ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltexnqq GIF version

Theorem ltexnqq 6868
Description: Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. Definition in Proposition 9-2.6 of [Gleason] p. 119. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
ltexnqq ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥Q (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵

Proof of Theorem ltexnqq
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6808 . . 3 Q = ((N × N) / ~Q )
2 breq1 3814 . . . 4 ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q <Q [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q𝐴 <Q [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q ))
3 oveq1 5596 . . . . . 6 ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q +Q 𝑥) = (𝐴 +Q 𝑥))
43eqeq1d 2091 . . . . 5 ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q +Q 𝑥) = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q ↔ (𝐴 +Q 𝑥) = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q ))
54rexbidv 2375 . . . 4 ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q = 𝐴 → (∃𝑥Q ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q +Q 𝑥) = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q ↔ ∃𝑥Q (𝐴 +Q 𝑥) = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q ))
62, 5imbi12d 232 . . 3 ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q <Q [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q → ∃𝑥Q ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q +Q 𝑥) = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q ) ↔ (𝐴 <Q [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q → ∃𝑥Q (𝐴 +Q 𝑥) = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q )))
7 breq2 3815 . . . 4 ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → (𝐴 <Q [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q𝐴 <Q 𝐵))
8 eqeq2 2092 . . . . 5 ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → ((𝐴 +Q 𝑥) = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q ↔ (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵))
98rexbidv 2375 . . . 4 ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → (∃𝑥Q (𝐴 +Q 𝑥) = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q ↔ ∃𝑥Q (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵))
107, 9imbi12d 232 . . 3 ([⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → ((𝐴 <Q [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q → ∃𝑥Q (𝐴 +Q 𝑥) = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q ) ↔ (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥Q (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵)))
11 ordpipqqs 6834 . . . 4 (((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q <Q [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q ↔ (𝑦 ·N 𝑣) <N (𝑧 ·N 𝑤)))
12 mulclpi 6788 . . . . . . . . 9 ((𝑦N𝑣N) → (𝑦 ·N 𝑣) ∈ N)
13 mulclpi 6788 . . . . . . . . 9 ((𝑧N𝑤N) → (𝑧 ·N 𝑤) ∈ N)
1412, 13anim12i 331 . . . . . . . 8 (((𝑦N𝑣N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ((𝑦 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑧 ·N 𝑤) ∈ N))
1514an42s 554 . . . . . . 7 (((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑧 ·N 𝑤) ∈ N))
16 ltexpi 6797 . . . . . . 7 (((𝑦 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑧 ·N 𝑤) ∈ N) → ((𝑦 ·N 𝑣) <N (𝑧 ·N 𝑤) ↔ ∃𝑢N ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤)))
1715, 16syl 14 . . . . . 6 (((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑣) <N (𝑧 ·N 𝑤) ↔ ∃𝑢N ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤)))
18 df-rex 2359 . . . . . 6 (∃𝑢N ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤) ↔ ∃𝑢(𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤)))
1917, 18syl6bb 194 . . . . 5 (((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑣) <N (𝑧 ·N 𝑤) ↔ ∃𝑢(𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))))
20 simpll 496 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ 𝑢N) → (𝑦N𝑧N))
21 simpr 108 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ 𝑢N) → 𝑢N)
22 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑦N𝑧N) → 𝑧N)
23 simpr 108 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤N𝑣N) → 𝑣N)
2422, 23anim12i 331 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (𝑧N𝑣N))
2524adantr 270 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ 𝑢N) → (𝑧N𝑣N))
