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Theorem distrnq0 7449
Description: Multiplication of nonnegative fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Nov-2019.)
Assertion
Ref Expression
distrnq0 ((𝐴Q0𝐵Q0𝐶Q0) → (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 𝐶)))

Proof of Theorem distrnq0
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 𝑓 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nq0 7415 . . . 4 Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
2 oveq1 5876 . . . . . . 7 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
32oveq2d 5885 . . . . . 6 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))
4 oveq2 5877 . . . . . . 7 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 ·Q0 𝐵))
54oveq1d 5884 . . . . . 6 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))
63, 5eqeq12d 2192 . . . . 5 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) ↔ (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
76imbi2d 230 . . . 4 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴Q0 → (𝐴 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))) ↔ (𝐴Q0 → (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))))
8 oveq2 5877 . . . . . . 7 ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐵 +Q0 𝐶))
98oveq2d 5885 . . . . . 6 ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)))
10 oveq2 5877 . . . . . . 7 ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 ·Q0 𝐶))
1110oveq2d 5885 . . . . . 6 ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 𝐶)))
129, 11eqeq12d 2192 . . . . 5 ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → ((𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) ↔ (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 𝐶))))
1312imbi2d 230 . . . 4 ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → ((𝐴Q0 → (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))) ↔ (𝐴Q0 → (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 𝐶)))))
14 oveq1 5876 . . . . . . . 8 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (𝐴 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))
15 oveq1 5876 . . . . . . . . 9 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
16 oveq1 5876 . . . . . . . . 9 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
1715, 16oveq12d 5887 . . . . . . . 8 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))
1814, 17eqeq12d 2192 . . . . . . 7 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) ↔ (𝐴 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
1918imbi2d 230 . . . . . 6 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ((((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))) ↔ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (𝐴 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))))
20 an42 587 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) ↔ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)))
2120anbi2i 457 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω))) ↔ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N))))
22 3anass 982 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) ↔ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω))))
23 3anass 982 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) ↔ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N))))
2421, 22, 233bitr4i 212 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) ↔ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)))
25 pinn 7299 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦N𝑦 ∈ ω)
26 nnmcl 6476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω) → (𝑦 ·o 𝑥) ∈ ω)
2725, 26sylan 283 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦N𝑥 ∈ ω) → (𝑦 ·o 𝑥) ∈ ω)
2827ancoms 268 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) → (𝑦 ·o 𝑥) ∈ ω)
29 pinn 7299 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢N𝑢 ∈ ω)
30 nnmcl 6476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ ω) → (𝑧 ·o 𝑢) ∈ ω)
3129, 30sylan2 286 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) → (𝑧 ·o 𝑢) ∈ ω)
32 pinn 7299 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤N𝑤 ∈ ω)
33 nnmcl 6476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → (𝑤 ·o 𝑣) ∈ ω)
3432, 33sylan 283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤N𝑣 ∈ ω) → (𝑤 ·o 𝑣) ∈ ω)
35 nndi 6481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 ·o 𝑥) ∈ ω ∧ (𝑧 ·o 𝑢) ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑣) ∈ ω) → ((𝑦 ·o 𝑥) ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) = (((𝑦 ·o 𝑥) ·o (𝑧 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑥) ·o (𝑤 ·o 𝑣))))
3628, 31, 34, 35syl3an 1280 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → ((𝑦 ·o 𝑥) ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) = (((𝑦 ·o 𝑥) ·o (𝑧 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑥) ·o (𝑤 ·o 𝑣))))
37 simp1r 1022 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → 𝑦N)
38 simp1l 1021 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → 𝑥 ∈ ω)
39313ad2ant2 1019 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → (𝑧 ·o 𝑢) ∈ ω)
40343ad2ant3 1020 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → (𝑤 ·o 𝑣) ∈ ω)
41 nnacl 6475 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ·o 𝑢) ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑣) ∈ ω) → ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω)
4239, 40, 41syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω)
43 nnmass 6482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑥 ∈ ω ∧ ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω) → ((𝑦 ·o 𝑥) ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) = (𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))))
