Theorem usgrausgrben 16330

Description: The equivalence of the definitions of a simple graph, expressed with the set of vertices and the set of edges. (Contributed by AV, 2-Jan-2020.) (Revised by AV, 15-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ausgr.1	|- G = { <. v , e >. | e C_ { x e. ~P v | x ~~ 2o } }
ausgrusgri.1	|- O = { f | f : dom f -1-1-> ran f }

Assertion

Ref	Expression
usgrausgrben	|- ( ( H e. W /\ (iEdg ` H ) e. O ) -> ( (Vtx ` H ) G (Edg ` H ) <-> H e. USGraph ) )

Distinct variable groups:   v, e, x, H   f, H   x, W

Allowed substitution hints:   G( x, v, e, f)   O( x, v, e, f)   W( v, e, f)

Proof of Theorem usgrausgrben

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ausgr.1	. . . . . 6 |- G = { <. v , e >. | e C_ { x e. ~P v | x ~~ 2o } }
2		ausgrusgri.1	. . . . . 6 |- O = { f | f : dom f -1-1-> ran f }
3	1, 2	ausgrusgrien 16329	. . . . 5 |- ( ( H e. W /\ (Vtx ` H ) G (Edg ` H ) /\ (iEdg ` H ) e. O ) -> H e. USGraph )
4	3	3exp 1233	. . . 4 |- ( H e. W -> ( (Vtx ` H ) G (Edg ` H ) -> ( (iEdg ` H ) e. O -> H e. USGraph ) ) )
5	4	com23 78	. . 3 |- ( H e. W -> ( (iEdg ` H ) e. O -> ( (Vtx ` H ) G (Edg ` H ) -> H e. USGraph ) ) )
6	5	imp 124	. 2 |- ( ( H e. W /\ (iEdg ` H ) e. O ) -> ( (Vtx ` H ) G (Edg ` H ) -> H e. USGraph ) )
7	1	usgrausgrien 16327	. 2 |- ( H e. USGraph -> (Vtx ` H ) G (Edg ` H ) )
8	6, 7	impbid1 142	1 |- ( ( H e. W /\ (iEdg ` H ) e. O ) -> ( (Vtx ` H ) G (Edg ` H ) <-> H e. USGraph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {cab 2224   {crab 2532   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688   class class class wbr 4128   {copab 4189   dom cdm 4772   ran crn 4773   -1-1->wf1 5372   ` cfv 5375   2oc2o 6674   ~~ cen 7013  Vtxcvtx 16170  iEdgciedg 16171  Edgcedg 16215  USGraphcusgr 16312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8263  ax-resscn 8264  ax-1cn 8265  ax-1re 8266  ax-icn 8267  ax-addcl 8268  ax-addrcl 8269  ax-mulcl 8270  ax-addcom 8272  ax-mulcom 8273  ax-addass 8274  ax-mulass 8275  ax-distr 8276  ax-i2m1 8277  ax-1rid 8279  ax-0id 8280  ax-rnegex 8281  ax-cnre 8283

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-fv 5383  df-riota 6031  df-ov 6081  df-oprab 6082  df-mpo 6083  df-1st 6367  df-2nd 6368  df-sub 8492  df-inn 9287  df-2 9345  df-3 9346  df-4 9347  df-5 9348  df-6 9349  df-7 9350  df-8 9351  df-9 9352  df-n0 9546  df-dec 9760  df-ndx 13336  df-slot 13337  df-base 13339  df-edgf 16163  df-vtx 16172  df-iedg 16173  df-edg 16216  df-usgren 16314

This theorem is referenced by: (None)