26 mulclpi 6788 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N𝑣N) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
2725, 26syl 14 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ 𝑢N) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
2820, 21, 27jca32 303 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ 𝑢N) → ((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑢N ∧ (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)))
2928adantrr 463 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) → ((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑢N ∧ (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)))
30 addpipqqs 6830 . . . . . . . . . 10 (((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑢N ∧ (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)) → ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q +Q [⟨𝑢, (𝑧 ·N 𝑣)⟩] ~Q ) = [⟨((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑣)) +N (𝑧 ·N 𝑢)), (𝑧 ·N (𝑧 ·N 𝑣))⟩] ~Q )
3129, 30syl 14 . . . . . . . . 9 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) → ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q +Q [⟨𝑢, (𝑧 ·N 𝑣)⟩] ~Q ) = [⟨((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑣)) +N (𝑧 ·N 𝑢)), (𝑧 ·N (𝑧 ·N 𝑣))⟩] ~Q )
32 simplll 500 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) → 𝑦N)
33 simpllr 501 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) → 𝑧N)
34 simplrr 503 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) → 𝑣N)
35 mulcompig 6791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓N𝑔N) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
3635adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) ∧ (𝑓N𝑔N)) → (𝑓 ·N 𝑔) = (𝑔 ·N 𝑓))
37 mulasspig 6792 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓N𝑔NN) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
3837adantl 271 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) ∧ (𝑓N𝑔NN)) → ((𝑓 ·N 𝑔) ·N ) = (𝑓 ·N (𝑔 ·N )))
3932, 33, 34, 36, 38caov12d 5759 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) → (𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑣)) = (𝑧 ·N (𝑦 ·N 𝑣)))
4039oveq1d 5604 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) → ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑣)) +N (𝑧 ·N 𝑢)) = ((𝑧 ·N (𝑦 ·N 𝑣)) +N (𝑧 ·N 𝑢)))
4132, 34, 12syl2anc 403 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) → (𝑦 ·N 𝑣) ∈ N)
42 simprl 498 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) → 𝑢N)
43 distrpig 6793 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧N ∧ (𝑦 ·N 𝑣) ∈ N𝑢N) → (𝑧 ·N ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢)) = ((𝑧 ·N (𝑦 ·N 𝑣)) +N (𝑧 ·N 𝑢)))
4433, 41, 42, 43syl3anc 1170 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) → (𝑧 ·N ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢)) = ((𝑧 ·N (𝑦 ·N 𝑣)) +N (𝑧 ·N 𝑢)))
4540, 44eqtr4d 2118 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) → ((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑣)) +N (𝑧 ·N 𝑢)) = (𝑧 ·N ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢)))
4645opeq1d 3602 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) → ⟨((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑣)) +N (𝑧 ·N 𝑢)), (𝑧 ·N (𝑧 ·N 𝑣))⟩ = ⟨(𝑧 ·N ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢)), (𝑧 ·N (𝑧 ·N 𝑣))⟩)
4746eceq1d 6256 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) → [⟨((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑣)) +N (𝑧 ·N 𝑢)), (𝑧 ·N (𝑧 ·N 𝑣))⟩] ~Q = [⟨(𝑧 ·N ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢)), (𝑧 ·N (𝑧 ·N 𝑣))⟩] ~Q )
48 simpllr 501 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ 𝑢N) → 𝑧N)
4912ad2ant2rl 495 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (𝑦 ·N 𝑣) ∈ N)
50 addclpi 6787 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑦 ·N 𝑣) ∈ N𝑢N) → ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) ∈ N)
5149, 50sylan 277 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ 𝑢N) → ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) ∈ N)
5248, 51, 273jca 1119 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ 𝑢N) → (𝑧N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N))
5352adantrr 463 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) → (𝑧N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N))
