ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqtri3or GIF version

Theorem nqtri3or 7009
Description: Trichotomy for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqtri3or ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <Q 𝐴))

Proof of Theorem nqtri3or
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 6961 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 breq1 3854 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q𝐴 <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ))
3 eqeq1 2095 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q𝐴 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ))
4 breq2 3855 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q 𝐴))
52, 3, 43orbi123d 1248 . 2 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ↔ (𝐴 <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q𝐴 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q 𝐴)))
6 breq2 3855 . . 3 ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → (𝐴 <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q𝐴 <Q 𝐵))
7 eqeq2 2098 . . 3 ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → (𝐴 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q𝐴 = 𝐵))
8 breq1 3854 . . 3 ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q 𝐴𝐵 <Q 𝐴))
96, 7, 83orbi123d 1248 . 2 ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → ((𝐴 <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q𝐴 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q 𝐴) ↔ (𝐴 <Q 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <Q 𝐴)))
10 mulclpi 6941 . . . . 5 ((𝑧N𝑣N) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
1110ad2ant2rl 496 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
12 mulclpi 6941 . . . . 5 ((𝑤N𝑢N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
1312ad2ant2lr 495 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
14 pitri3or 6935 . . . 4 (((𝑧 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑣) <N (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣)))
1511, 13, 14syl2anc 404 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ((𝑧 ·N 𝑣) <N (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣)))
16 ordpipqqs 6987 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝑣) <N (𝑤 ·N 𝑢)))
17 enqeceq 6972 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑤 ·N 𝑢)))
18 ordpipqqs 6987 . . . . . 6 (((𝑢N𝑣N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑢 ·N 𝑤) <N (𝑣 ·N 𝑧)))
1918ancoms 265 . . . . 5 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑢 ·N 𝑤) <N (𝑣 ·N 𝑧)))
20 mulcompig 6944 . . . . . . 7 ((𝑤N𝑢N) → (𝑤 ·N 𝑢) = (𝑢 ·N 𝑤))
2120ad2ant2lr 495 . . . . . 6 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → (𝑤 ·N 𝑢) = (𝑢 ·N 𝑤))
22 mulcompig 6944 . . . . . . 7 ((𝑧N𝑣N) → (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑣 ·N 𝑧))
2322ad2ant2rl 496 . . . . . 6 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑣 ·N 𝑧))
2421, 23breq12d 3864 . . . . 5 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ((𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣) ↔ (𝑢 ·N 𝑤) <N (𝑣 ·N 𝑧)))
2519, 24bitr4d 190 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣)))
2616, 17, 253orbi123d 1248 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ↔ ((𝑧 ·N 𝑣) <N (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣))))
2715, 26mpbird 166 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
281, 5, 9, 272ecoptocl 6394 1 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <Q 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3o 924   = wceq 1290  wcel 1439  cop 3453   class class class wbr 3851  (class class class)co 5666  [cec 6304  Ncnpi 6885   ·N cmi 6887   <N clti 6888   ~Q ceq 6892  Qcnq 6893   <Q cltq 6898
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 580  ax-in2 581  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-13 1450  ax-14 1451  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-coll 3960  ax-sep 3963  ax-nul 3971  ax-pow 4015  ax-pr 4045  ax-un 4269  ax-setind 4366  ax-iinf 4416
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 782  df-3or 926  df-3an 927  df-tru 1293  df-fal 1296  df-nf 1396  df-sb 1694  df-eu 1952  df-mo 1953  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ne 2257  df-ral 2365  df-rex 2366  df-reu 2367  df-rab 2369  df-v 2622  df-sbc 2842  df-csb 2935  df-dif 3002  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-nul 3288  df-pw 3435  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-int 3695  df-iun 3738  df-br 3852  df-opab 3906  df-mpt 3907  df-tr 3943  df-eprel 4125  df-id 4129  df-iord 4202  df-on 4204  df-suc 4207  df-iom 4419  df-xp 4457  df-rel 4458  df-cnv 4459  df-co 4460  df-dm 4461  df-rn 4462  df-res 4463  df-ima 4464  df-iota 4993  df-fun 5030  df-fn 5031  df-f 5032  df-f1 5033  df-fo 5034  df-f1o 5035  df-fv 5036  df-ov 5669  df-oprab 5670  df-mpt2 5671  df-1st 5925  df-2nd 5926  df-recs 6084  df-irdg 6149  df-oadd 6199  df-omul 6200  df-er 6306  df-ec 6308  df-qs 6312  df-ni 6917  df-mi 6919  df-lti 6920  df-enq 6960  df-nqqs 6961  df-ltnqqs 6966
This theorem is referenced by:  ltsonq  7011  nqtric  7012  addlocprlem  7148  nqprloc  7158  distrlem4prl  7197  distrlem4pru  7198  ltexprlemrl  7223  aptiprleml  7252  aptiprlemu  7253
  Copyright terms: Public domain W3C validator