Theorem mulclnq 7584

Description: Closure of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulclnq	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) ∈ Q)

Proof of Theorem mulclnq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7556	. . 3 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		oveq1 6018	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = (𝐴 ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
3	2	eleq1d 2298	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ) ↔ (𝐴 ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q )))
4		oveq2 6019	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → (𝐴 ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = (𝐴 ·Q 𝐵))
5	4	eleq1d 2298	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → ((𝐴 ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ) ↔ (𝐴 ·Q 𝐵) ∈ ((N × N) / ~Q )))
6		mulpipqqs 7581	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
7		mulclpi 7536	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑧) ∈ N)
8		mulclpi 7536	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
9	7, 8	anim12i 338	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
10	9	an4s 590	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
11		opelxpi 4753	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) → ⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩ ∈ (N × N))
12		enqex 7568	. . . . . 6 ⊢ ~Q ∈ V
13	12	ecelqsi 6751	. . . . 5 ⊢ (⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
14	10, 11, 13	3syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
15	6, 14	eqeltrd 2306	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ))
16	1, 3, 5, 15	2ecoptocl 6785	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) ∈ ((N × N) / ~Q ))
17	16, 1	eleqtrrdi 2323	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ⟨cop 3670   × cxp 4719  (class class class)co 6011  [cec 6693   / cqs 6694  Ncnpi 7480   ·_N cmi 7482   ~_Q ceq 7487  Qcnq 7488   ·_Q cmq 7491

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4200  ax-sep 4203  ax-nul 4211  ax-pow 4260  ax-pr 4295  ax-un 4526  ax-setind 4631  ax-iinf 4682

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3890  df-int 3925  df-iun 3968  df-br 4085  df-opab 4147  df-mpt 4148  df-tr 4184  df-id 4386  df-iord 4459  df-on 4461  df-suc 4464  df-iom 4685  df-xp 4727  df-rel 4728  df-cnv 4729  df-co 4730  df-dm 4731  df-rn 4732  df-res 4733  df-ima 4734  df-iota 5282  df-fun 5324  df-fn 5325  df-f 5326  df-f1 5327  df-fo 5328  df-f1o 5329  df-fv 5330  df-ov 6014  df-oprab 6015  df-mpo 6016  df-1st 6296  df-2nd 6297  df-recs 6464  df-irdg 6529  df-oadd 6579  df-omul 6580  df-er 6695  df-ec 6697  df-qs 6701  df-ni 7512  df-mi 7514  df-mpq 7553  df-enq 7555  df-nqqs 7556  df-mqqs 7558

This theorem is referenced by:  halfnqq  7618  prarloclemarch  7626  prarloclemarch2  7627  ltrnqg  7628  prarloclemlt  7701  prarloclemlo  7702  prarloclemcalc  7710  addnqprllem  7735  addnqprulem  7736  addnqprl  7737  addnqpru  7738  mpvlu  7747  dmmp  7749  appdivnq  7771  prmuloclemcalc  7773  prmuloc  7774  mulnqprl  7776  mulnqpru  7777  mullocprlem  7778  mullocpr  7779  mulclpr  7780  mulnqprlemrl  7781  mulnqprlemru  7782  mulnqprlemfl  7783  mulnqprlemfu  7784  mulnqpr  7785  mulassprg  7789  distrlem1prl  7790  distrlem1pru  7791  distrlem4prl  7792  distrlem4pru  7793  distrlem5prl  7794  distrlem5pru  7795  1idprl  7798  1idpru  7799  recexprlem1ssl  7841  recexprlem1ssu  7842  recexprlemss1l  7843  recexprlemss1u  7844