ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltexnqq GIF version

Theorem ltexnqq 7421
Description: Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. Definition in Proposition 9-2.6 of [Gleason] p. 119. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltexnqq ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q (๐ด +Q ๐‘ฅ) = ๐ต))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem ltexnqq
Dummy variables ๐‘“ ๐‘” โ„Ž ๐‘ฆ ๐‘ง ๐‘ค ๐‘ฃ ๐‘ข are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7361 . . 3 Q = ((N ร— N) / ~Q )
2 breq1 4018 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†” ๐ด <Q [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q ))
3 oveq1 5895 . . . . . 6 ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q +Q ๐‘ฅ) = (๐ด +Q ๐‘ฅ))
43eqeq1d 2196 . . . . 5 ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ (([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q +Q ๐‘ฅ) = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†” (๐ด +Q ๐‘ฅ) = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q ))
54rexbidv 2488 . . . 4 ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q +Q ๐‘ฅ) = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q (๐ด +Q ๐‘ฅ) = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q ))
62, 5imbi12d 234 . . 3 ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ (([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q +Q ๐‘ฅ) = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q ) โ†” (๐ด <Q [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q (๐ด +Q ๐‘ฅ) = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q )))
7 breq2 4019 . . . 4 ([โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ (๐ด <Q [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†” ๐ด <Q ๐ต))
8 eqeq2 2197 . . . . 5 ([โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ ((๐ด +Q ๐‘ฅ) = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†” (๐ด +Q ๐‘ฅ) = ๐ต))
98rexbidv 2488 . . . 4 ([โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q (๐ด +Q ๐‘ฅ) = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q (๐ด +Q ๐‘ฅ) = ๐ต))
107, 9imbi12d 234 . . 3 ([โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ ((๐ด <Q [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q (๐ด +Q ๐‘ฅ) = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q ) โ†” (๐ด <Q ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q (๐ด +Q ๐‘ฅ) = ๐ต)))
11 ordpipqqs 7387 . . . 4 (((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†” (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) <N (๐‘ง ยทN ๐‘ค)))
12 mulclpi 7341 . . . . . . . . 9 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)
13 mulclpi 7341 . . . . . . . . 9 ((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ค) โˆˆ N)
1412, 13anim12i 338 . . . . . . . 8 (((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N โˆง (๐‘ง ยทN ๐‘ค) โˆˆ N))
1514an42s 589 . . . . . . 7 (((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N โˆง (๐‘ง ยทN ๐‘ค) โˆˆ N))
16 ltexpi 7350 . . . . . . 7 (((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N โˆง (๐‘ง ยทN ๐‘ค) โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) <N (๐‘ง ยทN ๐‘ค) โ†” โˆƒ๐‘ข โˆˆ N ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค)))
1715, 16syl 14 . . . . . 6 (((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) <N (๐‘ง ยทN ๐‘ค) โ†” โˆƒ๐‘ข โˆˆ N ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค)))
18 df-rex 2471 . . . . . 6 (โˆƒ๐‘ข โˆˆ N ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค) โ†” โˆƒ๐‘ข(๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค)))
1917, 18bitrdi 196 . . . . 5 (((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) <N (๐‘ง ยทN ๐‘ค) โ†” โˆƒ๐‘ข(๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))))
20 simpll 527 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ (๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N))
21 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ ๐‘ข โˆˆ N)
22 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โ†’ ๐‘ง โˆˆ N)
23 simpr 110 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ N)
2422, 23anim12i 338 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N))
2524adantr 276 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N))
26 mulclpi 7341 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)
2725, 26syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)
2820, 21, 27jca32 310 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)))
2928adantrr 479 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โ†’ ((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)))
30 addpipqqs 7383 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ข, (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ] ~Q ) = [โŸจ((๐‘ฆ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)) +N (๐‘ง ยทN ๐‘ข)), (๐‘ง ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ))โŸฉ] ~Q )
3129, 30syl 14 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โ†’ ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ข, (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ] ~Q ) = [โŸจ((๐‘ฆ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)) +N (๐‘ง ยทN ๐‘ข)), (๐‘ง ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ))โŸฉ] ~Q )
32 simplll 533 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ N)
33 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โ†’ ๐‘ง โˆˆ N)
34 simplrr 536 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โ†’ ๐‘ฃ โˆˆ N)
35 mulcompig 7344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) = (๐‘” ยทN ๐‘“))
3635adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N)) โ†’ (๐‘“ ยทN ๐‘”) = (๐‘” ยทN ๐‘“))
37 mulasspig 7345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N) โ†’ ((๐‘“ ยทN ๐‘”) ยทN โ„Ž) = (๐‘“ ยทN (๐‘” ยทN โ„Ž)))
