Theorem usgrausgrben 16050

Description: The equivalence of the definitions of a simple graph, expressed with the set of vertices and the set of edges. (Contributed by AV, 2-Jan-2020.) (Revised by AV, 15-Oct-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
ausgr.1	|- G = { <. v , e >. | e C_ { x e. ~P v | x ~~ 2o } }
ausgrusgri.1	|- O = { f | f : dom f -1-1-> ran f }

Assertion

Ref	Expression
usgrausgrben	|- ( ( H e. W /\ (iEdg ` H ) e. O ) -> ( (Vtx ` H ) G (Edg ` H ) <-> H e. USGraph ) )

Distinct variable groups:   v, e, x, H   f, H   x, W

Allowed substitution hints:   G( x, v, e, f)   O( x, v, e, f)   W( v, e, f)

Proof of Theorem usgrausgrben

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ausgr.1	. . . . . 6 |- G = { <. v , e >. | e C_ { x e. ~P v | x ~~ 2o } }
2		ausgrusgri.1	. . . . . 6 |- O = { f | f : dom f -1-1-> ran f }
3	1, 2	ausgrusgrien 16049	. . . . 5 |- ( ( H e. W /\ (Vtx ` H ) G (Edg ` H ) /\ (iEdg ` H ) e. O ) -> H e. USGraph )
4	3	3exp 1228	. . . 4 |- ( H e. W -> ( (Vtx ` H ) G (Edg ` H ) -> ( (iEdg ` H ) e. O -> H e. USGraph ) ) )
5	4	com23 78	. . 3 |- ( H e. W -> ( (iEdg ` H ) e. O -> ( (Vtx ` H ) G (Edg ` H ) -> H e. USGraph ) ) )
6	5	imp 124	. 2 |- ( ( H e. W /\ (iEdg ` H ) e. O ) -> ( (Vtx ` H ) G (Edg ` H ) -> H e. USGraph ) )
7	1	usgrausgrien 16047	. 2 |- ( H e. USGraph -> (Vtx ` H ) G (Edg ` H ) )
8	6, 7	impbid1 142	1 |- ( ( H e. W /\ (iEdg ` H ) e. O ) -> ( (Vtx ` H ) G (Edg ` H ) <-> H e. USGraph ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 104   <-> wb 105   = wceq 1397   e. wcel 2202   {cab 2217   {crab 2514   C_ wss 3200   ~Pcpw 3652   class class class wbr 4088   {copab 4149   dom cdm 4725   ran crn 4726   -1-1->wf1 5323   ` cfv 5326   2oc2o 6579   ~~ cen 6910  Vtxcvtx 15890  iEdgciedg 15891  Edgcedg 15935  USGraphcusgr 16032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8126  ax-resscn 8127  ax-1cn 8128  ax-1re 8129  ax-icn 8130  ax-addcl 8131  ax-addrcl 8132  ax-mulcl 8133  ax-addcom 8135  ax-mulcom 8136  ax-addass 8137  ax-mulass 8138  ax-distr 8139  ax-i2m1 8140  ax-1rid 8142  ax-0id 8143  ax-rnegex 8144  ax-cnre 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-if 3606  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-fv 5334  df-riota 5974  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpo 6026  df-1st 6306  df-2nd 6307  df-sub 8355  df-inn 9147  df-2 9205  df-3 9206  df-4 9207  df-5 9208  df-6 9209  df-7 9210  df-8 9211  df-9 9212  df-n0 9406  df-dec 9615  df-ndx 13106  df-slot 13107  df-base 13109  df-edgf 15883  df-vtx 15892  df-iedg 15893  df-edg 15936  df-usgren 16034

This theorem is referenced by: (None)