Theorem umgrnloop0 16241

Description: A multigraph has no loops. (Contributed by Alexander van der Vekens, 6-Dec-2017.) (Revised by AV, 11-Dec-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
umgrnloopv.e	|- E = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
umgrnloop0	|- ( G e. UMGraph -> { x e. dom E | ( E ` x ) = { U } } = (/) )

Distinct variable groups:   x, G   x, U

Allowed substitution hint:   E( x)

Proof of Theorem umgrnloop0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neirr 2423	. . . . 5 |- -. U =/= U
2		umgrnloopv.e	. . . . . 6 |- E = (iEdg ` G )
3	2	umgrnloop 16240	. . . . 5 |- ( G e. UMGraph -> ( E. x e. dom E ( E ` x ) = { U , U } -> U =/= U ) )
4	1, 3	mtoi 670	. . . 4 |- ( G e. UMGraph -> -. E. x e. dom E ( E ` x ) = { U , U } )
5		simpr 110	. . . . . . 7 |- ( ( G e. UMGraph /\ ( E ` x ) = { U } ) -> ( E ` x ) = { U } )
6		dfsn2 3708	. . . . . . 7 |- { U } = { U , U }
7	5, 6	eqtrdi 2283	. . . . . 6 |- ( ( G e. UMGraph /\ ( E ` x ) = { U } ) -> ( E ` x ) = { U , U } )
8	7	ex 115	. . . . 5 |- ( G e. UMGraph -> ( ( E ` x ) = { U } -> ( E ` x ) = { U , U } ) )
9	8	reximdv 2645	. . . 4 |- ( G e. UMGraph -> ( E. x e. dom E ( E ` x ) = { U } -> E. x e. dom E ( E ` x ) = { U , U } ) )
10	4, 9	mtod 669	. . 3 |- ( G e. UMGraph -> -. E. x e. dom E ( E ` x ) = { U } )
11		ralnex 2532	. . 3 |- ( A. x e. dom E -. ( E ` x ) = { U } <-> -. E. x e. dom E ( E ` x ) = { U } )
12	10, 11	sylibr 134	. 2 |- ( G e. UMGraph -> A. x e. dom E -. ( E ` x ) = { U } )
13		rabeq0 3542	. 2 |- ( { x e. dom E | ( E ` x ) = { U } } = (/) <-> A. x e. dom E -. ( E ` x ) = { U } )
14	12, 13	sylibr 134	1 |- ( G e. UMGraph -> { x e. dom E | ( E ` x ) = { U } } = (/) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 104   = wceq 1398   e. wcel 2205   =/= wne 2414   A.wral 2522   E.wrex 2523   {crab 2526   (/)c0 3512   {csn 3694   {cpr 3695   dom cdm 4754   ` cfv 5357  iEdgciedg 16137  UMGraphcumgr 16216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-cnre 8254

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-iord 4492  df-on 4494  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-1o 6660  df-2o 6661  df-er 6780  df-en 6989  df-sub 8463  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-9 9323  df-n0 9517  df-dec 9731  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-edgf 16129  df-vtx 16138  df-iedg 16139  df-uhgrm 16193  df-upgren 16217  df-umgren 16218

This theorem is referenced by:  usgrnloop0  16327