![]() |
Intuitionistic Logic Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > ILE Home > Th. List > mulclnq | GIF version |
Description: Closure of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.) |
Ref | Expression |
---|---|
mulclnq | โข ((๐ด โ Q โง ๐ต โ Q) โ (๐ด ยทQ ๐ต) โ Q) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | df-nqqs 7347 | . . 3 โข Q = ((N ร N) / ~Q ) | |
2 | oveq1 5882 | . . . 4 โข ([โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ] ~Q = ๐ด โ ([โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ] ~Q ยทQ [โจ๐ง, ๐คโฉ] ~Q ) = (๐ด ยทQ [โจ๐ง, ๐คโฉ] ~Q )) | |
3 | 2 | eleq1d 2246 | . . 3 โข ([โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ] ~Q = ๐ด โ (([โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ] ~Q ยทQ [โจ๐ง, ๐คโฉ] ~Q ) โ ((N ร N) / ~Q ) โ (๐ด ยทQ [โจ๐ง, ๐คโฉ] ~Q ) โ ((N ร N) / ~Q ))) |
4 | oveq2 5883 | . . . 4 โข ([โจ๐ง, ๐คโฉ] ~Q = ๐ต โ (๐ด ยทQ [โจ๐ง, ๐คโฉ] ~Q ) = (๐ด ยทQ ๐ต)) | |
5 | 4 | eleq1d 2246 | . . 3 โข ([โจ๐ง, ๐คโฉ] ~Q = ๐ต โ ((๐ด ยทQ [โจ๐ง, ๐คโฉ] ~Q ) โ ((N ร N) / ~Q ) โ (๐ด ยทQ ๐ต) โ ((N ร N) / ~Q ))) |
6 | mulpipqqs 7372 | . . . 4 โข (((๐ฅ โ N โง ๐ฆ โ N) โง (๐ง โ N โง ๐ค โ N)) โ ([โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ] ~Q ยทQ [โจ๐ง, ๐คโฉ] ~Q ) = [โจ(๐ฅ ยทN ๐ง), (๐ฆ ยทN ๐ค)โฉ] ~Q ) | |
7 | mulclpi 7327 | . . . . . . 7 โข ((๐ฅ โ N โง ๐ง โ N) โ (๐ฅ ยทN ๐ง) โ N) | |
8 | mulclpi 7327 | . . . . . . 7 โข ((๐ฆ โ N โง ๐ค โ N) โ (๐ฆ ยทN ๐ค) โ N) | |
9 | 7, 8 | anim12i 338 | . . . . . 6 โข (((๐ฅ โ N โง ๐ง โ N) โง (๐ฆ โ N โง ๐ค โ N)) โ ((๐ฅ ยทN ๐ง) โ N โง (๐ฆ ยทN ๐ค) โ N)) |
10 | 9 | an4s 588 | . . . . 5 โข (((๐ฅ โ N โง ๐ฆ โ N) โง (๐ง โ N โง ๐ค โ N)) โ ((๐ฅ ยทN ๐ง) โ N โง (๐ฆ ยทN ๐ค) โ N)) |
11 | opelxpi 4659 | . . . . 5 โข (((๐ฅ ยทN ๐ง) โ N โง (๐ฆ ยทN ๐ค) โ N) โ โจ(๐ฅ ยทN ๐ง), (๐ฆ ยทN ๐ค)โฉ โ (N ร N)) | |
12 | enqex 7359 | . . . . . 6 โข ~Q โ V | |
13 | 12 | ecelqsi 6589 | . . . . 5 โข (โจ(๐ฅ ยทN ๐ง), (๐ฆ ยทN ๐ค)โฉ โ (N ร N) โ [โจ(๐ฅ ยทN ๐ง), (๐ฆ ยทN ๐ค)โฉ] ~Q โ ((N ร N) / ~Q )) |
14 | 10, 11, 13 | 3syl 17 | . . . 4 โข (((๐ฅ โ N โง ๐ฆ โ N) โง (๐ง โ N โง ๐ค โ N)) โ [โจ(๐ฅ ยทN ๐ง), (๐ฆ ยทN ๐ค)โฉ] ~Q โ ((N ร N) / ~Q )) |
15 | 6, 14 | eqeltrd 2254 | . . 3 โข (((๐ฅ โ N โง ๐ฆ โ N) โง (๐ง โ N โง ๐ค โ N)) โ ([โจ๐ฅ, ๐ฆโฉ] ~Q ยทQ [โจ๐ง, ๐คโฉ] ~Q ) โ ((N ร N) / ~Q )) |
16 | 1, 3, 5, 15 | 2ecoptocl 6623 | . 2 โข ((๐ด โ Q โง ๐ต โ Q) โ (๐ด ยทQ ๐ต) โ ((N ร N) / ~Q )) |
