Theorem distrnq0 7526

Description: Multiplication of nonnegative fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
distrnq0	⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 𝐶)))

Proof of Theorem distrnq0

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 7492	. . . 4 ⊢ Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
2		oveq1 5929	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
3	2	oveq2d 5938	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))
4		oveq2 5930	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 ·Q0 𝐵))
5	4	oveq1d 5937	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))
6	3, 5	eqeq12d 2211	. . . . 5 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) ↔ (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
7	6	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ Q0 → (𝐴 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))) ↔ (𝐴 ∈ Q0 → (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))))
8		oveq2 5930	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐵 +Q0 𝐶))
9	8	oveq2d 5938	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)))
10		oveq2 5930	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 ·Q0 𝐶))
11	10	oveq2d 5938	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 𝐶)))
12	9, 11	eqeq12d 2211	. . . . 5 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → ((𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) ↔ (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 𝐶))))
13	12	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → ((𝐴 ∈ Q0 → (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))) ↔ (𝐴 ∈ Q0 → (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 𝐶)))))
14		oveq1 5929	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (𝐴 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))
15		oveq1 5929	. . . . . . . . 9 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
16		oveq1 5929	. . . . . . . . 9 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
17	15, 16	oveq12d 5940	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))
18	14, 17	eqeq12d 2211	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) ↔ (𝐴 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
19	18	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ((((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))) ↔ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝐴 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))))
20		an42 587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) ↔ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)))
21	20	anbi2i 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω))) ↔ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N))))
22		3anass 984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) ↔ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω))))
23		3anass 984	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) ↔ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N))))
24	21, 22, 23	3bitr4i 212	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) ↔ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)))
25		pinn 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ N → 𝑦 ∈ ω)
26		nnmcl 6539	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑦 ·o 𝑥) ∈ ω)
27	25, 26	sylan 283	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑦 ·o 𝑥) ∈ ω)
28	27	ancoms 268	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑦 ·o 𝑥) ∈ ω)
29		pinn 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ N → 𝑢 ∈ ω)
30		nnmcl 6539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ ω) → (𝑧 ·o 𝑢) ∈ ω)
31	29, 30	sylan2 286	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑧 ·o 𝑢) ∈ ω)
32		pinn 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 ∈ N → 𝑤 ∈ ω)
33		nnmcl 6539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → (𝑤 ·o 𝑣) ∈ ω)
34	32, 33	sylan 283	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω) → (𝑤 ·o 𝑣) ∈ ω)
35		nndi 6544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 ·o 𝑥) ∈ ω ∧ (𝑧 ·o 𝑢) ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑣) ∈ ω) → ((𝑦 ·o 𝑥) ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) = (((𝑦 ·o 𝑥) ·o (𝑧 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑥) ·o (𝑤 ·o 𝑣))))
36	28, 31, 34, 35	syl3an 1291	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → ((𝑦 ·o 𝑥) ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) = (((𝑦 ·o 𝑥) ·o (𝑧 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑥) ·o (𝑤 ·o 𝑣))))
37		simp1r 1024	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → 𝑦 ∈ N)
38		simp1l 1023	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → 𝑥 ∈ ω)
39	31	3ad2ant2 1021	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → (𝑧 ·o 𝑢) ∈ ω)
40	34	3ad2ant3 1022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → (𝑤 ·o 𝑣) ∈ ω)
41		nnacl 6538	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ·o 𝑢) ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑣) ∈ ω) → ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω)
42	39, 40, 41	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω)
43		nnmass 6545	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω ∧ ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω) → ((𝑦 ·o 𝑥) ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) = (𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))))
44	25, 43	syl3an1 1282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑥 ∈ ω ∧ ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω) → ((𝑦 ·o 𝑥) ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) = (𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))))
45	37, 38, 42, 44	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → ((𝑦 ·o 𝑥) ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) = (𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))))
46		nnmcom 6547	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑦) = (𝑦 ·o 𝑥))
47	25, 46	sylan2 286	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) → (𝑥 ·o 𝑦) = (𝑦 ·o 𝑥))
48	47	oveq1d 5937	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) → ((𝑥 ·o 𝑦) ·o (𝑧 ·o 𝑢)) = ((𝑦 ·o 𝑥) ·o (𝑧 ·o 𝑢)))
49	48	adantr 276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑥 ·o 𝑦) ·o (𝑧 ·o 𝑢)) = ((𝑦 ·o 𝑥) ·o (𝑧 ·o 𝑢)))
50		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑥 ∈ ω)
51	25	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑦 ∈ ω)
52		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑧 ∈ ω)
53		nnmcom 6547	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω) → (𝑓 ·o 𝑔) = (𝑔 ·o 𝑓))
54	53	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 ·o 𝑔) = (𝑔 ·o 𝑓))
55		nnmass 6545	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ℎ ∈ ω) → ((𝑓 ·o 𝑔) ·o ℎ) = (𝑓 ·o (𝑔 ·o ℎ)))
56	55	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ℎ ∈ ω)) → ((𝑓 ·o 𝑔) ·o ℎ) = (𝑓 ·o (𝑔 ·o ℎ)))
57		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑢 ∈ N)
58	57, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑢 ∈ ω)
59		nnmcl 6539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω) → (𝑓 ·o 𝑔) ∈ ω)
60	59	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 ·o 𝑔) ∈ ω)