4425, 43syl3an1 1271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦N𝑥 ∈ ω ∧ ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω) → ((𝑦 ·o 𝑥) ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) = (𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))))
4537, 38, 42, 44syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → ((𝑦 ·o 𝑥) ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) = (𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))))
46 nnmcom 6484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑦) = (𝑦 ·o 𝑥))
4725, 46sylan2 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) → (𝑥 ·o 𝑦) = (𝑦 ·o 𝑥))
4847oveq1d 5884 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) → ((𝑥 ·o 𝑦) ·o (𝑧 ·o 𝑢)) = ((𝑦 ·o 𝑥) ·o (𝑧 ·o 𝑢)))
4948adantr 276 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ((𝑥 ·o 𝑦) ·o (𝑧 ·o 𝑢)) = ((𝑦 ·o 𝑥) ·o (𝑧 ·o 𝑢)))
50 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → 𝑥 ∈ ω)
5125ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → 𝑦 ∈ ω)
52 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → 𝑧 ∈ ω)
53 nnmcom 6484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω) → (𝑓 ·o 𝑔) = (𝑔 ·o 𝑓))
5453adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 ·o 𝑔) = (𝑔 ·o 𝑓))
55 nnmass 6482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ∈ ω) → ((𝑓 ·o 𝑔) ·o ) = (𝑓 ·o (𝑔 ·o )))
5655adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ∈ ω)) → ((𝑓 ·o 𝑔) ·o ) = (𝑓 ·o (𝑔 ·o )))
57 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → 𝑢N)
5857, 29syl 14 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → 𝑢 ∈ ω)
59 nnmcl 6476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω) → (𝑓 ·o 𝑔) ∈ ω)
6059adantl 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 ·o 𝑔) ∈ ω)
6150, 51, 52, 54, 56, 58, 60caov4d 6053 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ((𝑥 ·o 𝑦) ·o (𝑧 ·o 𝑢)) = ((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)))
6249, 61eqtr3d 2212 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ((𝑦 ·o 𝑥) ·o (𝑧 ·o 𝑢)) = ((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)))
63623adant3 1017 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → ((𝑦 ·o 𝑥) ·o (𝑧 ·o 𝑢)) = ((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)))
6425ad2antlr 489 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → 𝑦 ∈ ω)
65 simpll 527 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → 𝑥 ∈ ω)
66 simprl 529 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → 𝑤N)
6766, 32syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → 𝑤 ∈ ω)
6853adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 ·o 𝑔) = (𝑔 ·o 𝑓))
6955adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ∈ ω)) → ((𝑓 ·o 𝑔) ·o ) = (𝑓 ·o (𝑔 ·o )))
70 simprr 531 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → 𝑣 ∈ ω)
7159adantl 277 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 ·o 𝑔) ∈ ω)
7264, 65, 67, 68, 69, 70, 71caov4d 6053 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → ((𝑦 ·o 𝑥) ·o (𝑤 ·o 𝑣)) = ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣)))
73723adant2 1016 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → ((𝑦 ·o 𝑥) ·o (𝑤 ·o 𝑣)) = ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣)))
7463, 73oveq12d 5887 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → (((𝑦 ·o 𝑥) ·o (𝑧 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑥) ·o (𝑤 ·o 𝑣))) = (((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣))))
7536, 45, 743eqtr3d 2218 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → (𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))) = (((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣))))
7624, 75sylbir 135 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))) = (((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣))))
7737, 25syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → 𝑦 ∈ ω)
78 mulpiord 7307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑤N𝑢N) → (𝑤 ·N 𝑢) = (𝑤 ·o 𝑢))
7978ancoms 268 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑢N𝑤N) → (𝑤 ·N 𝑢) = (𝑤 ·o 𝑢))
8079ad2ant2lr 510 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → (𝑤 ·N 𝑢) = (𝑤 ·o 𝑢))
81803adant1 1015 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → (𝑤 ·N 𝑢) = (𝑤 ·o 𝑢))
82663adant2 1016 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → 𝑤N)
83573adant3 1017 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → 𝑢N)
84 mulclpi 7318 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑤N𝑢N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
8582, 83, 84syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
86 pinn 7299 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ·N 𝑢) ∈ N → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ ω)
8785, 86syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ ω)
8881, 87eqeltrrd 2255 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → (𝑤 ·o 𝑢) ∈ ω)
89 nnmass 6482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ ω) → ((𝑦 ·o 𝑦) ·o (𝑤 ·o 𝑢)) = (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))))
9077, 77, 88, 89syl3anc 1238 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → ((𝑦 ·o 𝑦) ·o (𝑤 ·o 𝑢)) = (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))))
9182, 32syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → 𝑤 ∈ ω)
9253adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 ·o 𝑔) = (𝑔 ·o 𝑓))
9355adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ∈ ω)) → ((𝑓 ·o 𝑔) ·o ) = (𝑓 ·o (𝑔 ·o )))
9483, 29syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → 𝑢 ∈ ω)
9559adantl 277 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 ·o 𝑔) ∈ ω)
9677, 77, 91, 92, 93, 94, 95caov4d 6053 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → ((𝑦 ·o 𝑦) ·o (𝑤 ·o 𝑢)) = ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑦 ·o 𝑢)))
