Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulclnq GIF version

Theorem mulclnq 7209
 Description: Closure of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
mulclnq ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) ∈ Q)

Proof of Theorem mulclnq
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7181 . . 3 Q = ((N × N) / ~Q )
2 oveq1 5789 . . . 4 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = (𝐴 ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
32eleq1d 2209 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ) ↔ (𝐴 ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q )))
4 oveq2 5790 . . . 4 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → (𝐴 ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = (𝐴 ·Q 𝐵))
54eleq1d 2209 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → ((𝐴 ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ) ↔ (𝐴 ·Q 𝐵) ∈ ((N × N) / ~Q )))
6 mulpipqqs 7206 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
7 mulclpi 7161 . . . . . . 7 ((𝑥N𝑧N) → (𝑥 ·N 𝑧) ∈ N)
8 mulclpi 7161 . . . . . . 7 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
97, 8anim12i 336 . . . . . 6 (((𝑥N𝑧N) ∧ (𝑦N𝑤N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
109an4s 578 . . . . 5 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
11 opelxpi 4579 . . . . 5 (((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) → ⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩ ∈ (N × N))
12 enqex 7193 . . . . . 6 ~Q ∈ V
1312ecelqsi 6491 . . . . 5 (⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
1410, 11, 133syl 17 . . . 4 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
156, 14eqeltrd 2217 . . 3 (((𝑥N𝑦N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ))
161, 3, 5, 152ecoptocl 6525 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) ∈ ((N × N) / ~Q ))
1716, 1eleqtrrdi 2234 1 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) ∈ Q)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ⟨cop 3535   × cxp 4545  (class class class)co 5782  [cec 6435   / cqs 6436  Ncnpi 7105   ·N cmi 7107   ~Q ceq 7112  Qcnq 7113   ·Q cmq 7116 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-nul 4062  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363  ax-setind 4460  ax-iinf 4510 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-dif 3078  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-nul 3369  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-int 3780  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-tr 4035  df-id 4223  df-iord 4296  df-on 4298  df-suc 4301  df-iom 4513  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-ov 5785  df-oprab 5786  df-mpo 5787  df-1st 6046  df-2nd 6047  df-recs 6210  df-irdg 6275  df-oadd 6325  df-omul 6326  df-er 6437  df-ec 6439  df-qs 6443  df-ni 7137  df-mi 7139  df-mpq 7178  df-enq 7180  df-nqqs 7181  df-mqqs 7183 This theorem is referenced by:  halfnqq  7243  prarloclemarch  7251  prarloclemarch2  7252  ltrnqg  7253  prarloclemlt  7326  prarloclemlo  7327  prarloclemcalc  7335  addnqprllem  7360  addnqprulem  7361  addnqprl  7362  addnqpru  7363  mpvlu  7372  dmmp  7374  appdivnq  7396  prmuloclemcalc  7398  prmuloc  7399  mulnqprl  7401  mulnqpru  7402  mullocprlem  7403  mullocpr  7404  mulclpr  7405  mulnqprlemrl  7406  mulnqprlemru  7407  mulnqprlemfl  7408  mulnqprlemfu  7409  mulnqpr  7410  mulassprg  7414  distrlem1prl  7415  distrlem1pru  7416  distrlem4prl  7417  distrlem4pru  7418  distrlem5prl  7419  distrlem5pru  7420  1idprl  7423  1idpru  7424  recexprlem1ssl  7466  recexprlem1ssu  7467  recexprlemss1l  7468  recexprlemss1u  7469
 Copyright terms: Public domain W3C validator