ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqtri3or GIF version

Theorem nqtri3or 7211
Description: Trichotomy for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqtri3or ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <Q 𝐴))

Proof of Theorem nqtri3or
Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7163 . 2 Q = ((N × N) / ~Q )
2 breq1 3932 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q𝐴 <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ))
3 eqeq1 2146 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q𝐴 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ))
4 breq2 3933 . . 3 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q 𝐴))
52, 3, 43orbi123d 1289 . 2 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ↔ (𝐴 <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q𝐴 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q 𝐴)))
6 breq2 3933 . . 3 ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → (𝐴 <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q𝐴 <Q 𝐵))
7 eqeq2 2149 . . 3 ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → (𝐴 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q𝐴 = 𝐵))
8 breq1 3932 . . 3 ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q 𝐴𝐵 <Q 𝐴))
96, 7, 83orbi123d 1289 . 2 ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → ((𝐴 <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q𝐴 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q 𝐴) ↔ (𝐴 <Q 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <Q 𝐴)))
10 mulclpi 7143 . . . . 5 ((𝑧N𝑣N) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
1110ad2ant2rl 502 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
12 mulclpi 7143 . . . . 5 ((𝑤N𝑢N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
1312ad2ant2lr 501 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
14 pitri3or 7137 . . . 4 (((𝑧 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑣) <N (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣)))
1511, 13, 14syl2anc 408 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ((𝑧 ·N 𝑣) <N (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣)))
16 ordpipqqs 7189 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝑣) <N (𝑤 ·N 𝑢)))
17 enqeceq 7174 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑤 ·N 𝑢)))
18 ordpipqqs 7189 . . . . . 6 (((𝑢N𝑣N) ∧ (𝑧N𝑤N)) → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑢 ·N 𝑤) <N (𝑣 ·N 𝑧)))
1918ancoms 266 . . . . 5 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑢 ·N 𝑤) <N (𝑣 ·N 𝑧)))
20 mulcompig 7146 . . . . . . 7 ((𝑤N𝑢N) → (𝑤 ·N 𝑢) = (𝑢 ·N 𝑤))
2120ad2ant2lr 501 . . . . . 6 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → (𝑤 ·N 𝑢) = (𝑢 ·N 𝑤))
22 mulcompig 7146 . . . . . . 7 ((𝑧N𝑣N) → (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑣 ·N 𝑧))
2322ad2ant2rl 502 . . . . . 6 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑣 ·N 𝑧))
2421, 23breq12d 3942 . . . . 5 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ((𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣) ↔ (𝑢 ·N 𝑤) <N (𝑣 ·N 𝑧)))
2519, 24bitr4d 190 . . . 4 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣)))
2616, 17, 253orbi123d 1289 . . 3 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ↔ ((𝑧 ·N 𝑣) <N (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣))))
2715, 26mpbird 166 . 2 (((𝑧N𝑤N) ∧ (𝑢N𝑣N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
281, 5, 9, 272ecoptocl 6517 1 ((𝐴Q𝐵Q) → (𝐴 <Q 𝐵𝐴 = 𝐵𝐵 <Q 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3o 961   = wceq 1331  wcel 1480  cop 3530   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  [cec 6427  Ncnpi 7087   ·N cmi 7089   <N clti 7090   ~Q ceq 7094  Qcnq 7095   <Q cltq 7100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-eprel 4211  df-id 4215  df-iord 4288  df-on 4290  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-irdg 6267  df-oadd 6317  df-omul 6318  df-er 6429  df-ec 6431  df-qs 6435  df-ni 7119  df-mi 7121  df-lti 7122  df-enq 7162  df-nqqs 7163  df-ltnqqs 7168
This theorem is referenced by:  ltsonq  7213  nqtric  7214  addlocprlem  7350  nqprloc  7360  distrlem4prl  7399  distrlem4pru  7400  ltexprlemrl  7425  aptiprleml  7454  aptiprlemu  7455
  Copyright terms: Public domain W3C validator