Theorem 1dom1el 7060

Description: If a set is dominated by one, then any two of its elements are equal. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Apr-2025.)

Assertion

Ref	Expression
1dom1el	⊢ ((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Proof of Theorem 1dom1el

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brdomi 6986	. . 3 ⊢ (𝐴 ≼ 1o → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→1o)
2	1	3ad2ant1 1045	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → ∃𝑓 𝑓:𝐴–1-1→1o)
3		f1f 5573	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓:𝐴–1-1→1o → 𝑓:𝐴⟶1o)
4	3	adantl 277	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→1o) → 𝑓:𝐴⟶1o)
5		simpl2 1028	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→1o) → 𝐵 ∈ 𝐴)
6	4, 5	ffvelcdmd 5813	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→1o) → (𝑓‘𝐵) ∈ 1o)
7		el1o 6670	. . . . 5 ⊢ ((𝑓‘𝐵) ∈ 1o ↔ (𝑓‘𝐵) = ∅)
8	6, 7	sylib 122	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→1o) → (𝑓‘𝐵) = ∅)
9		simpl3 1029	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→1o) → 𝐶 ∈ 𝐴)
10	4, 9	ffvelcdmd 5813	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→1o) → (𝑓‘𝐶) ∈ 1o)
11		el1o 6670	. . . . 5 ⊢ ((𝑓‘𝐶) ∈ 1o ↔ (𝑓‘𝐶) = ∅)
12	10, 11	sylib 122	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→1o) → (𝑓‘𝐶) = ∅)
13	8, 12	eqtr4d 2268	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→1o) → (𝑓‘𝐵) = (𝑓‘𝐶))
14		simpr 110	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→1o) → 𝑓:𝐴–1-1→1o)
15		f1veqaeq 5942	. . . 4 ⊢ ((𝑓:𝐴–1-1→1o ∧ (𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴)) → ((𝑓‘𝐵) = (𝑓‘𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
16	14, 5, 9, 15	syl12anc 1272	. . 3 ⊢ (((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→1o) → ((𝑓‘𝐵) = (𝑓‘𝐶) → 𝐵 = 𝐶))
17	13, 16	mpd 13	. 2 ⊢ (((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) ∧ 𝑓:𝐴–1-1→1o) → 𝐵 = 𝐶)
18	2, 17	exlimddv 1948	1 ⊢ ((𝐴 ≼ 1o ∧ 𝐵 ∈ 𝐴 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐵 = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2203  ∅c0 3508   class class class wbr 4109  ⟶wf 5348  –1-1→wf1 5349  ‘cfv 5352  1_oc1o 6640   ≼ cdom 6974

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ral 2525  df-rex 2526  df-v 2815  df-sbc 3043  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-br 4110  df-opab 4172  df-id 4414  df-suc 4492  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fv 5360  df-1o 6647  df-dom 6977

This theorem is referenced by:  modom  7061