Theorem upgrfen 16350

Description: The edge function of an undirected pseudograph is a function into unordered pairs of vertices. Version of upgrfnen 16351 without explicitly specified domain of the edge function. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isupgr.v	|- V = (Vtx ` G )
isupgr.e	|- E = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
upgrfen	|- ( G e. UPGraph -> E : dom E --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )

Distinct variable groups:   x, G   x, V

Allowed substitution hint:   E( x)

Proof of Theorem upgrfen

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isupgr.v	. . 3 |- V = (Vtx ` G )
2		isupgr.e	. . 3 |- E = (iEdg ` G )
3	1, 2	isupgren 16348	. 2 |- ( G e. UPGraph -> ( G e. UPGraph <-> E : dom E --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
4	3	ibi 176	1 |- ( G e. UPGraph -> E : dom E --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   ~Pcpw 3688   class class class wbr 4130   dom cdm 4774   -->wf 5373   ` cfv 5377   1oc1o 6680   2oc2o 6681   ~~ cen 7020  Vtxcvtx 16265  iEdgciedg 16266  UPGraphcupgr 16344

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-fo 5383  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-sub 8499  df-inn 9306  df-2 9364  df-3 9365  df-4 9366  df-5 9367  df-6 9368  df-7 9369  df-8 9370  df-9 9371  df-n0 9566  df-dec 9780  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-edgf 16258  df-vtx 16267  df-iedg 16268  df-upgren 16346

This theorem is used by:  upgrfnen  16351  upgrss  16352  upgrop  16357  upgruhgr  16364  upgrun  16379  umgrislfupgrdom  16384  upgredgssen  16392  edgupgren  16394  upgredg  16397  vtxedgfi  16542  vtxlpfi  16543