3837adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โˆง (๐‘“ โˆˆ N โˆง ๐‘” โˆˆ N โˆง โ„Ž โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘“ ยทN ๐‘”) ยทN โ„Ž) = (๐‘“ ยทN (๐‘” ยทN โ„Ž)))
3932, 33, 34, 36, 38caov12d 6070 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โ†’ (๐‘ฆ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)) = (๐‘ง ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ)))
4039oveq1d 5903 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)) +N (๐‘ง ยทN ๐‘ข)) = ((๐‘ง ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ)) +N (๐‘ง ยทN ๐‘ข)))
4132, 34, 12syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)
42 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โ†’ ๐‘ข โˆˆ N)
43 distrpig 7346 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ N โˆง (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ (๐‘ง ยทN ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข)) = ((๐‘ง ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ)) +N (๐‘ง ยทN ๐‘ข)))
4433, 41, 42, 43syl3anc 1248 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โ†’ (๐‘ง ยทN ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข)) = ((๐‘ง ยทN (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ)) +N (๐‘ง ยทN ๐‘ข)))
4540, 44eqtr4d 2223 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)) +N (๐‘ง ยทN ๐‘ข)) = (๐‘ง ยทN ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข)))
4645opeq1d 3796 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โ†’ โŸจ((๐‘ฆ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)) +N (๐‘ง ยทN ๐‘ข)), (๐‘ง ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ))โŸฉ = โŸจ(๐‘ง ยทN ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข)), (๐‘ง ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ))โŸฉ)
4746eceq1d 6585 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โ†’ [โŸจ((๐‘ฆ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)) +N (๐‘ง ยทN ๐‘ข)), (๐‘ง ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ))โŸฉ] ~Q = [โŸจ(๐‘ง ยทN ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข)), (๐‘ง ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ))โŸฉ] ~Q )
48 simpllr 534 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ ๐‘ง โˆˆ N)
4912ad2ant2rl 511 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)
50 addclpi 7340 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) โˆˆ N)
5149, 50sylan 283 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) โˆˆ N)
5248, 51, 273jca 1178 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ (๐‘ง โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) โˆˆ N โˆง (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N))
5352adantrr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โ†’ (๐‘ง โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) โˆˆ N โˆง (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N))
54 mulcanenqec 7399 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) โˆˆ N โˆง (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N) โ†’ [โŸจ(๐‘ง ยทN ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข)), (๐‘ง ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ))โŸฉ] ~Q = [โŸจ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข), (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ] ~Q )
5553, 54syl 14 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โ†’ [โŸจ(๐‘ง ยทN ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข)), (๐‘ง ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ))โŸฉ] ~Q = [โŸจ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข), (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ] ~Q )
5647, 55eqtrd 2220 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โ†’ [โŸจ((๐‘ฆ ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)) +N (๐‘ง ยทN ๐‘ข)), (๐‘ง ยทN (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ))โŸฉ] ~Q = [โŸจ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข), (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ] ~Q )
57 3anass 983 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†” (๐‘ง โˆˆ N โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)))
5857biimpri 133 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘ง โˆˆ N โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N))
5958adantll 476 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N))
6059anim1i 340 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค)) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค)))
6160adantrl 478 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โ†’ ((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค)))
62 opeq1 3790 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค) โ†’ โŸจ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข), (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ = โŸจ(๐‘ง ยทN ๐‘ค), (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ)
6362eceq1d 6585 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค) โ†’ [โŸจ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข), (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ] ~Q = [โŸจ(๐‘ง ยทN ๐‘ค), (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ] ~Q )
64 mulcanenqec 7399 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ [โŸจ(๐‘ง ยทN ๐‘ค), (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ] ~Q = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q )
6563, 64sylan9eqr 2242 . . . . . . . . . 10 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค)) โ†’ [โŸจ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข), (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ] ~Q = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q )
6661, 65syl 14 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โ†’ [โŸจ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข), (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ] ~Q = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q )