61	50, 51, 52, 54, 56, 58, 60	caov4d 6108	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑥 ·o 𝑦) ·o (𝑧 ·o 𝑢)) = ((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)))
62	49, 61	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑦 ·o 𝑥) ·o (𝑧 ·o 𝑢)) = ((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)))
63	62	3adant3 1019	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → ((𝑦 ·o 𝑥) ·o (𝑧 ·o 𝑢)) = ((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)))
64	25	ad2antlr 489	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → 𝑦 ∈ ω)
65		simpll 527	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → 𝑥 ∈ ω)
66		simprl 529	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → 𝑤 ∈ N)
67	66, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → 𝑤 ∈ ω)
68	53	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 ·o 𝑔) = (𝑔 ·o 𝑓))
69	55	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ℎ ∈ ω)) → ((𝑓 ·o 𝑔) ·o ℎ) = (𝑓 ·o (𝑔 ·o ℎ)))
70		simprr 531	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → 𝑣 ∈ ω)
71	59	adantl 277	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 ·o 𝑔) ∈ ω)
72	64, 65, 67, 68, 69, 70, 71	caov4d 6108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → ((𝑦 ·o 𝑥) ·o (𝑤 ·o 𝑣)) = ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣)))
73	72	3adant2 1018	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → ((𝑦 ·o 𝑥) ·o (𝑤 ·o 𝑣)) = ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣)))
74	63, 73	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → (((𝑦 ·o 𝑥) ·o (𝑧 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑥) ·o (𝑤 ·o 𝑣))) = (((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣))))
75	36, 45, 74	3eqtr3d 2237	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → (𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))) = (((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣))))
76	24, 75	sylbir 135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))) = (((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣))))
77	37, 25	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → 𝑦 ∈ ω)
78		mulpiord 7384	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑢) = (𝑤 ·o 𝑢))
79	78	ancoms 268	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑢 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑢) = (𝑤 ·o 𝑢))
80	79	ad2ant2lr 510	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → (𝑤 ·N 𝑢) = (𝑤 ·o 𝑢))
81	80	3adant1 1017	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → (𝑤 ·N 𝑢) = (𝑤 ·o 𝑢))
82	66	3adant2 1018	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → 𝑤 ∈ N)
83	57	3adant3 1019	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → 𝑢 ∈ N)
84		mulclpi 7395	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
85	82, 83, 84	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
86		pinn 7376	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ·N 𝑢) ∈ N → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ ω)
87	85, 86	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ ω)
88	81, 87	eqeltrrd 2274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → (𝑤 ·o 𝑢) ∈ ω)
89		nnmass 6545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ ω) → ((𝑦 ·o 𝑦) ·o (𝑤 ·o 𝑢)) = (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))))
90	77, 77, 88, 89	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → ((𝑦 ·o 𝑦) ·o (𝑤 ·o 𝑢)) = (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))))
91	82, 32	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → 𝑤 ∈ ω)
92	53	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 ·o 𝑔) = (𝑔 ·o 𝑓))
93	55	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ℎ ∈ ω)) → ((𝑓 ·o 𝑔) ·o ℎ) = (𝑓 ·o (𝑔 ·o ℎ)))
94	83, 29	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → 𝑢 ∈ ω)
95	59	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 ·o 𝑔) ∈ ω)
96	77, 77, 91, 92, 93, 94, 95	caov4d 6108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → ((𝑦 ·o 𝑦) ·o (𝑤 ·o 𝑢)) = ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑦 ·o 𝑢)))
97	90, 96	eqtr3d 2231	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))) = ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑦 ·o 𝑢)))
98	24, 97	sylbir 135	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))) = ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑦 ·o 𝑢)))
99		opeq12 3810	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))) = (((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣))) ∧ (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))) = ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑦 ·o 𝑢))) → ⟨(𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))⟩ = ⟨(((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣))), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑦 ·o 𝑢))⟩)
100	99	eceq1d 6628	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))) = (((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣))) ∧ (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))) = ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑦 ·o 𝑢))) → [⟨(𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))⟩] ~Q0 = [⟨(((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣))), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑦 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
101	76, 98, 100	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → [⟨(𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))⟩] ~Q0 = [⟨(((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣))), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑦 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
102		addnnnq0 7516	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
103	102	oveq2d 5938	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ))
104	103	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N))) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ))
105	31, 34, 41	syl2an 289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N) ∧ (𝑤 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ ω)) → ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω)
106	105	an42s 589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω)
107	84	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
108	78	eleq1d 2265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → ((𝑤 ·N 𝑢) ∈ N ↔ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N))
109	108	ad2ant2l 508	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑤 ·N 𝑢) ∈ N ↔ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N))
110	107, 109	mpbid 147	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N)
111	106, 110	jca 306	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N))
112		mulnnnq0 7517	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
113		nnmcl 6539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω) → (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) ∈ ω)
114		simpl 109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N) → 𝑦 ∈ N)
115		mulpiord 7384	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N) → (𝑦 ·N (𝑤 ·o 𝑢)) = (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))
