Theorem mulclnq 7496

Description: Closure of multiplication on positive fractions. (Contributed by NM, 29-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
mulclnq	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) ∈ Q)

Proof of Theorem mulclnq

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7468	. . 3 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		oveq1 5958	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = (𝐴 ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
3	2	eleq1d 2275	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ) ↔ (𝐴 ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q )))
4		oveq2 5959	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → (𝐴 ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = (𝐴 ·Q 𝐵))
5	4	eleq1d 2275	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐵 → ((𝐴 ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ) ↔ (𝐴 ·Q 𝐵) ∈ ((N × N) / ~Q )))
6		mulpipqqs 7493	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) = [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q )
7		mulclpi 7448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) → (𝑥 ·N 𝑧) ∈ N)
8		mulclpi 7448	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
9	7, 8	anim12i 338	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑧 ∈ N) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
10	9	an4s 588	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N))
11		opelxpi 4711	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·N 𝑧) ∈ N ∧ (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N) → ⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩ ∈ (N × N))
12		enqex 7480	. . . . . 6 ⊢ ~Q ∈ V
13	12	ecelqsi 6683	. . . . 5 ⊢ (⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩ ∈ (N × N) → [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
14	10, 11, 13	3syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → [⟨(𝑥 ·N 𝑧), (𝑦 ·N 𝑤)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
15	6, 14	eqeltrd 2283	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ N ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q ·Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ∈ ((N × N) / ~Q ))
16	1, 3, 5, 15	2ecoptocl 6717	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) ∈ ((N × N) / ~Q ))
17	16, 1	eleqtrrdi 2300	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 ·Q 𝐵) ∈ Q)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  ⟨cop 3637   × cxp 4677  (class class class)co 5951  [cec 6625   / cqs 6626  Ncnpi 7392   ·_N cmi 7394   ~_Q ceq 7399  Qcnq 7400   ·_Q cmq 7403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-nul 4174  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-iinf 4640

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-nul 3462  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-tr 4147  df-id 4344  df-iord 4417  df-on 4419  df-suc 4422  df-iom 4643  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-1st 6233  df-2nd 6234  df-recs 6398  df-irdg 6463  df-oadd 6513  df-omul 6514  df-er 6627  df-ec 6629  df-qs 6633  df-ni 7424  df-mi 7426  df-mpq 7465  df-enq 7467  df-nqqs 7468  df-mqqs 7470

This theorem is referenced by:  halfnqq  7530  prarloclemarch  7538  prarloclemarch2  7539  ltrnqg  7540  prarloclemlt  7613  prarloclemlo  7614  prarloclemcalc  7622  addnqprllem  7647  addnqprulem  7648  addnqprl  7649  addnqpru  7650  mpvlu  7659  dmmp  7661  appdivnq  7683  prmuloclemcalc  7685  prmuloc  7686  mulnqprl  7688  mulnqpru  7689  mullocprlem  7690  mullocpr  7691  mulclpr  7692  mulnqprlemrl  7693  mulnqprlemru  7694  mulnqprlemfl  7695  mulnqprlemfu  7696  mulnqpr  7697  mulassprg  7701  distrlem1prl  7702  distrlem1pru  7703  distrlem4prl  7704  distrlem4pru  7705  distrlem5prl  7706  distrlem5pru  7707  1idprl  7710  1idpru  7711  recexprlem1ssl  7753  recexprlem1ssu  7754  recexprlemss1l  7755  recexprlemss1u  7756