Theorem ffvelcdmd 5654

Description: A function's value belongs to its codomain. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ffvelcdmd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
ffvelcdmd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
ffvelcdmd	⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem ffvelcdmd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ffvelcdmd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐴)
2		ffvelcdmd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
3	2	ffvelcdmda 5653	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)
4	1, 3	mpdan 421	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2148  ⟶wf 5214  ‘cfv 5218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-sbc 2965  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-fv 5226

This theorem is referenced by:  isotr  5819  caofinvl  6107  rdgon  6389  frecabcl  6402  phplem4dom  6864  fidceq  6871  dif1en  6881  fin0  6887  fin0or  6888  infm  6906  en2eqpr  6909  fidcenumlemrks  6954  fidcenumlemr  6956  supisoti  7011  ordiso2  7036  updjudhcoinlf  7081  updjudhcoinrg  7082  caseinl  7092  caseinr  7093  difinfsnlem  7100  difinfsn  7101  ctmlemr  7109  ctssdclemn0  7111  ctssdc  7114  enumctlemm  7115  enumct  7116  nnnninfeq2  7129  nninfisol  7133  enomnilem  7138  finomni  7140  ismkvnex  7155  enmkvlem  7161  enwomnilem  7169  nninfwlpoimlemg  7175  nninfwlpoimlemginf  7176  exmidfodomrlemr  7203  exmidfodomrlemrALT  7204  cauappcvgprlemm  7646  cauappcvgprlemdisj  7652  cauappcvgprlemloc  7653  cauappcvgprlemladdfu  7655  cauappcvgprlemladdru  7657  cauappcvgprlemladdrl  7658  cauappcvgprlem1  7660  cauappcvgprlem2  7661  caucvgprlemnkj  7667  caucvgprlemnbj  7668  caucvgprlemm  7669  caucvgprlemloc  7676  caucvgprlemladdfu  7678  caucvgprlemladdrl  7679  caucvgprlem1  7680  caucvgprlem2  7681  caucvgprprlemnkltj  7690  caucvgprprlemnkeqj  7691  caucvgprprlemnbj  7694  caucvgprprlemmu  7696  caucvgprprlemopl  7698  caucvgprprlemloc  7704  caucvgprprlemexbt  7707  caucvgprprlemexb  7708  caucvgprprlemaddq  7709  caucvgprprlem1  7710  caucvgprprlem2  7711  caucvgsrlemcau  7794  caucvgsrlemgt1  7796  caucvgsrlemoffcau  7799  caucvgsrlemoffres  7801  caucvgsr  7803  axcaucvglemval  7898  axcaucvglemcau  7899  axcaucvglemres  7900  fseq1p1m1  10096  4fvwrd4  10142  fvinim0ffz  10243  frecuzrdgg  10418  frecuzrdgsuctlem  10425  seq3val  10460  seqvalcd  10461  seq3p1  10464  seqp1cd  10468  ser3mono  10480  seq3split  10481  seq3caopr2  10484  iseqf1olemkle  10486  iseqf1olemklt  10487  iseqf1olemqcl  10488  iseqf1olemnab  10490  iseqf1olemmo  10494  iseqf1olemqk  10496  iseqf1olemjpcl  10497  iseqf1olemqpcl  10498  iseqf1olemfvp  10499  seq3f1olemqsumkj  10500  seq3f1olemqsumk  10501  seq3f1olemqsum  10502  seq3f1olemstep  10503  seq3f1oleml  10505  seq3f1o  10506  seq3z  10513  seq3distr  10515  ser3ge0  10519  ser3le  10520  exp3vallem  10523  exp3val  10524  bcval5  10745  hashfz1  10765  resunimafz0  10813  leisorel  10819  zfz1isolemiso  10821  seq3coll  10824  caucvgrelemcau  10991  caucvgre  10992  cvg1nlemf  10994  cvg1nlemcau  10995  cvg1nlemres  10996  recvguniqlem  11005  resqrexlemdecn  11023  resqrexlemcalc3  11027  resqrexlemnmsq  11028  resqrexlemnm  11029  resqrexlemcvg  11030  resqrexlemoverl  11032  resqrexlemglsq  11033  resqrexlemga  11034  clim2ser  11347  clim2ser2  11348  climrecvg1n  11358  climcvg1nlem  11359  serf0  11362  sumeq2  11369  fsum3cvg  11388  summodclem2a  11391  fsum3  11397  fisumss  11402  fsumcl2lem  11408  fsumadd  11416  fsummulc2  11458  fsumrelem  11481  isumshft  11500  cvgratnnlemseq  11536  cvgratnnlemrate  11540  clim2prod  11549  clim2divap  11550  prodfrecap  11556  prodfdivap  11557  ntrivcvgap  11558  prodeq2  11567  fproddccvg  11582  prodmodclem3  11585  prodmodclem2a  11586  fprodseq  11593  fprodssdc  11600  fprodmul  11601  effsumlt  11702  nn0seqcvgd  12043  ialgrlem1st  12044  eulerthlemrprm  12231  eulerthlema  12232  eulerthlemh  12233  pcmpt2  12344  pcmptdvds  12345  1arithlem4  12366  1arith  12367  ennnfonelemdc  12402  ennnfonelemjn  12405  ennnfonelemg  12406  ennnfonelemp1  12409  ennnfonelemom  12411  ennnfonelemhdmp1  12412  ennnfonelemss  12413  ennnfonelemkh  12415  ennnfonelemhf1o  12416  ennnfonelemex  12417  ennnfonelemhom  12418  ennnfonelemnn0  12425  ennnfonelemim  12427  ctinfomlemom  12430  ctiunctlemudc  12440  ctiunctlemf  12441  ctiunctlemfo  12442  ssnnctlemct  12449  nninfdclemp1  12453  nninfdclemlt  12454  mhmf1o  12866  mhmco  12879  isgrpinv  12931  mhmid  12984  mhmmnd  12985  ghmgrp  12987  mulgval  12991  mulgfng  12992  mulgnnsubcl  13000  lspcl  13483  iscnp4  13803  cnptopco  13807  lmtopcnp  13835  upxp  13857  uptx  13859  txlm  13864  comet  14084  metcnp3  14096  metcnp  14097  metcnp2  14098  metcnpi3  14102  elcncf2  14146  cncfco  14163  limcimolemlt  14218  cnplimcim  14221  cnplimclemle  14222  cnplimclemr  14223  limccnpcntop  14229  dvlemap  14234  dvcnp2cntop  14248  dvaddxxbr  14250  dvmulxxbr  14251  dvcoapbr  14256  dvcjbr  14257  dvef  14273  lgsval  14490  lgscllem  14493  lgsval2lem  14496  lgsval4a  14508  lgsneg  14510  lgsdir  14521  lgsdilem2  14522  lgsdi  14523  lgsne0  14524  pwle2  14833  subctctexmid  14835  nnsf  14839  peano4nninf  14840  nninfalllem1  14842  nninfsellemdc  14844  nninfsellemeq  14848  nninfsellemqall  14849  nninfsellemeqinf  14850  nninfomnilem  14852  isomninnlem  14863  trilpolemeq1  14873  trilpolemlt1  14874  iswomninnlem  14882  iswomni0  14884  ismkvnnlem  14885  nconstwlpolemgt0  14897  nconstwlpolem  14898