17 | 16, 1 | eleqtrrdi 2271 | 1 โข ((๐ด โ Q โง ๐ต โ Q) โ (๐ด ยทQ ๐ต) โ Q) |
Colors of variables: wff set class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 104 = wceq 1353 โ wcel 2148 โจcop 3596 ร cxp 4625 (class class class)co 5875 [cec 6533 / cqs 6534 Ncnpi 7271 ยทN cmi 7273 ~Q ceq 7278 Qcnq 7279 ยทQ cmq 7282 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-ia1 106 ax-ia2 107 ax-ia3 108 ax-in1 614 ax-in2 615 ax-io 709 ax-5 1447 ax-7 1448 ax-gen 1449 ax-ie1 1493 ax-ie2 1494 ax-8 1504 ax-10 1505 ax-11 1506 ax-i12 1507 ax-bndl 1509 ax-4 1510 ax-17 1526 ax-i9 1530 ax-ial 1534 ax-i5r 1535 ax-13 2150 ax-14 2151 ax-ext 2159 ax-coll 4119 ax-sep 4122 ax-nul 4130 ax-pow 4175 ax-pr 4210 ax-un 4434 ax-setind 4537 ax-iinf 4588 |
This theorem depends on definitions: df-bi 117 df-dc 835 df-3or 979 df-3an 980 df-tru 1356 df-fal 1359 df-nf 1461 df-sb 1763 df-eu 2029 df-mo 2030 df-clab 2164 df-cleq 2170 df-clel 2173 df-nfc 2308 df-ne 2348 df-ral 2460 df-rex 2461 df-reu 2462 df-rab 2464 df-v 2740 df-sbc 2964 df-csb 3059 df-dif 3132 df-un 3134 df-in 3136 df-ss 3143 df-nul 3424 df-pw 3578 df-sn 3599 df-pr 3600 df-op 3602 df-uni 3811 df-int 3846 df-iun 3889 df-br 4005 df-opab 4066 df-mpt 4067 df-tr 4103 df-id 4294 df-iord 4367 df-on 4369 df-suc 4372 df-iom 4591 df-xp 4633 df-rel 4634 df-cnv 4635 df-co 4636 df-dm 4637 df-rn 4638 df-res 4639 df-ima 4640 df-iota 5179 df-fun 5219 df-fn 5220 df-f 5221 df-f1 5222 df-fo 5223 df-f1o 5224 df-fv 5225 df-ov 5878 df-oprab 5879 df-mpo 5880 df-1st 6141 df-2nd 6142 df-recs 6306 df-irdg 6371 df-oadd 6421 df-omul 6422 df-er 6535 df-ec 6537 df-qs 6541 df-ni 7303 df-mi 7305 df-mpq 7344 df-enq 7346 df-nqqs 7347 df-mqqs 7349 |
This theorem is referenced by: halfnqq 7409 prarloclemarch 7417 prarloclemarch2 7418 ltrnqg 7419 prarloclemlt 7492 prarloclemlo 7493 prarloclemcalc 7501 addnqprllem 7526 addnqprulem 7527 addnqprl 7528 addnqpru 7529 mpvlu 7538 dmmp 7540 appdivnq 7562 prmuloclemcalc 7564 prmuloc 7565 mulnqprl 7567 mulnqpru 7568 mullocprlem 7569 mullocpr 7570 mulclpr 7571 mulnqprlemrl 7572 mulnqprlemru 7573 mulnqprlemfl 7574 mulnqprlemfu 7575 mulnqpr 7576 mulassprg 7580 distrlem1prl 7581 distrlem1pru 7582 distrlem4prl 7583 distrlem4pru 7584 distrlem5prl 7585 distrlem5pru 7586 1idprl 7589 1idpru 7590 recexprlem1ssl 7632 recexprlem1ssu 7633 recexprlemss1l 7634 recexprlemss1u 7635 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |