ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulcomnq0 GIF version

Theorem mulcomnq0 6922
Description: Multiplication of non-negative fractions is commutative. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
mulcomnq0 ((𝐴Q0𝐵Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐵) = (𝐵 ·Q0 𝐴))

Proof of Theorem mulcomnq0
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 6887 . 2 Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
2 oveq1 5598 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
3 oveq2 5599 . . 3 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴))
42, 3eqeq12d 2097 . 2 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ) ↔ (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴)))
5 oveq2 5599 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 ·Q0 𝐵))
6 oveq1 5598 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) = (𝐵 ·Q0 𝐴))
75, 6eqeq12d 2097 . 2 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 𝐴) ↔ (𝐴 ·Q0 𝐵) = (𝐵 ·Q0 𝐴)))
8 nnmcom 6182 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑥 ·𝑜 𝑧) = (𝑧 ·𝑜 𝑥))
98ad2ant2r 493 . . . 4 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → (𝑥 ·𝑜 𝑧) = (𝑧 ·𝑜 𝑥))
10 pinn 6771 . . . . . 6 (𝑦N𝑦 ∈ ω)
11 pinn 6771 . . . . . 6 (𝑤N𝑤 ∈ ω)
12 nnmcom 6182 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω) → (𝑦 ·𝑜 𝑤) = (𝑤 ·𝑜 𝑦))
1310, 11, 12syl2an 283 . . . . 5 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·𝑜 𝑤) = (𝑤 ·𝑜 𝑦))
1413ad2ant2l 492 . . . 4 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → (𝑦 ·𝑜 𝑤) = (𝑤 ·𝑜 𝑦))
15 opeq12 3598 . . . . 5 (((𝑥 ·𝑜 𝑧) = (𝑧 ·𝑜 𝑥) ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑤) = (𝑤 ·𝑜 𝑦)) → ⟨(𝑥 ·𝑜 𝑧), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩ = ⟨(𝑧 ·𝑜 𝑥), (𝑤 ·𝑜 𝑦)⟩)
1615eceq1d 6258 . . . 4 (((𝑥 ·𝑜 𝑧) = (𝑧 ·𝑜 𝑥) ∧ (𝑦 ·𝑜 𝑤) = (𝑤 ·𝑜 𝑦)) → [⟨(𝑥 ·𝑜 𝑧), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 = [⟨(𝑧 ·𝑜 𝑥), (𝑤 ·𝑜 𝑦)⟩] ~Q0 )
179, 14, 16syl2anc 403 . . 3 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → [⟨(𝑥 ·𝑜 𝑧), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 = [⟨(𝑧 ·𝑜 𝑥), (𝑤 ·𝑜 𝑦)⟩] ~Q0 )
18 mulnnnq0 6912 . . 3 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑥 ·𝑜 𝑧), (𝑦 ·𝑜 𝑤)⟩] ~Q0 )
19 mulnnnq0 6912 . . . 4 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑧 ·𝑜 𝑥), (𝑤 ·𝑜 𝑦)⟩] ~Q0 )
2019ancoms 264 . . 3 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑧 ·𝑜 𝑥), (𝑤 ·𝑜 𝑦)⟩] ~Q0 )
2117, 18, 203eqtr4d 2125 . 2 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ))
221, 4, 7, 212ecoptocl 6310 1 ((𝐴Q0𝐵Q0) → (𝐴 ·Q0 𝐵) = (𝐵 ·Q0 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1285  wcel 1434  cop 3425  ωcom 4368  (class class class)co 5591   ·𝑜 comu 6111  [cec 6220  Ncnpi 6734   ~Q0 ceq0 6748  Q0cnq0 6749   ·Q0 cmq0 6752
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 4000  ax-un 4224  ax-setind 4316  ax-iinf 4366
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-id 4084  df-iord 4157  df-on 4159  df-suc 4162  df-iom 4369  df-xp 4407  df-rel 4408  df-cnv 4409  df-co 4410  df-dm 4411  df-rn 4412  df-res 4413  df-ima 4414  df-iota 4934  df-fun 4971  df-fn 4972  df-f 4973  df-f1 4974  df-fo 4975  df-f1o 4976  df-fv 4977  df-ov 5594  df-oprab 5595  df-mpt2 5596  df-1st 5846  df-2nd 5847  df-recs 6002  df-irdg 6067  df-oadd 6117  df-omul 6118  df-er 6222  df-ec 6224  df-qs 6228  df-ni 6766  df-mi 6768  df-enq0 6886  df-nq0 6887  df-mq0 6890
This theorem is referenced by:  distnq0r  6925
  Copyright terms: Public domain W3C validator