ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqtri3or GIF version

Theorem nqtri3or 7409
Description: Trichotomy for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqtri3or ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต <Q ๐ด))

Proof of Theorem nqtri3or
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ค ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7361 . 2 Q = ((N ร— N) / ~Q )
2 breq1 4018 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†” ๐ด <Q [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q ))
3 eqeq1 2194 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†” ๐ด = [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q ))
4 breq2 4019 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q <Q ๐ด))
52, 3, 43orbi123d 1321 . 2 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ (([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โˆจ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โˆจ [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โ†” (๐ด <Q [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โˆจ ๐ด = [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โˆจ [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q <Q ๐ด)))
6 breq2 4019 . . 3 ([โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ (๐ด <Q [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†” ๐ด <Q ๐ต))
7 eqeq2 2197 . . 3 ([โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ (๐ด = [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†” ๐ด = ๐ต))
8 breq1 4018 . . 3 ([โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ ([โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q <Q ๐ด โ†” ๐ต <Q ๐ด))
96, 7, 83orbi123d 1321 . 2 ([โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ ((๐ด <Q [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โˆจ ๐ด = [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โˆจ [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q <Q ๐ด) โ†” (๐ด <Q ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต <Q ๐ด)))
10 mulclpi 7341 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)
1110ad2ant2rl 511 . . . 4 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)
12 mulclpi 7341 . . . . 5 ((๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
1312ad2ant2lr 510 . . . 4 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
14 pitri3or 7335 . . . 4 (((๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) <N (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆจ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆจ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) <N (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)))
1511, 13, 14syl2anc 411 . . 3 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) <N (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆจ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆจ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) <N (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)))
16 ordpipqqs 7387 . . . 4 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†” (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) <N (๐‘ค ยทN ๐‘ข)))
17 enqeceq 7372 . . . 4 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†” (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ค ยทN ๐‘ข)))
18 ordpipqqs 7387 . . . . . 6 (((๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” (๐‘ข ยทN ๐‘ค) <N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ง)))
1918ancoms 268 . . . . 5 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” (๐‘ข ยทN ๐‘ค) <N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ง)))
20 mulcompig 7344 . . . . . . 7 ((๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) = (๐‘ข ยทN ๐‘ค))
2120ad2ant2lr 510 . . . . . 6 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) = (๐‘ข ยทN ๐‘ค))
22 mulcompig 7344 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ฃ ยทN ๐‘ง))
2322ad2ant2rl 511 . . . . . 6 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ฃ ยทN ๐‘ง))
2421, 23breq12d 4028 . . . . 5 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ค ยทN ๐‘ข) <N (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โ†” (๐‘ข ยทN ๐‘ค) <N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ง)))
2519, 24bitr4d 191 . . . 4 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” (๐‘ค ยทN ๐‘ข) <N (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)))
2616, 17, 253orbi123d 1321 . . 3 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ (([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โˆจ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โˆจ [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โ†” ((๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) <N (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆจ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆจ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) <N (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ))))
2715, 26mpbird 167 . 2 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โˆจ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โˆจ [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ))
281, 5, 9, 272ecoptocl 6637 1 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต <Q ๐ด))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ w3o 978   = wceq 1363   โˆˆ wcel 2158  โŸจcop 3607   class class class wbr 4015  (class class class)co 5888  [cec 6547  Ncnpi 7285   ยทN cmi 7287   <N clti 7288   ~Q ceq 7292  Qcnq 7293   <Q cltq 7298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-eprel 4301  df-id 4305  df-iord 4378  df-on 4380  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6155  df-2nd 6156  df-recs 6320  df-irdg 6385  df-oadd 6435  df-omul 6436  df-er 6549  df-ec 6551  df-qs 6555  df-ni 7317  df-mi 7319  df-lti 7320  df-enq 7360  df-nqqs 7361  df-ltnqqs 7366
This theorem is referenced by:  ltsonq  7411  nqtric  7412  addlocprlem  7548  nqprloc  7558  distrlem4prl  7597  distrlem4pru  7598  ltexprlemrl  7623  aptiprleml  7652  aptiprlemu  7653
  Copyright terms: Public domain W3C validator