9790, 96eqtr3d 2212 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))) = ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑦 ·o 𝑢)))
9824, 97sylbir 135 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))) = ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑦 ·o 𝑢)))
99 opeq12 3778 . . . . . . . . . 10 (((𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))) = (((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣))) ∧ (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))) = ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑦 ·o 𝑢))) → ⟨(𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))⟩ = ⟨(((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣))), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑦 ·o 𝑢))⟩)
10099eceq1d 6565 . . . . . . . . 9 (((𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))) = (((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣))) ∧ (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))) = ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑦 ·o 𝑢))) → [⟨(𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))⟩] ~Q0 = [⟨(((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣))), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑦 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
10176, 98, 100syl2anc 411 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → [⟨(𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))⟩] ~Q0 = [⟨(((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣))), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑦 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
102 addnnnq0 7439 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
103102oveq2d 5885 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ))
104103adantl 277 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N))) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ))
10531, 34, 41syl2an 289 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢N) ∧ (𝑤N𝑣 ∈ ω)) → ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω)
106105an42s 589 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω)
10784ad2ant2l 508 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
10878eleq1d 2246 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤N𝑢N) → ((𝑤 ·N 𝑢) ∈ N ↔ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N))
109108ad2ant2l 508 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ((𝑤 ·N 𝑢) ∈ N ↔ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N))
110107, 109mpbid 147 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N)
111106, 110jca 306 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N))
112 mulnnnq0 7440 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
113 nnmcl 6476 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ω ∧ ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω) → (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) ∈ ω)
114 simpl 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦N ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N) → 𝑦N)
115 mulpiord 7307 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦N ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N) → (𝑦 ·N (𝑤 ·o 𝑢)) = (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))
116 mulclpi 7318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦N ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N) → (𝑦 ·N (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N)
117115, 116eqeltrrd 2255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑦N ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N) → (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N)
118114, 117jca 306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦N ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N) → (𝑦N ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N))
119113, 118anim12i 338 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ∈ ω ∧ ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω) ∧ (𝑦N ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N)) → ((𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) ∈ ω ∧ (𝑦N ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N)))
120 an12 561 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) ∈ ω ∧ (𝑦N ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N)) ↔ (𝑦N ∧ ((𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N)))
121 3anass 982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦N ∧ (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N) ↔ (𝑦N ∧ ((𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N)))
122120, 121bitr4i 187 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) ∈ ω ∧ (𝑦N ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N)) ↔ (𝑦N ∧ (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N))
123119, 122sylib 122 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 ∈ ω ∧ ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω) ∧ (𝑦N ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N)) → (𝑦N ∧ (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N))
124123an4s 588 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N)) → (𝑦N ∧ (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N))
125 mulcanenq0ec 7435 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦N ∧ (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ N) → [⟨(𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))⟩] ~Q0 = [⟨(𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
126124, 125syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N)) → [⟨(𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))⟩] ~Q0 = [⟨(𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