116		mulclpi 7395	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N) → (𝑦 ·N (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N)
117	115, 116	eqeltrrd 2274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N) → (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N)
118	114, 117	jca 306	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N) → (𝑦 ∈ N ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N))
119	113, 118	anim12i 338	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N)) → ((𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) ∈ ω ∧ (𝑦 ∈ N ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N)))
120		an12 561	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) ∈ ω ∧ (𝑦 ∈ N ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N)) ↔ (𝑦 ∈ N ∧ ((𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N)))
121		3anass 984	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N) ↔ (𝑦 ∈ N ∧ ((𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N)))
122	120, 121	bitr4i 187	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) ∈ ω ∧ (𝑦 ∈ N ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N)) ↔ (𝑦 ∈ N ∧ (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N))
123	119, 122	sylib 122	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N)) → (𝑦 ∈ N ∧ (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N))
124	123	an4s 588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N)) → (𝑦 ∈ N ∧ (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N))
125		mulcanenq0ec 7512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N) → [⟨(𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))⟩] ~Q0 = [⟨(𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
126	124, 125	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N)) → [⟨(𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))⟩] ~Q0 = [⟨(𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
127	112, 126	eqtr4d 2232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))⟩] ~Q0 )
128	111, 127	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N))) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))⟩] ~Q0 )
129	104, 128	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N))) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = [⟨(𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))⟩] ~Q0 )
130	129	3impb 1201	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = [⟨(𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))⟩] ~Q0 )
131		mulnnnq0 7517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑥 ·o 𝑧), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
132		mulnnnq0 7517	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑥 ·o 𝑣), (𝑦 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
133	131, 132	oveqan12d 5941	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N))) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ([⟨(𝑥 ·o 𝑧), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨(𝑥 ·o 𝑣), (𝑦 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ))
134		nnmcl 6539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑧) ∈ ω)
135		mulpiord 7384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑦 ·o 𝑤))
136		mulclpi 7395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
137	135, 136	eqeltrrd 2274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) → (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N)
138	134, 137	anim12i 338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·o 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N))
139	138	an4s 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ((𝑥 ·o 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N))
140		nnmcl 6539	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑣) ∈ ω)
141		mulpiord 7384	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑢) = (𝑦 ·o 𝑢))
142		mulclpi 7395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N)
143	141, 142	eqeltrrd 2274	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑦 ·o 𝑢) ∈ N)
144	140, 143	anim12i 338	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) ∧ (𝑦 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑥 ·o 𝑣) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑢) ∈ N))
145	144	an4s 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑥 ·o 𝑣) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑢) ∈ N))
146		addnnnq0 7516	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑥 ·o 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N) ∧ ((𝑥 ·o 𝑣) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑢) ∈ N)) → ([⟨(𝑥 ·o 𝑧), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨(𝑥 ·o 𝑣), (𝑦 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ) = [⟨(((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣))), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑦 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
147	139, 145, 146	syl2an 289	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N))) → ([⟨(𝑥 ·o 𝑧), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨(𝑥 ·o 𝑣), (𝑦 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ) = [⟨(((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣))), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑦 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
148	133, 147	eqtrd 2229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N))) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = [⟨(((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣))), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑦 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
149	148	3impdi 1304	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = [⟨(((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣))), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑦 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
150	101, 130, 149	3eqtr4d 2239	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))
151	150	3expib 1208	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) → (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
152	1, 19, 151	ecoptocl 6681	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝐴 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
153	152	com12 30	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝐴 ∈ Q0 → (𝐴 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
154	1, 7, 13, 153	2ecoptocl 6682	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → (𝐴 ∈ Q0 → (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 𝐶))))
155	154	com12 30	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ((𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 𝐶))))
156	155	3impib 1203	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ⟨cop 3625  ωcom 4626  (class class class)co 5922   +_o coa 6471   ·_o comu 6472  [cec 6590  Ncnpi 7339   ·_N cmi 7341   ~_Q0 ceq0 7353  Q₀cnq0 7354   +_Q0 cplq0 7356   ·_Q0 cmq0 7357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-iord 4401  df-on 4403  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-irdg 6428  df-oadd 6478  df-omul 6479  df-er 6592  df-ec 6594  df-qs 6598  df-ni 7371  df-mi 7373  df-enq0 7491  df-nq0 7492  df-plq0 7494  df-mq0 7495

This theorem is referenced by:  distnq0r  7530