Theorem mulcomnq0 7780

Description: Multiplication of nonnegative fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcomnq0	⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐵) = (𝐵 ·Q0 𝐴))

Proof of Theorem mulcomnq0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 7745	. 2 ⊢ Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
2		oveq1 6059	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
3		oveq2 6060	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴))
4	2, 3	eqeq12d 2249	. 2 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ) ↔ (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴)))
5		oveq2 6060	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 ·Q0 𝐵))
6		oveq1 6059	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐵 ·Q0 𝐴))
7	5, 6	eqeq12d 2249	. 2 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) ↔ (𝐴 ·Q0 𝐵) = (𝐵 ·Q0 𝐴)))
8		nnmcom 6724	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑧) = (𝑧 ·o 𝑥))
9	8	ad2ant2r 509	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑥 ·o 𝑧) = (𝑧 ·o 𝑥))
10		pinn 7629	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ N → 𝑦 ∈ ω)
11		pinn 7629	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ N → 𝑤 ∈ ω)
12		nnmcom 6724	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝑦 ·o 𝑤) = (𝑤 ·o 𝑦))
13	10, 11, 12	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·o 𝑤) = (𝑤 ·o 𝑦))
14	13	ad2ant2l 508	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑦 ·o 𝑤) = (𝑤 ·o 𝑦))
15		opeq12 3887	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·o 𝑧) = (𝑧 ·o 𝑥) ∧ (𝑦 ·o 𝑤) = (𝑤 ·o 𝑦)) → ⟨(𝑥 ·o 𝑧), (𝑦 ·o 𝑤)⟩ = ⟨(𝑧 ·o 𝑥), (𝑤 ·o 𝑦)⟩)
16	15	eceq1d 6805	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ·o 𝑧) = (𝑧 ·o 𝑥) ∧ (𝑦 ·o 𝑤) = (𝑤 ·o 𝑦)) → [⟨(𝑥 ·o 𝑧), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 = [⟨(𝑧 ·o 𝑥), (𝑤 ·o 𝑦)⟩] ~Q0 )
17	9, 14, 16	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → [⟨(𝑥 ·o 𝑧), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 = [⟨(𝑧 ·o 𝑥), (𝑤 ·o 𝑦)⟩] ~Q0 )
18		mulnnnq0 7770	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑥 ·o 𝑧), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
19		mulnnnq0 7770	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑧 ·o 𝑥), (𝑤 ·o 𝑦)⟩] ~Q0 )
20	19	ancoms 268	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑧 ·o 𝑥), (𝑤 ·o 𝑦)⟩] ~Q0 )
21	17, 18, 20	3eqtr4d 2277	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ))
22	1, 4, 7, 21	2ecoptocl 6859	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐵) = (𝐵 ·Q0 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  ⟨cop 3694  ωcom 4714  (class class class)co 6052   ·_o comu 6647  [cec 6767  Ncnpi 7592   ~_Q0 ceq0 7606  Q₀cnq0 7607   ·_Q0 cmq0 7610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-nul 4238  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-iinf 4712

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-tr 4211  df-id 4416  df-iord 4489  df-on 4491  df-suc 4494  df-iom 4715  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-1st 6336  df-2nd 6337  df-recs 6538  df-irdg 6603  df-oadd 6653  df-omul 6654  df-er 6769  df-ec 6771  df-qs 6775  df-ni 7624  df-mi 7626  df-enq0 7744  df-nq0 7745  df-mq0 7748

This theorem is referenced by:  distnq0r  7783