Theorem xaddcld 10124

Description: The extended real addition operation is closed in extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
xaddcld.1	|- ( ph -> A e. RR* )
xaddcld.2	|- ( ph -> B e. RR* )

Assertion

Ref	Expression
xaddcld	|- ( ph -> ( A +e B ) e. RR* )

Proof of Theorem xaddcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xaddcld.1	. 2 |- ( ph -> A e. RR* )
2		xaddcld.2	. 2 |- ( ph -> B e. RR* )
3		xaddcl 10100	. 2 |- ( ( A e. RR* /\ B e. RR* ) -> ( A +e B ) e. RR* )
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 |- ( ph -> ( A +e B ) e. RR* )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 2201  (class class class)co 6023   RR*cxr 8218   +ecxad 10010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2203  ax-14 2204  ax-ext 2212  ax-sep 4208  ax-pow 4266  ax-pr 4301  ax-un 4532  ax-setind 4637  ax-cnex 8128  ax-resscn 8129  ax-1re 8131  ax-addrcl 8134  ax-rnegex 8146

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1810  df-eu 2081  df-mo 2082  df-clab 2217  df-cleq 2223  df-clel 2226  df-nfc 2362  df-ne 2402  df-nel 2497  df-ral 2514  df-rex 2515  df-rab 2518  df-v 2803  df-sbc 3031  df-csb 3127  df-dif 3201  df-un 3203  df-in 3205  df-ss 3212  df-if 3605  df-pw 3655  df-sn 3676  df-pr 3677  df-op 3679  df-uni 3895  df-iun 3973  df-br 4090  df-opab 4152  df-mpt 4153  df-id 4392  df-xp 4733  df-rel 4734  df-cnv 4735  df-co 4736  df-dm 4737  df-rn 4738  df-res 4739  df-ima 4740  df-iota 5288  df-fun 5330  df-fn 5331  df-f 5332  df-fv 5336  df-ov 6026  df-oprab 6027  df-mpo 6028  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-pnf 8221  df-mnf 8222  df-xr 8223  df-xadd 10013

This theorem is referenced by:  xadd4d  10125  xleaddadd  10127  xrmaxaddlem  11843  xrmaxadd  11844  xrminadd  11858  xrbdtri  11859  bldisj  15154  xblss2ps  15157  xblss2  15158  comet  15252  bdxmet  15254  xmetxp  15260  vtxdgfifival  16171