6731, 56, 663eqtrd 2224 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โ†’ ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ข, (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ] ~Q ) = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q )
6833, 34, 26syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)
69 opelxpi 4670 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ข โˆˆ N โˆง (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N) โ†’ โŸจ๐‘ข, (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ โˆˆ (N ร— N))
70 enqex 7373 . . . . . . . . . . . . 13 ~Q โˆˆ V
7170ecelqsi 6603 . . . . . . . . . . . 12 (โŸจ๐‘ข, (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ โˆˆ (N ร— N) โ†’ [โŸจ๐‘ข, (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ] ~Q โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ))
7269, 71syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ข โˆˆ N โˆง (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N) โ†’ [โŸจ๐‘ข, (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ] ~Q โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ))
7342, 68, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โ†’ [โŸจ๐‘ข, (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ] ~Q โˆˆ ((N ร— N) / ~Q ))
7473, 1eleqtrrdi 2281 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โ†’ [โŸจ๐‘ข, (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ] ~Q โˆˆ Q)
75 oveq2 5896 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ฅ = [โŸจ๐‘ข, (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ] ~Q โ†’ ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q +Q ๐‘ฅ) = ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ข, (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ] ~Q ))
7675eqeq1d 2196 . . . . . . . . . 10 (๐‘ฅ = [โŸจ๐‘ข, (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ] ~Q โ†’ (([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q +Q ๐‘ฅ) = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†” ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ข, (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ] ~Q ) = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q ))
7776adantl 277 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โˆง ๐‘ฅ = [โŸจ๐‘ข, (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ] ~Q ) โ†’ (([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q +Q ๐‘ฅ) = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†” ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ข, (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ] ~Q ) = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q ))
7874, 77rspcedv 2857 . . . . . . . 8 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โ†’ (([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q +Q [โŸจ๐‘ข, (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)โŸฉ] ~Q ) = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q +Q ๐‘ฅ) = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q ))
7967, 78mpd 13 . . . . . . 7 ((((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค))) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q +Q ๐‘ฅ) = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q )
8079ex 115 . . . . . 6 (((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q +Q ๐‘ฅ) = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q ))
8180exlimdv 1829 . . . . 5 (((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ (โˆƒ๐‘ข(๐‘ข โˆˆ N โˆง ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) +N ๐‘ข) = (๐‘ง ยทN ๐‘ค)) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q +Q ๐‘ฅ) = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q ))
8219, 81sylbid 150 . . . 4 (((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ฆ ยทN ๐‘ฃ) <N (๐‘ง ยทN ๐‘ค) โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q +Q ๐‘ฅ) = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q ))
8311, 82sylbid 150 . . 3 (((๐‘ฆ โˆˆ N โˆง ๐‘ง โˆˆ N) โˆง (๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q ([โŸจ๐‘ฆ, ๐‘งโŸฉ] ~Q +Q ๐‘ฅ) = [โŸจ๐‘ค, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q ))
841, 6, 10, 832ecoptocl 6637 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†’ โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q (๐ด +Q ๐‘ฅ) = ๐ต))
85 ltaddnq 7420 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ ๐ด <Q (๐ด +Q ๐‘ฅ))
86 breq2 4019 . . . . 5 ((๐ด +Q ๐‘ฅ) = ๐ต โ†’ (๐ด <Q (๐ด +Q ๐‘ฅ) โ†” ๐ด <Q ๐ต))
8785, 86syl5ibcom 155 . . . 4 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐‘ฅ โˆˆ Q) โ†’ ((๐ด +Q ๐‘ฅ) = ๐ต โ†’ ๐ด <Q ๐ต))
8887rexlimdva 2604 . . 3 (๐ด โˆˆ Q โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q (๐ด +Q ๐‘ฅ) = ๐ต โ†’ ๐ด <Q ๐ต))
8988adantr 276 . 2 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q (๐ด +Q ๐‘ฅ) = ๐ต โ†’ ๐ด <Q ๐ต))
9084, 89impbid 129 1 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โ†” โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ Q (๐ด +Q ๐‘ฅ) = ๐ต))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆง w3a 979   = wceq 1363  โˆƒwex 1502   โˆˆ wcel 2158  โˆƒwrex 2466  โŸจcop 3607   class class class wbr 4015   ร— cxp 4636  (class class class)co 5888  [cec 6547   / cqs 6548  Ncnpi 7285   +N cpli 7286   ยทN cmi 7287   <N clti 7288   ~Q ceq 7292  Qcnq 7293   +Q cplq 7295   <Q cltq 7298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-1o 6431  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-er 6549  df-ec 6551  df-qs 6555  df-ni 7317  df-pli 7318  df-mi 7319  df-lti 7320  df-plpq 7357  df-mpq 7358  df-enq 7360  df-nqqs 7361  df-plqqs 7362  df-mqqs 7363  df-1nqqs 7364  df-ltnqqs 7366
This theorem is referenced by:  ltexnqi  7422  addlocpr  7549  ltexprlemopl  7614  ltexprlemopu  7616  ltexprlemrl  7623  ltexprlemru  7625  cauappcvgprlemopl  7659  caucvgprlemopl  7682  caucvgprprlemopl  7710
  Copyright terms: Public domain W3C validator