Theorem mulcomnq0 7490

Description: Multiplication of nonnegative fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mulcomnq0	⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐵) = (𝐵 ·Q0 𝐴))

Proof of Theorem mulcomnq0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 7455	. 2 ⊢ Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
2		oveq1 5904	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
3		oveq2 5905	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴))
4	2, 3	eqeq12d 2204	. 2 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ) ↔ (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴)))
5		oveq2 5905	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 ·Q0 𝐵))
6		oveq1 5904	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐵 ·Q0 𝐴))
7	5, 6	eqeq12d 2204	. 2 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) ↔ (𝐴 ·Q0 𝐵) = (𝐵 ·Q0 𝐴)))
8		nnmcom 6515	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑧) = (𝑧 ·o 𝑥))
9	8	ad2ant2r 509	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑥 ·o 𝑧) = (𝑧 ·o 𝑥))
10		pinn 7339	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ N → 𝑦 ∈ ω)
11		pinn 7339	. . . . . 6 ⊢ (𝑤 ∈ N → 𝑤 ∈ ω)
12		nnmcom 6515	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝑦 ·o 𝑤) = (𝑤 ·o 𝑦))
13	10, 11, 12	syl2an 289	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·o 𝑤) = (𝑤 ·o 𝑦))
14	13	ad2ant2l 508	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → (𝑦 ·o 𝑤) = (𝑤 ·o 𝑦))
15		opeq12 3795	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ·o 𝑧) = (𝑧 ·o 𝑥) ∧ (𝑦 ·o 𝑤) = (𝑤 ·o 𝑦)) → ⟨(𝑥 ·o 𝑧), (𝑦 ·o 𝑤)⟩ = ⟨(𝑧 ·o 𝑥), (𝑤 ·o 𝑦)⟩)
16	15	eceq1d 6596	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ·o 𝑧) = (𝑧 ·o 𝑥) ∧ (𝑦 ·o 𝑤) = (𝑤 ·o 𝑦)) → [⟨(𝑥 ·o 𝑧), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 = [⟨(𝑧 ·o 𝑥), (𝑤 ·o 𝑦)⟩] ~Q0 )
17	9, 14, 16	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → [⟨(𝑥 ·o 𝑧), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 = [⟨(𝑧 ·o 𝑥), (𝑤 ·o 𝑦)⟩] ~Q0 )
18		mulnnnq0 7480	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑥 ·o 𝑧), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
19		mulnnnq0 7480	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑧 ·o 𝑥), (𝑤 ·o 𝑦)⟩] ~Q0 )
20	19	ancoms 268	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑧 ·o 𝑥), (𝑤 ·o 𝑦)⟩] ~Q0 )
21	17, 18, 20	3eqtr4d 2232	. 2 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ))
22	1, 4, 7, 21	2ecoptocl 6650	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐵) = (𝐵 ·Q0 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  ⟨cop 3610  ωcom 4607  (class class class)co 5897   ·_o comu 6440  [cec 6558  Ncnpi 7302   ~_Q0 ceq0 7316  Q₀cnq0 7317   ·_Q0 cmq0 7320

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4192  ax-pr 4227  ax-un 4451  ax-setind 4554  ax-iinf 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4311  df-iord 4384  df-on 4386  df-suc 4389  df-iom 4608  df-xp 4650  df-rel 4651  df-cnv 4652  df-co 4653  df-dm 4654  df-rn 4655  df-res 4656  df-ima 4657  df-iota 5196  df-fun 5237  df-fn 5238  df-f 5239  df-f1 5240  df-fo 5241  df-f1o 5242  df-fv 5243  df-ov 5900  df-oprab 5901  df-mpo 5902  df-1st 6166  df-2nd 6167  df-recs 6331  df-irdg 6396  df-oadd 6446  df-omul 6447  df-er 6560  df-ec 6562  df-qs 6566  df-ni 7334  df-mi 7336  df-enq0 7454  df-nq0 7455  df-mq0 7458

This theorem is referenced by:  distnq0r  7493