ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nqtri3or GIF version

Theorem nqtri3or 7398
Description: Trichotomy for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
nqtri3or ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต <Q ๐ด))

Proof of Theorem nqtri3or
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ฃ ๐‘ค ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-nqqs 7350 . 2 Q = ((N ร— N) / ~Q )
2 breq1 4008 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†” ๐ด <Q [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q ))
3 eqeq1 2184 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†” ๐ด = [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q ))
4 breq2 4009 . . 3 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ ([โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q <Q ๐ด))
52, 3, 43orbi123d 1311 . 2 ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = ๐ด โ†’ (([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โˆจ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โˆจ [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โ†” (๐ด <Q [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โˆจ ๐ด = [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โˆจ [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q <Q ๐ด)))
6 breq2 4009 . . 3 ([โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ (๐ด <Q [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†” ๐ด <Q ๐ต))
7 eqeq2 2187 . . 3 ([โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ (๐ด = [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†” ๐ด = ๐ต))
8 breq1 4008 . . 3 ([โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ ([โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q <Q ๐ด โ†” ๐ต <Q ๐ด))
96, 7, 83orbi123d 1311 . 2 ([โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q = ๐ต โ†’ ((๐ด <Q [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โˆจ ๐ด = [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โˆจ [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q <Q ๐ด) โ†” (๐ด <Q ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต <Q ๐ด)))
10 mulclpi 7330 . . . . 5 ((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)
1110ad2ant2rl 511 . . . 4 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N)
12 mulclpi 7330 . . . . 5 ((๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
1312ad2ant2lr 510 . . . 4 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N)
14 pitri3or 7324 . . . 4 (((๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โˆˆ N โˆง (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆˆ N) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) <N (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆจ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆจ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) <N (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)))
1511, 13, 14syl2anc 411 . . 3 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) <N (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆจ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆจ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) <N (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)))
16 ordpipqqs 7376 . . . 4 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†” (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) <N (๐‘ค ยทN ๐‘ข)))
17 enqeceq 7361 . . . 4 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โ†” (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ค ยทN ๐‘ข)))
18 ordpipqqs 7376 . . . . . 6 (((๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โˆง (๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” (๐‘ข ยทN ๐‘ค) <N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ง)))
1918ancoms 268 . . . . 5 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” (๐‘ข ยทN ๐‘ค) <N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ง)))
20 mulcompig 7333 . . . . . . 7 ((๐‘ค โˆˆ N โˆง ๐‘ข โˆˆ N) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) = (๐‘ข ยทN ๐‘ค))
2120ad2ant2lr 510 . . . . . 6 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) = (๐‘ข ยทN ๐‘ค))
22 mulcompig 7333 . . . . . . 7 ((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ฃ ยทN ๐‘ง))
2322ad2ant2rl 511 . . . . . 6 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ฃ ยทN ๐‘ง))
2421, 23breq12d 4018 . . . . 5 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ((๐‘ค ยทN ๐‘ข) <N (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) โ†” (๐‘ข ยทN ๐‘ค) <N (๐‘ฃ ยทN ๐‘ง)))
2519, 24bitr4d 191 . . . 4 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q โ†” (๐‘ค ยทN ๐‘ข) <N (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ)))
2616, 17, 253orbi123d 1311 . . 3 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ (([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โˆจ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โˆจ [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ) โ†” ((๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) <N (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆจ (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ) = (๐‘ค ยทN ๐‘ข) โˆจ (๐‘ค ยทN ๐‘ข) <N (๐‘ง ยทN ๐‘ฃ))))
2715, 26mpbird 167 . 2 (((๐‘ง โˆˆ N โˆง ๐‘ค โˆˆ N) โˆง (๐‘ข โˆˆ N โˆง ๐‘ฃ โˆˆ N)) โ†’ ([โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โˆจ [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q = [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q โˆจ [โŸจ๐‘ข, ๐‘ฃโŸฉ] ~Q <Q [โŸจ๐‘ง, ๐‘คโŸฉ] ~Q ))
281, 5, 9, 272ecoptocl 6626 1 ((๐ด โˆˆ Q โˆง ๐ต โˆˆ Q) โ†’ (๐ด <Q ๐ต โˆจ ๐ด = ๐ต โˆจ ๐ต <Q ๐ด))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   โˆจ w3o 977   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โŸจcop 3597   class class class wbr 4005  (class class class)co 5878  [cec 6536  Ncnpi 7274   ยทN cmi 7276   <N clti 7277   ~Q ceq 7281  Qcnq 7282   <Q cltq 7287
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-eprel 4291  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-1st 6144  df-2nd 6145  df-recs 6309  df-irdg 6374  df-oadd 6424  df-omul 6425  df-er 6538  df-ec 6540  df-qs 6544  df-ni 7306  df-mi 7308  df-lti 7309  df-enq 7349  df-nqqs 7350  df-ltnqqs 7355
This theorem is referenced by:  ltsonq  7400  nqtric  7401  addlocprlem  7537  nqprloc  7547  distrlem4prl  7586  distrlem4pru  7587  ltexprlemrl  7612  aptiprleml  7641  aptiprlemu  7642
  Copyright terms: Public domain W3C validator