Theorem umgrislfupgrdom 15807

Description: A multigraph is a loop-free pseudograph. (Contributed by AV, 27-Jan-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
umgrislfupgr.v	|- V = (Vtx ` G )
umgrislfupgr.i	|- I = (iEdg ` G )

Assertion

Ref	Expression
umgrislfupgrdom	|- ( G e. UMGraph <-> ( G e. UPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )

Distinct variable groups:   x, G   x, V

Allowed substitution hint:   I( x)

Proof of Theorem umgrislfupgrdom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		umgrupgr 15793	. . 3 |- ( G e. UMGraph -> G e. UPGraph )
2		umgrislfupgr.v	. . . . 5 |- V = (Vtx ` G )
3		umgrislfupgr.i	. . . . 5 |- I = (iEdg ` G )
4	2, 3	umgrfen 15788	. . . 4 |- ( G e. UMGraph -> I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
5		id 19	. . . . 5 |- ( I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } -> I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
6		ensymb 6890	. . . . . . . . 9 |- ( 2o ~~ x <-> x ~~ 2o )
7		endom 6872	. . . . . . . . 9 |- ( 2o ~~ x -> 2o ~<_ x )
8	6, 7	sylbir 135	. . . . . . . 8 |- ( x ~~ 2o -> 2o ~<_ x )
9	8	a1i 9	. . . . . . 7 |- ( x e. ~P V -> ( x ~~ 2o -> 2o ~<_ x ) )
10	9	ss2rabi 3279	. . . . . 6 |- { x e. ~P V | x ~~ 2o } C_ { x e. ~P V | 2o ~<_ x }
11	10	a1i 9	. . . . 5 |- ( I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } -> { x e. ~P V | x ~~ 2o } C_ { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
12	5, 11	fssd 5453	. . . 4 |- ( I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } -> I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
13	4, 12	syl 14	. . 3 |- ( G e. UMGraph -> I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } )
14	1, 13	jca 306	. 2 |- ( G e. UMGraph -> ( G e. UPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )
15	2, 3	upgrfen 15778	. . . 4 |- ( G e. UPGraph -> I : dom I --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } )
16		fin 5479	. . . . 5 |- ( I : dom I --> ( { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } i^i { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) <-> ( I : dom I --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )
17		umgrislfupgrenlem 15806	. . . . . 6 |- ( { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } i^i { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) = { x e. ~P V | x ~~ 2o }
18		feq3 5425	. . . . . 6 |- ( ( { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } i^i { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) = { x e. ~P V | x ~~ 2o } -> ( I : dom I --> ( { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } i^i { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) <-> I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
19	17, 18	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( I : dom I --> ( { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } i^i { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) <-> I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
20	16, 19	sylbb1 137	. . . 4 |- ( ( I : dom I --> { x e. ~P V | ( x ~~ 1o \/ x ~~ 2o ) } /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) -> I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
21	15, 20	sylan 283	. . 3 |- ( ( G e. UPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) -> I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } )
22	2, 3	isumgren 15786	. . . 4 |- ( G e. UPGraph -> ( G e. UMGraph <-> I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
23	22	adantr 276	. . 3 |- ( ( G e. UPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) -> ( G e. UMGraph <-> I : dom I --> { x e. ~P V | x ~~ 2o } ) )
24	21, 23	mpbird 167	. 2 |- ( ( G e. UPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) -> G e. UMGraph )
25	14, 24	impbii 126	1 |- ( G e. UMGraph <-> ( G e. UPGraph /\ I : dom I --> { x e. ~P V | 2o ~<_ x } ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   \/ wo 710   = wceq 1373   e. wcel 2177   {crab 2489   i^i cin 3169   C_ wss 3170   ~Pcpw 3621   class class class wbr 4054   dom cdm 4688   -->wf 5281   ` cfv 5285   1oc1o 6513   2oc2o 6514   ~~ cen 6843   ~<_ cdom 6844  Vtxcvtx 15696  iEdgciedg 15697  UPGraphcupgr 15772  UMGraphcumgr 15773

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4173  ax-nul 4181  ax-pow 4229  ax-pr 4264  ax-un 4493  ax-setind 4598  ax-iinf 4649  ax-cnex 8046  ax-resscn 8047  ax-1cn 8048  ax-1re 8049  ax-icn 8050  ax-addcl 8051  ax-addrcl 8052  ax-mulcl 8053  ax-addcom 8055  ax-mulcom 8056  ax-addass 8057  ax-mulass 8058  ax-distr 8059  ax-i2m1 8060  ax-1rid 8062  ax-0id 8063  ax-rnegex 8064  ax-cnre 8066

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-nul 3465  df-if 3576  df-pw 3623  df-sn 3644  df-pr 3645  df-op 3647  df-uni 3860  df-int 3895  df-br 4055  df-opab 4117  df-mpt 4118  df-tr 4154  df-id 4353  df-iord 4426  df-on 4428  df-suc 4431  df-iom 4652  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-iota 5246  df-fun 5287  df-fn 5288  df-f 5289  df-f1 5290  df-fo 5291  df-f1o 5292  df-fv 5293  df-riota 5917  df-ov 5965  df-oprab 5966  df-mpo 5967  df-1st 6244  df-2nd 6245  df-1o 6520  df-2o 6521  df-er 6638  df-en 6846  df-dom 6847  df-sub 8275  df-inn 9067  df-2 9125  df-3 9126  df-4 9127  df-5 9128  df-6 9129  df-7 9130  df-8 9131  df-9 9132  df-n0 9326  df-dec 9535  df-ndx 12920  df-slot 12921  df-base 12923  df-edgf 15689  df-vtx 15698  df-iedg 15699  df-upgren 15774  df-umgren 15775

This theorem is referenced by: (None)