ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqtri3or GIF version

Theorem nqtri3or 7413
Description: Trichotomy for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqtri3or ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <Q 𝐴))

Proof of Theorem nqtri3or
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7365 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 breq1 4021 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q𝐴 <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ))
3 eqeq1 2196 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q𝐴 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ))
4 breq2 4022 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q 𝐴))
52, 3, 43orbi123d 1322 . 2 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ↔ (𝐴 <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q𝐴 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q 𝐴)))
6 breq2 4022 . . 3 ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → (𝐴 <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q𝐴 <Q 𝐵))
7 eqeq2 2199 . . 3 ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → (𝐴 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q𝐴 = 𝐵))
8 breq1 4021 . . 3 ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q 𝐴𝐵 <Q 𝐴))
96, 7, 83orbi123d 1322 . 2 ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → ((𝐴 <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q𝐴 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q 𝐴) ↔ (𝐴 <Q 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <Q 𝐴)))
10 mulclpi 7345 . . . . 5 ((𝑧N𝑣N) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
1110ad2ant2rl 511 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
12 mulclpi 7345 . . . . 5 ((𝑤N𝑢N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
1312ad2ant2lr 510 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
14 pitri3or 7339 . . . 4 (((𝑧 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑣) <N (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣)))
1511, 13, 14syl2anc 411 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ((𝑧 ·N 𝑣) <N (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣)))
16 ordpipqqs 7391 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝑣) <N (𝑤 ·N 𝑢)))
17 enqeceq 7376 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑤 ·N 𝑢)))
18 ordpipqqs 7391 . . . . . 6 (((𝑢N𝑣N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑢 ·N 𝑤) <N (𝑣 ·N 𝑧)))
1918ancoms 268 . . . . 5 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑢 ·N 𝑤) <N (𝑣 ·N 𝑧)))
20 mulcompig 7348 . . . . . . 7 ((𝑤N𝑢N) → (𝑤 ·N 𝑢) = (𝑢 ·N 𝑤))
2120ad2ant2lr 510 . . . . . 6 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → (𝑤 ·N 𝑢) = (𝑢 ·N 𝑤))
22 mulcompig 7348 . . . . . . 7 ((𝑧N𝑣N) → (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑣 ·N 𝑧))
2322ad2ant2rl 511 . . . . . 6 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑣 ·N 𝑧))
2421, 23breq12d 4031 . . . . 5 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ((𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣) ↔ (𝑢 ·N 𝑤) <N (𝑣 ·N 𝑧)))
2519, 24bitr4d 191 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣)))
2616, 17, 253orbi123d 1322 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ↔ ((𝑧 ·N 𝑣) <N (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣))))
2715, 26mpbird 167 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
281, 5, 9, 272ecoptocl 6641 1 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <Q 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105  w3o 979   = wceq 1364  wcel 2160  cop 3610   class class class wbr 4018  (class class class)co 5891  [cec 6551  Ncnpi 7289   ·N cmi 7291   <N clti 7292   ~Q ceq 7296  Qcnq 7297   <Q cltq 7302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-eprel 4304  df-id 4308  df-iord 4381  df-on 4383  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238  df-fv 5239  df-ov 5894  df-oprab 5895  df-mpo 5896  df-1st 6159  df-2nd 6160  df-recs 6324  df-irdg 6389  df-oadd 6439  df-omul 6440  df-er 6553  df-ec 6555  df-qs 6559  df-ni 7321  df-mi 7323  df-lti 7324  df-enq 7364  df-nqqs 7365  df-ltnqqs 7370
This theorem is referenced by:  ltsonq  7415  nqtric  7416  addlocprlem  7552  nqprloc  7562  distrlem4prl  7601  distrlem4pru  7602  ltexprlemrl  7627  aptiprleml  7656  aptiprlemu  7657
  Copyright terms: Public domain W3C validator