Theorem xaddcld 9853

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xaddcld.1	|- ( ph -> A e. RR* )
xaddcld.2	|- ( ph -> B e. RR* )

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	|- ( ph -> ( A +e B ) e. RR* )

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xaddcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR* )
2		xaddcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR* )
3		xaddcl 9829	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A +e B ) e. RR* )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A +e B ) e. RR* )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2146  (class class class)co 5865   RR*cxr 7965   +ecxad 9739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1445  ax-7 1446  ax-gen 1447  ax-ie1 1491  ax-ie2 1492  ax-8 1502  ax-10 1503  ax-11 1504  ax-i12 1505  ax-bndl 1507  ax-4 1508  ax-17 1524  ax-i9 1528  ax-ial 1532  ax-i5r 1533  ax-13 2148  ax-14 2149  ax-ext 2157  ax-sep 4116  ax-pow 4169  ax-pr 4203  ax-un 4427  ax-setind 4530  ax-cnex 7877  ax-resscn 7878  ax-1re 7880  ax-addrcl 7883  ax-rnegex 7895

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1459  df-sb 1761  df-eu 2027  df-mo 2028  df-clab 2162  df-cleq 2168  df-clel 2171  df-nfc 2306  df-ne 2346  df-nel 2441  df-ral 2458  df-rex 2459  df-rab 2462  df-v 2737  df-sbc 2961  df-csb 3056  df-dif 3129  df-un 3131  df-in 3133  df-ss 3140  df-if 3533  df-pw 3574  df-sn 3595  df-pr 3596  df-op 3598  df-uni 3806  df-iun 3884  df-br 3999  df-opab 4060  df-mpt 4061  df-id 4287  df-xp 4626  df-rel 4627  df-cnv 4628  df-co 4629  df-dm 4630  df-rn 4631  df-res 4632  df-ima 4633  df-iota 5170  df-fun 5210  df-fn 5211  df-f 5212  df-fv 5216  df-ov 5868  df-oprab 5869  df-mpo 5870  df-1st 6131  df-2nd 6132  df-pnf 7968  df-mnf 7969  df-xr 7970  df-xadd 9742

This theorem is referenced by:  xadd4d  9854  xleaddadd  9856  xrmaxaddlem  11234  xrmaxadd  11235  xrminadd  11249  xrbdtri  11250  bldisj  13470  xblss2ps  13473  xblss2  13474  comet  13568  bdxmet  13570  xmetxp  13576