Theorem usgrausgrien 16393

Description: A simple graph represented by an alternatively defined simple graph. (Contributed by AV, 15-Oct-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
ausgr.1	|- G = { <. v , e >. | e C_ { x e. ~P v | x ~~ 2o } }

Assertion

Ref	Expression
usgrausgrien	|- ( H e. USGraph -> (Vtx ` H ) G (Edg ` H ) )

Distinct variable group:   v, e, x, H

Allowed substitution hints:   G( x, v, e)

Proof of Theorem usgrausgrien

Step	Hyp	Ref	Expression
1		usgredgssen 16386	. 2 |- ( H e. USGraph -> (Edg ` H ) C_ { x e. ~P (Vtx ` H ) | x ~~ 2o } )
2		vtxex 16242	. . 3 |- ( H e. USGraph -> (Vtx ` H ) e. _V )
3		edgvalg 16283	. . . 4 |- ( H e. USGraph -> (Edg ` H ) = ran (iEdg ` H ) )
4		iedgex 16243	. . . . 5 |- ( H e. USGraph -> (iEdg ` H ) e. _V )
5		rnexg 5045	. . . . 5 |- ( (iEdg ` H ) e. _V -> ran (iEdg ` H ) e. _V )
6	4, 5	syl 14	. . . 4 |- ( H e. USGraph -> ran (iEdg ` H ) e. _V )
7	3, 6	eqeltrd 2315	. . 3 |- ( H e. USGraph -> (Edg ` H ) e. _V )
8		ausgr.1	. . . 4 |- G = { <. v , e >. | e C_ { x e. ~P v | x ~~ 2o } }
9	8	isausgren 16391	. . 3 |- ( ( (Vtx ` H ) e. _V /\ (Edg ` H ) e. _V ) -> ( (Vtx ` H ) G (Edg ` H ) <-> (Edg ` H ) C_ { x e. ~P (Vtx ` H ) | x ~~ 2o } ) )
10	2, 7, 9	syl2anc 415	. 2 |- ( H e. USGraph -> ( (Vtx ` H ) G (Edg ` H ) <-> (Edg ` H ) C_ { x e. ~P (Vtx ` H ) | x ~~ 2o } ) )
11	1, 10	mpbird 167	1 |- ( H e. USGraph -> (Vtx ` H ) G (Edg ` H ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 105   = wceq 1402   e. wcel 2209   {crab 2532   _Vcvv 2821   C_ wss 3220   ~Pcpw 3688   class class class wbr 4128   {copab 4189   ran crn 4773   ` cfv 5375   2oc2o 6675   ~~ cen 7014  Vtxcvtx 16236  iEdgciedg 16237  Edgcedg 16281  USGraphcusgr 16378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-mulcom 8274  ax-addass 8275  ax-mulass 8276  ax-distr 8277  ax-i2m1 8278  ax-1rid 8280  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-cnre 8284

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-sub 8493  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-9 9353  df-n0 9547  df-dec 9761  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-edgf 16229  df-vtx 16238  df-iedg 16239  df-edg 16282  df-usgren 16380

This theorem is referenced by:  usgrausgrben  16396