Theorem wrdupgren 16554

Description: The property of being an undirected pseudograph, expressing the edges as "words". (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2015.) (Revised by AV, 10-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
isupgr.v	|- V = (Vtx ` G )
isupgr.e	|- E = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
wrdupgren	|- ( ( G e. U /\ E e. Word X ) -> ( G e. UPGraph <-> E e. Word { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, V

Allowed substitution hints:   U( x)   E( x)   X( x)

Proof of Theorem wrdupgren

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isupgr.v	. . . 4 |- V = (Vtx ` G )
2		isupgr.e	. . . 4 |- E = (iEdg ` G )
3	1, 2	isupgren 16553	. . 3 |- ( G e. U -> ( G e. UPGraph <-> E : dom E --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
4	3	adantr 276	. 2 |- ( ( G e. U /\ E e. Word X ) -> ( G e. UPGraph <-> E : dom E --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
5		wrdf 11333	. . . . 5 |- ( E e. Word X -> E : ( 0..^ (♯ ` E ) ) --> X )
6	5	adantl 277	. . . 4 |- ( ( G e. U /\ E e. Word X ) -> E : ( 0..^ (♯ ` E ) ) --> X )
7	6	fdmd 5543	. . 3 |- ( ( G e. U /\ E e. Word X ) -> dom E = ( 0..^ (♯ ` E ) ) )
8	7	feq2d 5524	. 2 |- ( ( G e. U /\ E e. Word X ) -> ( E : dom E --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } <-> E : ( 0..^ (♯ ` E ) ) --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
9		simpr 110	. . . . 5 |- ( ( ( G e. U /\ E e. Word X ) /\ E : ( 0..^ (♯ ` E ) ) --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) -> E : ( 0..^ (♯ ` E ) ) --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
10		lencl 11331	. . . . . 6 |- ( E e. Word X -> (♯ ` E ) e. NN0 )
11	10	ad2antlr 493	. . . . 5 |- ( ( ( G e. U /\ E e. Word X ) /\ E : ( 0..^ (♯ ` E ) ) --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) -> (♯ ` E ) e. NN0 )
12		iswrdinn0 11332	. . . . 5 |- ( ( E : ( 0..^ (♯ ` E ) ) --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ (♯ ` E ) e. NN0 ) -> E e. Word { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
13	9, 11, 12	syl2anc 415	. . . 4 |- ( ( ( G e. U /\ E e. Word X ) /\ E : ( 0..^ (♯ ` E ) ) --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) -> E e. Word { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
14	13	ex 115	. . 3 |- ( ( G e. U /\ E e. Word X ) -> ( E : ( 0..^ (♯ ` E ) ) --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } -> E e. Word { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
15		wrdf 11333	. . 3 |- ( E e. Word { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } -> E : ( 0..^ (♯ ` E ) ) --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
16	14, 15	impbid1 142	. 2 |- ( ( G e. U /\ E e. Word X ) -> ( E : ( 0..^ (♯ ` E ) ) --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } <-> E e. Word { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )
17	4, 8, 16	3bitrd 214	1 |- ( ( G e. U /\ E e. Word X ) -> ( G e. UPGraph <-> E e. Word { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } ) )

This proof depends on syntax axioms:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 720   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   ~Pcpw 3688   class class class wbr 4131   dom cdm 4776   -->wf 5376   ` cfv 5380  (class class class)co 6088   1oc1o 6684   2oc2o 6685   ~~ cen 7025   0cc0 8186   NN0cn0 9575  ..^cfzo 10567  ♯chash 11237  Word cword 11327  Vtxcvtx 16470  iEdgciedg 16471  UPGraphcupgr 16549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-1o 6691  df-er 6811  df-en 7028  df-dom 7029  df-fin 7030  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-5 9376  df-6 9377  df-7 9378  df-8 9379  df-9 9380  df-n0 9576  df-z 9657  df-dec 9790  df-uz 9939  df-fz 10430  df-fzo 10568  df-ihash 11238  df-word 11328  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-edgf 16463  df-vtx 16472  df-iedg 16473  df-upgren 16551

This theorem is used by:  vdegp1aid  16772  vdegp1bid  16773