Theorem ffvelcdmd 5701

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ffvelcdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
ffvelcdmd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdmd	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ffvelcdmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdmd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
2		ffvelcdmd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
3	2	ffvelcdmda 5700	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
4	1, 3	mpdan 421	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2167  ⟶wf 5255  ‘cfv 5259

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-sbc 2990  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-opab 4096  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-fv 5267

This theorem is referenced by:  isotr  5866  caofinvl  6165  rdgon  6453  frecabcl  6466  phplem4dom  6932  fidceq  6939  dif1en  6949  fin0  6955  fin0or  6956  infm  6974  en2eqpr  6977  fidcenumlemrks  7028  fidcenumlemr  7030  supisoti  7085  ordiso2  7110  updjudhcoinlf  7155  updjudhcoinrg  7156  caseinl  7166  caseinr  7167  difinfsnlem  7174  difinfsn  7175  ctmlemr  7183  ctssdclemn0  7185  ctssdc  7188  enumctlemm  7189  enumct  7190  nnnninfeq2  7204  nninfisol  7208  enomnilem  7213  finomni  7215  ismkvnex  7230  enmkvlem  7236  enwomnilem  7244  nninfwlpoimlemg  7250  nninfwlpoimlemginf  7251  exmidfodomrlemr  7283  exmidfodomrlemrALT  7284  acnccim  7357  cauappcvgprlemm  7731  cauappcvgprlemdisj  7737  cauappcvgprlemloc  7738  cauappcvgprlemladdfu  7740  cauappcvgprlemladdru  7742  cauappcvgprlemladdrl  7743  cauappcvgprlem1  7745  cauappcvgprlem2  7746  caucvgprlemnkj  7752  caucvgprlemnbj  7753  caucvgprlemm  7754  caucvgprlemloc  7761  caucvgprlemladdfu  7763  caucvgprlemladdrl  7764  caucvgprlem1  7765  caucvgprlem2  7766  caucvgprprlemnkltj  7775  caucvgprprlemnkeqj  7776  caucvgprprlemnbj  7779  caucvgprprlemmu  7781  caucvgprprlemopl  7783  caucvgprprlemloc  7789  caucvgprprlemexbt  7792  caucvgprprlemexb  7793  caucvgprprlemaddq  7794  caucvgprprlem1  7795  caucvgprprlem2  7796  caucvgsrlemcau  7879  caucvgsrlemgt1  7881  caucvgsrlemoffcau  7884  caucvgsrlemoffres  7886  caucvgsr  7888  axcaucvglemval  7983  axcaucvglemcau  7984  axcaucvglemres  7985  fseq1p1m1  10188  4fvwrd4  10234  fvinim0ffz  10336  frecuzrdgg  10527  frecuzrdgsuctlem  10534  seq3val  10571  seqvalcd  10572  seq3p1  10576  seqp1cd  10581  ser3mono  10598  seq3split  10599  seq3caopr2  10604  iseqf1olemkle  10608  iseqf1olemklt  10609  iseqf1olemqcl  10610  iseqf1olemnab  10612  iseqf1olemmo  10616  iseqf1olemqk  10618  iseqf1olemjpcl  10619  iseqf1olemqpcl  10620  iseqf1olemfvp  10621  seq3f1olemqsumkj  10622  seq3f1olemqsumk  10623  seq3f1olemqsum  10624  seq3f1olemstep  10625  seq3f1oleml  10627  seq3f1o  10628  seqf1oglem2a  10629  seqf1oglem1  10630  seqf1oglem2  10631  seq3z  10639  seq3distr  10643  ser3ge0  10647  ser3le  10648  exp3vallem  10651  exp3val  10652  bcval5  10874  hashfz1  10894  resunimafz0  10942  leisorel  10948  zfz1isolemiso  10950  seq3coll  10953  caucvgrelemcau  11164  caucvgre  