ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrlelttr GIF version

Theorem xrlelttr 9790
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrlelttr ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))

Proof of Theorem xrlelttr
StepHypRef Expression
1 simprl 529 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐴𝐵)
2 simpl1 1000 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 simpl2 1001 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 ∈ ℝ*)
4 xrlenlt 8009 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
52, 3, 4syl2anc 411 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
61, 5mpbid 147 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → ¬ 𝐵 < 𝐴)
76pm2.21d 619 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶))
8 idd 21 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐴 < 𝐶𝐴 < 𝐶))
9 simprr 531 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐵 < 𝐶)
10 simpl3 1002 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐶 ∈ ℝ*)
11 xrltso 9780 . . . . . 6 < Or ℝ*
12 sowlin 4317 . . . . . 6 (( < Or ℝ* ∧ (𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*)) → (𝐵 < 𝐶 → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
1311, 12mpan 424 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → (𝐵 < 𝐶 → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
143, 10, 2, 13syl3anc 1238 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 < 𝐶 → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
159, 14mpd 13 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → (𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶))
167, 8, 15mpjaod 718 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵 < 𝐶)) → 𝐴 < 𝐶)
1716ex 115 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵 < 𝐶) → 𝐴 < 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 104  wb 105  wo 708  w3a 978  wcel 2148   class class class wbr 4000   Or wor 4292  *cxr 7978   < clt 7979  cle 7980
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4118  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-cnex 7890  ax-resscn 7891  ax-pre-ltirr 7911  ax-pre-ltwlin 7912  ax-pre-lttrn 7913
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-br 4001  df-opab 4062  df-po 4293  df-iso 4294  df-xp 4629  df-cnv 4631  df-pnf 7981  df-mnf 7982  df-xr 7983  df-ltxr 7984  df-le 7985
This theorem is referenced by:  xrlelttrd  9794  xrre  9804  xrre2  9805  iooss1  9900  iccssioo  9926  iccssico  9929  iocssioo  9947  ioossioo  9949  ico0  10245  bldisj  13561  xblm  13577  blsscls2  13653  metcnpi3  13677
  Copyright terms: Public domain W3C validator