-dm 4552  df-res 4554  df-iota 5091  df-fun 5128  df-fn 5129  df-fv 5134
This theorem is referenced by:  tfrlem5  6214
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