11165  cvg1nlemf  11167  cvg1nlemcau  11168  cvg1nlemres  11169  recvguniqlem  11178  resqrexlemdecn  11196  resqrexlemcalc3  11200  resqrexlemnmsq  11201  resqrexlemnm  11202  resqrexlemcvg  11203  resqrexlemoverl  11205  resqrexlemglsq  11206  resqrexlemga  11207  clim2ser  11521  clim2ser2  11522  climrecvg1n  11532  climcvg1nlem  11533  serf0  11536  sumeq2  11543  fsum3cvg  11562  summodclem2a  11565  fsum3  11571  fisumss  11576  fsumcl2lem  11582  fsumadd  11590  fsummulc2  11632  fsumrelem  11655  isumshft  11674  cvgratnnlemseq  11710  cvgratnnlemrate  11714  clim2prod  11723  clim2divap  11724  prodfrecap  11730  prodfdivap  11731  ntrivcvgap  11732  prodeq2  11741  fproddccvg  11756  prodmodclem3  11759  prodmodclem2a  11760  fprodseq  11767  fprodssdc  11774  fprodmul  11775  effsumlt  11876  nninfctlemfo  12234  nn0seqcvgd  12236  ialgrlem1st  12237  eulerthlemrprm  12424  eulerthlema  12425  eulerthlemh  12426  pcmpt2  12540  pcmptdvds  12541  1arithlem4  12562  1arith  12563  ennnfonelemdc  12643  ennnfonelemjn  12646  ennnfonelemg  12647  ennnfonelemp1  12650  ennnfonelemom  12652  ennnfonelemhdmp1  12653  ennnfonelemss  12654  ennnfonelemkh  12656  ennnfonelemhf1o  12657  ennnfonelemex  12658  ennnfonelemhom  12659  ennnfonelemnn0  12666  ennnfonelemim  12668  ctinfomlemom  12671  ctiunctlemudc  12681  ctiunctlemf  12682  ctiunctlemfo  12683  ssnnctlemct  12690  nninfdclemp1  12694  nninfdclemlt  12695  imasmnd2  13156  mhmf1o  13174  mhmco  13194  gsumfzcl  13203  isgrpinv  13258  pwssub  13317  imasgrp2  13318  mhmid  13323  mhmmnd  13324  ghmgrp  13326  mulgval  13330  mulgfng  13332  mulgnnsubcl  13342  ghmid  13457  ghminv  13458  ghmmulg  13464  ghmnsgpreima  13477  ghmeqker  13479  ghmf1  13481  kerf1ghm  13482  ghmf1o  13483  imasring  13698  rhmopp  13810  lspcl  14025  znidomb  14292  znrrg  14294  psrbaglesuppg  14306  psrbagfi  14307  mplsubgfilemcl  14333  iscnp4  14562  cnptopco  14566  lmtopcnp  14594  upxp  14616  uptx  14618  txlm  14623  comet  14843  metcnp3  14855  metcnp  14856  metcnp2  14857  metcnpi3  14861  elcncf2  14918  cncfco  14935  ivthreinc  14989  limcimolemlt  15008  cnplimcim  15011  cnplimclemle  15012  cnplimclemr  15013  limccnpcntop  15019  dvlemap  15024  dvcnp2cntop  15043  dvaddxxbr  15045  dvmulxxbr  15046  dvcoapbr  15051  dvcjbr  15052  dvef  15071  plyaddlem1  15091  plymullem1  15092  plycoeid3  15101  plycolemc  15102  plycjlemc  15104  plycj  15105  plycn  15106  plyrecj  15107  dvply1  15109  dvply2g  15110  lgsval  15353  lgscllem  15356  lgsval2lem  15359  lgsval4a  15371  lgsneg  15373  lgsdir  15384  lgsdilem2  15385  lgsdi  15386  lgsne0  15387  lgseisenlem3  15421  lgseisenlem4  15422  1dom1el  15745  2omap  15750  pwle2  15753  subctctexmid  15755  nnsf  15760  peano4nninf  15761  nninfalllem1  15763  nninfsellemdc  15765  nninfsellemeq  15769  nninfsellemqall  15770  nninfsellemeqinf  15771  nninfomnilem  15773  nnnninfex  15777  nninfnfiinf  15778  isomninnlem  15787  trilpolemeq1  15797  trilpolemlt1  15798  iswomninnlem  15806  iswomni0  15808  ismkvnnlem  15809  nconstwlpolemgt0  15821  nconstwlpolem  15822