ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcomnq0 GIF version

Theorem mulcomnq0 7459
Description: Multiplication of nonnegative fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcomnq0 ((๐ด โˆˆ Q0 โˆง ๐ต โˆˆ Q0) โ†’ (๐ด ยทQ0 ๐ต) = (๐ต ยทQ0 ๐ด))

Proof of Theorem mulcomnq0
Dummy variables ๐‘ฅ ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 7424 . 2 Q0 = ((ฯ‰ ร— N) / ~Q0 )
2 oveq1 5882 . . 3 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = (๐ด ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ))
3 oveq2 5883 . . 3 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 ) = ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐ด))
42, 3eqeq12d 2192 . 2 ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 = ๐ด โ†’ (([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 ) โ†” (๐ด ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐ด)))
5 oveq2 5883 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 = ๐ต โ†’ (๐ด ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = (๐ด ยทQ0 ๐ต))
6 oveq1 5882 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 = ๐ต โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐ด) = (๐ต ยทQ0 ๐ด))
75, 6eqeq12d 2192 . 2 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 = ๐ต โ†’ ((๐ด ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 ๐ด) โ†” (๐ด ยทQ0 ๐ต) = (๐ต ยทQ0 ๐ด)))
8 nnmcom 6490 . . . . 5 ((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ง โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ง) = (๐‘ง ยทo ๐‘ฅ))
98ad2ant2r 509 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฅ ยทo ๐‘ง) = (๐‘ง ยทo ๐‘ฅ))
10 pinn 7308 . . . . . 6 (๐‘ฆ โˆˆ N โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰)
11 pinn 7308 . . . . . 6 (๐‘ค โˆˆ N โ†’ ๐‘ค โˆˆ ฯ‰)
12 nnmcom 6490 . . . . . 6 ((๐‘ฆ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ ฯ‰) โ†’ (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฆ))
1310, 11, 12syl2an 289 . . . . 5 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฆ))
1413ad2ant2l 508 . . . 4 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฆ))
15 opeq12 3781 . . . . 5 (((๐‘ฅ ยทo ๐‘ง) = (๐‘ง ยทo ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฆ)) โ†’ โŸจ(๐‘ฅ ยทo ๐‘ง), (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค)โŸฉ = โŸจ(๐‘ง ยทo ๐‘ฅ), (๐‘ค ยทo ๐‘ฆ)โŸฉ)
1615eceq1d 6571 . . . 4 (((๐‘ฅ ยทo ๐‘ง) = (๐‘ง ยทo ๐‘ฅ) โˆง (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค) = (๐‘ค ยทo ๐‘ฆ)) โ†’ [โŸจ(๐‘ฅ ยทo ๐‘ง), (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค)โŸฉ] ~Q0 = [โŸจ(๐‘ง ยทo ๐‘ฅ), (๐‘ค ยทo ๐‘ฆ)โŸฉ] ~Q0 )
179, 14, 16syl2anc 411 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ [โŸจ(๐‘ฅ ยทo ๐‘ง), (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค)โŸฉ] ~Q0 = [โŸจ(๐‘ง ยทo ๐‘ฅ), (๐‘ค ยทo ๐‘ฆ)โŸฉ] ~Q0 )
18 mulnnnq0 7449 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = [โŸจ(๐‘ฅ ยทo ๐‘ง), (๐‘ฆ ยทo ๐‘ค)โŸฉ] ~Q0 )
19 mulnnnq0 7449 . . . 4 (((๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 ) = [โŸจ(๐‘ง ยทo ๐‘ฅ), (๐‘ค ยทo ๐‘ฆ)โŸฉ] ~Q0 )
2019ancoms 268 . . 3 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 ) = [โŸจ(๐‘ง ยทo ๐‘ฅ), (๐‘ค ยทo ๐‘ฆ)โŸฉ] ~Q0 )
2117, 18, 203eqtr4d 2220 . 2 (((๐‘ฅ โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ฆ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ ฯ‰ โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ) = ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q0 ยทQ0 [โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ] ~Q0 ))
221, 4, 7, 212ecoptocl 6623 1 ((๐ด โˆˆ Q0 โˆง ๐ต โˆˆ Q0) โ†’ (๐ด ยทQ0 ๐ต) = (๐ต ยทQ0 ๐ด))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โŸจcop 3596  ฯ‰com 4590  (class class class)co 5875   ยทo comu 6415  [cec 6533  Ncnpi 7271   ~Q0 ceq0 7285  Q0cnq0 7286   ยทQ0 cmq0 7289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-mi 7305  df-enq0 7423  df-nq0 7424  df-mq0 7427
This theorem is referenced by:  distnq0r  7462
  Copyright terms: Public domain W3C validator