127112, 126eqtr4d 2213 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))⟩] ~Q0 )
128111, 127sylan2 286 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N))) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))⟩] ~Q0 )
129104, 128eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N))) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = [⟨(𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))⟩] ~Q0 )
1301293impb 1199 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = [⟨(𝑦 ·o (𝑥 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))⟩] ~Q0 )
131 mulnnnq0 7440 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑥 ·o 𝑧), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
132 mulnnnq0 7440 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨(𝑥 ·o 𝑣), (𝑦 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
133131, 132oveqan12d 5888 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) ∧ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N))) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ([⟨(𝑥 ·o 𝑧), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨(𝑥 ·o 𝑣), (𝑦 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ))
134 nnmcl 6476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑧) ∈ ω)
135 mulpiord 7307 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) = (𝑦 ·o 𝑤))
136 mulclpi 7318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·N 𝑤) ∈ N)
137135, 136eqeltrrd 2255 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦N𝑤N) → (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N)
138134, 137anim12i 338 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑧 ∈ ω) ∧ (𝑦N𝑤N)) → ((𝑥 ·o 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N))
139138an4s 588 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) → ((𝑥 ·o 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N))
140 nnmcl 6476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → (𝑥 ·o 𝑣) ∈ ω)
141 mulpiord 7307 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦N𝑢N) → (𝑦 ·N 𝑢) = (𝑦 ·o 𝑢))
142 mulclpi 7318 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦N𝑢N) → (𝑦 ·N 𝑢) ∈ N)
143141, 142eqeltrrd 2255 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦N𝑢N) → (𝑦 ·o 𝑢) ∈ N)
144140, 143anim12i 338 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) ∧ (𝑦N𝑢N)) → ((𝑥 ·o 𝑣) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑢) ∈ N))
145144an4s 588 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ((𝑥 ·o 𝑣) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑢) ∈ N))
146 addnnnq0 7439 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑥 ·o 𝑧) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N) ∧ ((𝑥 ·o 𝑣) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑢) ∈ N)) → ([⟨(𝑥 ·o 𝑧), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨(𝑥 ·o 𝑣), (𝑦 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ) = [⟨(((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣))), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑦 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
147139, 145, 146syl2an 289 . . . . . . . . . 10 ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) ∧ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N))) → ([⟨(𝑥 ·o 𝑧), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨(𝑥 ·o 𝑣), (𝑦 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ) = [⟨(((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣))), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑦 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
148133, 147eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N)) ∧ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N))) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = [⟨(((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣))), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑦 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
1491483impdi 1293 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = [⟨(((𝑥 ·o 𝑧) ·o (𝑦 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑥 ·o 𝑣))), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o (𝑦 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
150101, 130, 1493eqtr4d 2220 . . . . . . 7 (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))
1511503expib 1206 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦N) → (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
1521, 19, 151ecoptocl 6616 . . . . 5 (𝐴Q0 → (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (𝐴 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
153152com12 30 . . . 4 (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢N)) → (𝐴Q0 → (𝐴 ·Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ((𝐴 ·Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 (𝐴 ·Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
1541, 7, 13, 1532ecoptocl 6617 . . 3 ((𝐵Q0𝐶Q0) → (𝐴Q0 → (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 𝐶))))
155154com12 30 . 2 (𝐴Q0 → ((𝐵Q0𝐶Q0) → (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 𝐶))))
1561553impib 1201 1 ((𝐴Q0𝐵Q0𝐶Q0) → (𝐴 ·Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)) = ((𝐴 ·Q0 𝐵) +Q0 (𝐴 ·Q0 𝐶)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  cop 3594  ωcom 4586  (class class class)co 5869   +o coa 6408   ·o comu 6409  [cec 6527  Ncnpi 7262   ·N cmi 7264   ~Q0 ceq0 7276  Q0cnq0 7277   +Q0 cplq0 7279   ·Q0 cmq0 7280
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-iord 4363  df-on 4365  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-irdg 6365  df-oadd 6415  df-omul 6416  df-er 6529  df-ec 6531  df-qs 6535  df-ni 7294  df-mi 7296  df-enq0 7414  df-nq0 7415  df-plq0 7417  df-mq0 7418
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