54 mulcanenqec 6846 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) ∈ N ∧ (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N) → [⟨(𝑧 ·N ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢)), (𝑧 ·N (𝑧 ·N 𝑣))⟩] ~Q = [⟨((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢), (𝑧 ·N 𝑣)⟩] ~Q )
5553, 54syl 14 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) → [⟨(𝑧 ·N ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢)), (𝑧 ·N (𝑧 ·N 𝑣))⟩] ~Q = [⟨((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢), (𝑧 ·N 𝑣)⟩] ~Q )
5647, 55eqtrd 2115 . . . . . . . . 9 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) → [⟨((𝑦 ·N (𝑧 ·N 𝑣)) +N (𝑧 ·N 𝑢)), (𝑧 ·N (𝑧 ·N 𝑣))⟩] ~Q = [⟨((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢), (𝑧 ·N 𝑣)⟩] ~Q )
57 3anass 924 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧N𝑤N𝑣N) ↔ (𝑧N ∧ (𝑤N𝑣N)))
5857biimpri 131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧N ∧ (𝑤N𝑣N)) → (𝑧N𝑤N𝑣N))
5958adantll 460 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (𝑧N𝑤N𝑣N))
6059anim1i 333 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤)) → ((𝑧N𝑤N𝑣N) ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤)))
6160adantrl 462 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) → ((𝑧N𝑤N𝑣N) ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤)))
62 opeq1 3596 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤) → ⟨((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢), (𝑧 ·N 𝑣)⟩ = ⟨(𝑧 ·N 𝑤), (𝑧 ·N 𝑣)⟩)
6362eceq1d 6256 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤) → [⟨((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢), (𝑧 ·N 𝑣)⟩] ~Q = [⟨(𝑧 ·N 𝑤), (𝑧 ·N 𝑣)⟩] ~Q )
64 mulcanenqec 6846 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧N𝑤N𝑣N) → [⟨(𝑧 ·N 𝑤), (𝑧 ·N 𝑣)⟩] ~Q = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q )
6563, 64sylan9eqr 2137 . . . . . . . . . 10 (((𝑧N𝑤N𝑣N) ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤)) → [⟨((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢), (𝑧 ·N 𝑣)⟩] ~Q = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q )
6661, 65syl 14 . . . . . . . . 9 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) → [⟨((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢), (𝑧 ·N 𝑣)⟩] ~Q = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q )
6731, 56, 663eqtrd 2119 . . . . . . . 8 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) → ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q +Q [⟨𝑢, (𝑧 ·N 𝑣)⟩] ~Q ) = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q )
6833, 34, 26syl2anc 403 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
69 opelxpi 4430 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑢N ∧ (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N) → ⟨𝑢, (𝑧 ·N 𝑣)⟩ ∈ (N × N))
70 enqex 6820 . . . . . . . . . . . . 13 ~Q ∈ V
7170ecelqsi 6274 . . . . . . . . . . . 12 (⟨𝑢, (𝑧 ·N 𝑣)⟩ ∈ (N × N) → [⟨𝑢, (𝑧 ·N 𝑣)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7269, 71syl 14 . . . . . . . . . . 11 ((𝑢N ∧ (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N) → [⟨𝑢, (𝑧 ·N 𝑣)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7342, 68, 72syl2anc 403 . . . . . . . . . 10 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) → [⟨𝑢, (𝑧 ·N 𝑣)⟩] ~Q ∈ ((N × N) / ~Q ))
7473, 1syl6eleqr 2176 . . . . . . . . 9 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) → [⟨𝑢, (𝑧 ·N 𝑣)⟩] ~QQ)
75 oveq2 5597 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = [⟨𝑢, (𝑧 ·N 𝑣)⟩] ~Q → ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q +Q 𝑥) = ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q +Q [⟨𝑢, (𝑧 ·N 𝑣)⟩] ~Q ))
7675eqeq1d 2091 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = [⟨𝑢, (𝑧 ·N 𝑣)⟩] ~Q → (([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q +Q 𝑥) = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q ↔ ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q +Q [⟨𝑢, (𝑧 ·N 𝑣)⟩] ~Q ) = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q ))
7776adantl 271 . . . . . . . . 9 (((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) ∧ 𝑥 = [⟨𝑢, (𝑧 ·N 𝑣)⟩] ~Q ) → (([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q +Q 𝑥) = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q ↔ ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q +Q [⟨𝑢, (𝑧 ·N 𝑣)⟩] ~Q ) = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q ))
