Theorem mulclnq 7696

Description: Closure of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulclnq	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) ∈ Q)

Proof of Theorem mulclnq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7668	. . 3 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		oveq1 6059	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = (𝐴 ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
3	2	eleq1d 2303	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ) ↔ (𝐴 ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q )))
4		oveq2 6060	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → (𝐴 ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = (𝐴 ·Q 𝐵))
5	4	eleq1d 2303	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → ((𝐴 ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ) ↔ (𝐴 ·Q 𝐵) ∈ ((N × N) / ~Q )))
6		mulpipqqs 7693	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
7		mulclpi 7648	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑧) ∈ N)
8		mulclpi 7648	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
9	7, 8	anim12i 338	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
10	9	an4s 592	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
11		opelxpi 4783	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) → ⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩ ∈ (N × N))
12		enqex 7680	. . . . . 6 ⊢ ~Q ∈ V
13	12	ecelqsi 6825	. . . . 5 ⊢ (⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
14	10, 11, 13	3syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
15	6, 14	eqeltrd 2311	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ))
16	1, 3, 5, 15	2ecoptocl 6859	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) ∈ ((N × N) / ~Q ))
17	16, 1	eleqtrrdi 2328	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ⟨cop 3694   × cxp 4749  (class class class)co 6052  [cec 6767   / cqs 6768  Ncnpi 7592   ·_N cmi 7594   ~_Q ceq 7599  Qcnq 7600   ·_Q cmq 7603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-oadd 6653  df-omul 6654  df-er 6769  df-ec 6771  df-qs 6775  df-ni 7624  df-mi 7626  df-mpq 7665  df-enq 7667  df-nqqs 7668  df-mqqs 7670

This theorem is referenced by:  halfnqq  7730  prarloclemarch  7738  prarloclemarch2  7739  ltrnqg  7740  prarloclemlt  7813  prarloclemlo  7814  prarloclemcalc  7822  addnqprllem  7847  addnqprulem  7848  addnqprl  7849  addnqpru  7850  mpvlu  7859  dmmp  7861  appdivnq  7883  prmuloclemcalc  7885  prmuloc  7886  mulnqprl  7888  mulnqpru  7889  mullocprlem  7890  mullocpr  7891  mulclpr  7892  mulnqprlemrl  7893  mulnqprlemru  7894  mulnqprlemfl  7895  mulnqprlemfu  7896  mulnqpr  7897  mulassprg  7901  distrlem1prl  7902  distrlem1pru  7903  distrlem4prl  7904  distrlem4pru  7905  distrlem5prl  7906  distrlem5pru  7907  1idprl  7910  1idpru  7911  recexprlem1ssl  7953  recexprlem1ssu  7954  recexprlemss1l  7955  recexprlemss1u  7956