Theorem 1dom1el 16126

Description: If a set is dominated by one, then any two of its elements are equal. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
1dom1el	⊢ ((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem 1dom1el

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6861	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 1o → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→1o)
2	1	3ad2ant1 1021	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→1o)
3		f1f 5503	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→1o → 𝑓:𝐴⟶1o)
4	3	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→1o) → 𝑓:𝐴⟶1o)
5		simpl2 1004	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→1o) → 𝐵 ∈ 𝐴)
6	4, 5	ffvelcdmd 5739	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→1o) → (𝑓‘𝐵) ∈ 1o)
7		el1o 6546	. . . . 5 ⊢ ((𝑓‘𝐵) ∈ 1o ↔ (𝑓‘𝐵) = ∅)
8	6, 7	sylib 122	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→1o) → (𝑓‘𝐵) = ∅)
9		simpl3 1005	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→1o) → 𝐶 ∈ 𝐴)
10	4, 9	ffvelcdmd 5739	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→1o) → (𝑓‘𝐶) ∈ 1o)
11		el1o 6546	. . . . 5 ⊢ ((𝑓‘𝐶) ∈ 1o ↔ (𝑓‘𝐶) = ∅)
12	10, 11	sylib 122	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→1o) → (𝑓‘𝐶) = ∅)
13	8, 12	eqtr4d 2243	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→1o) → (𝑓‘𝐵) = (𝑓‘𝐶))
14		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→1o) → 𝑓:𝐴–1-1→1o)
15		f1veqaeq 5861	. . . 4 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1→1o ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ((𝑓‘𝐵) = (𝑓‘𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
16	14, 5, 9, 15	syl12anc 1248	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→1o) → ((𝑓‘𝐵) = (𝑓‘𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
17	13, 16	mpd 13	. 2 ⊢ (((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→1o) → 𝐵 = 𝐶)
18	2, 17	exlimddv 1923	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 981   = wceq 1373  ∃wex 1516   ∈ wcel 2178  ∅c0 3468   class class class wbr 4059  ⟶wf 5286  –1-1→wf1 5287  ‘cfv 5290  1_oc1o 6518   ≼ cdom 6849

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2180  ax-14 2181  ax-ext 2189  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4234  ax-pr 4269  ax-un 4498

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-ral 2491  df-rex 2492  df-v 2778  df-sbc 3006  df-dif 3176  df-un 3178  df-in 3180  df-ss 3187  df-nul 3469  df-pw 3628  df-sn 3649  df-pr 3650  df-op 3652  df-uni 3865  df-br 4060  df-opab 4122  df-id 4358  df-suc 4436  df-xp 4699  df-rel 4700  df-cnv 4701  df-co 4702  df-dm 4703  df-rn 4704  df-iota 5251  df-fun 5292  df-fn 5293  df-f 5294  df-f1 5295  df-fv 5298  df-1o 6525  df-dom 6852

This theorem is referenced by: (None)