Theorem nqtri3or 7358

Description: Trichotomy for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqtri3or	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 <Q 𝐴))

Proof of Theorem nqtri3or

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7310	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		breq1 3992	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ↔ 𝐴 <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ))
3		eqeq1 2177	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ↔ 𝐴 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ))
4		breq2 3993	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q 𝐴))
5	2, 3, 4	3orbi123d 1306	. 2 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ↔ (𝐴 <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ 𝐴 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q 𝐴)))
6		breq2 3993	. . 3 ⊢ ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → (𝐴 <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ↔ 𝐴 <Q 𝐵))
7		eqeq2 2180	. . 3 ⊢ ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → (𝐴 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ↔ 𝐴 = 𝐵))
8		breq1 3992	. . 3 ⊢ ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q 𝐴 ↔ 𝐵 <Q 𝐴))
9	6, 7, 8	3orbi123d 1306	. 2 ⊢ ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → ((𝐴 <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ 𝐴 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q 𝐴) ↔ (𝐴 <Q 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 <Q 𝐴)))
10		mulclpi 7290	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
11	10	ad2ant2rl 508	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
12		mulclpi 7290	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
13	12	ad2ant2lr 507	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
14		pitri3or 7284	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑣) <N (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣)))
15	11, 13, 14	syl2anc 409	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑧 ·N 𝑣) <N (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣)))
16		ordpipqqs 7336	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝑣) <N (𝑤 ·N 𝑢)))
17		enqeceq 7321	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑤 ·N 𝑢)))
18		ordpipqqs 7336	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑢 ·N 𝑤) <N (𝑣 ·N 𝑧)))
19	18	ancoms 266	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑢 ·N 𝑤) <N (𝑣 ·N 𝑧)))
20		mulcompig 7293	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑢) = (𝑢 ·N 𝑤))
21	20	ad2ant2lr 507	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑢) = (𝑢 ·N 𝑤))
22		mulcompig 7293	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑣 ·N 𝑧))
23	22	ad2ant2rl 508	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑣 ·N 𝑧))
24	21, 23	breq12d 4002	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣) ↔ (𝑢 ·N 𝑤) <N (𝑣 ·N 𝑧)))
25	19, 24	bitr4d 190	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣)))
26	16, 17, 25	3orbi123d 1306	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ↔ ((𝑧 ·N 𝑣) <N (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣))))
27	15, 26	mpbird 166	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
28	1, 5, 9, 27	2ecoptocl 6601	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 <Q 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∨ w3o 972   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  ⟨cop 3586   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  [cec 6511  Ncnpi 7234   ·_N cmi 7236   <_N clti 7237   ~_Q ceq 7241  Qcnq 7242   <_Q cltq 7247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4104  ax-sep 4107  ax-nul 4115  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-iinf 4572

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-iun 3875  df-br 3990  df-opab 4051  df-mpt 4052  df-tr 4088  df-eprel 4274  df-id 4278  df-iord 4351  df-on 4353  df-suc 4356  df-iom 4575  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-rn 4622  df-res 4623  df-ima 4624  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fn 5201  df-f 5202  df-f1 5203  df-fo 5204  df-f1o 5205  df-fv 5206  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-1st 6119  df-2nd 6120  df-recs 6284  df-irdg 6349  df-oadd 6399  df-omul 6400  df-er 6513  df-ec 6515  df-qs 6519  df-ni 7266  df-mi 7268  df-lti 7269  df-enq 7309  df-nqqs 7310  df-ltnqqs 7315

This theorem is referenced by:  ltsonq  7360  nqtric  7361  addlocprlem  7497  nqprloc  7507  distrlem4prl  7546  distrlem4pru  7547  ltexprlemrl  7572  aptiprleml  7601  aptiprlemu  7602