7874, 77rspcedv 2716 . . . . . . . 8 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) → (([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q +Q [⟨𝑢, (𝑧 ·N 𝑣)⟩] ~Q ) = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q → ∃𝑥Q ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q +Q 𝑥) = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q ))
7967, 78mpd 13 . . . . . . 7 ((((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) ∧ (𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤))) → ∃𝑥Q ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q +Q 𝑥) = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q )
8079ex 113 . . . . . 6 (((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤)) → ∃𝑥Q ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q +Q 𝑥) = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q ))
8180exlimdv 1742 . . . . 5 (((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → (∃𝑢(𝑢N ∧ ((𝑦 ·N 𝑣) +N 𝑢) = (𝑧 ·N 𝑤)) → ∃𝑥Q ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q +Q 𝑥) = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q ))
8219, 81sylbid 148 . . . 4 (((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ((𝑦 ·N 𝑣) <N (𝑧 ·N 𝑤) → ∃𝑥Q ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q +Q 𝑥) = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q ))
8311, 82sylbid 148 . . 3 (((𝑦N𝑧N) ∧ (𝑤N𝑣N)) → ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q <Q [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q → ∃𝑥Q ([⟨𝑦, 𝑧⟩] ~Q +Q 𝑥) = [⟨𝑤, 𝑣⟩] ~Q ))
841, 6, 10, 832ecoptocl 6308 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵 → ∃𝑥Q (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵))
85 ltaddnq 6867 . . . . 5 ((𝐴Q𝑥Q) → 𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑥))
86 breq2 3815 . . . . 5 ((𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵 → (𝐴 <Q (𝐴 +Q 𝑥) ↔ 𝐴 <Q 𝐵))
8785, 86syl5ibcom 153 . . . 4 ((𝐴Q𝑥Q) → ((𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵𝐴 <Q 𝐵))
8887rexlimdva 2483 . . 3 (𝐴Q → (∃𝑥Q (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵𝐴 <Q 𝐵))
8988adantr 270 . 2 ((𝐴Q𝐵Q) → (∃𝑥Q (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵𝐴 <Q 𝐵))
9084, 89impbid 127 1 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ↔ ∃𝑥Q (𝐴 +Q 𝑥) = 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wb 103  w3a 920   = wceq 1285  wex 1422  wcel 1434  wrex 2354  cop 3425   class class class wbr 3811   × cxp 4397  (class class class)co 5589  [cec 6218   / cqs 6219  Ncnpi 6732   +N cpli 6733   ·N cmi 6734   <N clti 6735   ~Q ceq 6739  Qcnq 6740   +Q cplq 6742   <Q cltq 6745
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 577  ax-in2 578  ax-io 663  ax-5 1377  ax-7 1378  ax-gen 1379  ax-ie1 1423  ax-ie2 1424  ax-8 1436  ax-10 1437  ax-11 1438  ax-i12 1439  ax-bndl 1440  ax-4 1441  ax-13 1445  ax-14 1446  ax-17 1460  ax-i9 1464  ax-ial 1468  ax-i5r 1469  ax-ext 2065  ax-coll 3919  ax-sep 3922  ax-nul 3930  ax-pow 3974  ax-pr 3999  ax-un 4223  ax-setind 4315  ax-iinf 4365
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-dc 777  df-3or 921  df-3an 922  df-tru 1288  df-fal 1291  df-nf 1391  df-sb 1688  df-eu 1946  df-mo 1947  df-clab 2070  df-cleq 2076  df-clel 2079  df-nfc 2212  df-ne 2250  df-ral 2358  df-rex 2359  df-reu 2360  df-rab 2362  df-v 2614  df-sbc 2827  df-csb 2920  df-dif 2986  df-un 2988  df-in 2990  df-ss 2997  df-nul 3270  df-pw 3408  df-sn 3428  df-pr 3429  df-op 3431  df-uni 3628  df-int 3663  df-iun 3706  df-br 3812  df-opab 3866  df-mpt 3867  df-tr 3902  df-eprel 4079  df-id 4083  df-iord 4156  df-on 4158  df-suc 4161  df-iom 4368  df-xp 4405  df-rel 4406  df-cnv 4407  df-co 4408  df-dm 4409  df-rn 4410  df-res 4411  df-ima 4412  df-iota 4932  df-fun 4969  df-fn 4970  df-f 4971  df-f1 4972  df-fo 4973  df-f1o 4974  df-fv 4975  df-ov 5592  df-oprab 5593  df-mpt2 5594  df-1st 5844  df-2nd 5845  df-recs 6000  df-irdg 6065  df-1o 6111  df-oadd 6115  df-omul 6116  df-er 6220  df-ec 6222  df-qs 6226  df-ni 6764  df-pli 6765  df-mi 6766  df-lti 6767  df-plpq 6804  df-mpq 6805  df-enq 6807  df-nqqs 6808  df-plqqs 6809  df-mqqs 6810  df-1nqqs 6811  df-ltnqqs 6813
This theorem is referenced by:  ltexnqi  6869  addlocpr  6996  ltexprlemopl  7061  ltexprlemopu  7063  ltexprlemrl  7070  ltexprlemru  7072  cauappcvgprlemopl  7106  caucvgprlemopl  7129  caucvgprprlemopl  7157
  Copyright terms: Public domain W3C validator