Theorem xaddcld 10269

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xaddcld.1	|- ( ph -> A e. RR* )
xaddcld.2	|- ( ph -> B e. RR* )

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	|- ( ph -> ( A +e B ) e. RR* )

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xaddcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR* )
2		xaddcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR* )
3		xaddcl 10245	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A +e B ) e. RR* )
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 |- ( ph -> ( A +e B ) e. RR* )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2209  (class class class)co 6079   RR*cxr 8353   +ecxad 10155

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270  ax-rnegex 8282

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-xadd 10158

This theorem is referenced by:  xadd4d  10270  xleaddadd  10272  xrmaxaddlem  12009  xrmaxadd  12010  xrminadd  12024  xrbdtri  12025  bldisj  15485  xblss2ps  15488  xblss2  15489  comet  15583  bdxmet  15585  xmetxp  15591  vtxdgfifival  16515