Theorem nqtri3or 7616

Description: Trichotomy for positive fractions. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
nqtri3or	⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 <Q 𝐴))

Proof of Theorem nqtri3or

Dummy variables 𝑢 𝑣 𝑤 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 7568	. 2 ⊢ Q = ((N × N) / ~Q )
2		breq1 4091	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ↔ 𝐴 <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ))
3		eqeq1 2238	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ↔ 𝐴 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ))
4		breq2 4092	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐴 → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q 𝐴))
5	2, 3, 4	3orbi123d 1347	. 2 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = 𝐴 → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ↔ (𝐴 <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ 𝐴 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q 𝐴)))
6		breq2 4092	. . 3 ⊢ ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → (𝐴 <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ↔ 𝐴 <Q 𝐵))
7		eqeq2 2241	. . 3 ⊢ ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → (𝐴 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ↔ 𝐴 = 𝐵))
8		breq1 4091	. . 3 ⊢ ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q 𝐴 ↔ 𝐵 <Q 𝐴))
9	6, 7, 8	3orbi123d 1347	. 2 ⊢ ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q = 𝐵 → ((𝐴 <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ 𝐴 = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q 𝐴) ↔ (𝐴 <Q 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 <Q 𝐴)))
10		mulclpi 7548	. . . . 5 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
11	10	ad2ant2rl 511	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → (𝑧 ·N 𝑣) ∈ N)
12		mulclpi 7548	. . . . 5 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
13	12	ad2ant2lr 510	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N)
14		pitri3or 7542	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ·N 𝑣) ∈ N ∧ (𝑤 ·N 𝑢) ∈ N) → ((𝑧 ·N 𝑣) <N (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣)))
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑧 ·N 𝑣) <N (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣)))
16		ordpipqqs 7594	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝑣) <N (𝑤 ·N 𝑢)))
17		enqeceq 7579	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ↔ (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑤 ·N 𝑢)))
18		ordpipqqs 7594	. . . . . 6 ⊢ (((𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑢 ·N 𝑤) <N (𝑣 ·N 𝑧)))
19	18	ancoms 268	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑢 ·N 𝑤) <N (𝑣 ·N 𝑧)))
20		mulcompig 7551	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ N ∧ 𝑢 ∈ N) → (𝑤 ·N 𝑢) = (𝑢 ·N 𝑤))
21	20	ad2ant2lr 510	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → (𝑤 ·N 𝑢) = (𝑢 ·N 𝑤))
22		mulcompig 7551	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N) → (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑣 ·N 𝑧))
23	22	ad2ant2rl 511	. . . . . 6 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑣 ·N 𝑧))
24	21, 23	breq12d 4101	. . . . 5 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ((𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣) ↔ (𝑢 ·N 𝑤) <N (𝑣 ·N 𝑧)))
25	19, 24	bitr4d 191	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ([⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ↔ (𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣)))
26	16, 17, 25	3orbi123d 1347	. . 3 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → (([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ) ↔ ((𝑧 ·N 𝑣) <N (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑧 ·N 𝑣) = (𝑤 ·N 𝑢) ∨ (𝑤 ·N 𝑢) <N (𝑧 ·N 𝑣))))
27	15, 26	mpbird 167	. 2 ⊢ (((𝑧 ∈ N ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑢 ∈ N ∧ 𝑣 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q <Q [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q = [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q ∨ [⟨𝑢, 𝑣⟩] ~Q <Q [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q ))
28	1, 5, 9, 27	2ecoptocl 6792	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q ∧ 𝐵 ∈ Q) → (𝐴 <Q 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵 ∨ 𝐵 <Q 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ w3o 1003   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088  (class class class)co 6018  [cec 6700  Ncnpi 7492   ·_N cmi 7494   <_N clti 7495   ~_Q ceq 7499  Qcnq 7500   <_Q cltq 7505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-oadd 6586  df-omul 6587  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-ni 7524  df-mi 7526  df-lti 7527  df-enq 7567  df-nqqs 7568  df-ltnqqs 7573

This theorem is referenced by:  ltsonq  7618  nqtric  7619  addlocprlem  7755  nqprloc  7765  distrlem4prl  7804  distrlem4pru  7805  ltexprlemrl  7830  aptiprleml  7859  aptiprlemu  7860