Theorem addassnq0 7823

Description: Addition of nonnegative fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addassnq0	⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)))

Proof of Theorem addassnq0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 7786	. . . 4 ⊢ Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
2		oveq2 6087	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 𝐵))
3	2	oveq1d 6094	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
4		oveq1 6086	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
5	4	oveq2d 6095	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))
6	3, 5	eqeq12d 2253	. . . . 5 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) ↔ ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
7	6	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ Q0 → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))) ↔ (𝐴 ∈ Q0 → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))))
8		oveq2 6087	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶))
9		oveq2 6087	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐵 +Q0 𝐶))
10	9	oveq2d 6095	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)))
11	8, 10	eqeq12d 2253	. . . . 5 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → (((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) ↔ ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶))))
12	11	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → ((𝐴 ∈ Q0 → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))) ↔ (𝐴 ∈ Q0 → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)))))
13		oveq1 6086	. . . . . . . . 9 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
14	13	oveq1d 6094	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
15		oveq1 6086	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))
16	14, 15	eqeq12d 2253	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ((([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) ↔ ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
17	16	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ((((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))) ↔ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))))
18		simp1l 1052	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑥 ∈ ω)
19		simp2r 1055	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑤 ∈ N)
20		pinn 7670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ N → 𝑤 ∈ ω)
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑤 ∈ ω)
22		simp3r 1057	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑢 ∈ N)
23		pinn 7670	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 ∈ N → 𝑢 ∈ ω)
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑢 ∈ ω)
25		nnmcl 6748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ ω) → (𝑤 ·o 𝑢) ∈ ω)
26	21, 24, 25	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·o 𝑢) ∈ ω)
27		nnmcl 6748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ ω) → (𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ ω)
28	18, 26, 27	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ ω)
29		simp1r 1053	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑦 ∈ N)
30		pinn 7670	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ N → 𝑦 ∈ ω)
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑦 ∈ ω)
32		simp2l 1054	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑧 ∈ ω)
33		nnmcl 6748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ ω) → (𝑧 ·o 𝑢) ∈ ω)
34	32, 24, 33	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑧 ·o 𝑢) ∈ ω)
35		nnmcl 6748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ (𝑧 ·o 𝑢) ∈ ω) → (𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢)) ∈ ω)
36	31, 34, 35	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢)) ∈ ω)
37		simp3l 1056	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑣 ∈ ω)
38		nnmcl 6748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → (𝑤 ·o 𝑣) ∈ ω)
39	21, 37, 38	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·o 𝑣) ∈ ω)
40		nnmcl 6748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑣) ∈ ω) → (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω)
41	31, 39, 40	syl2anc 415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω)
42		nnaass 6752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω) → (((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢))) +o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣))) = ((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣)))))
43	28, 36, 41, 42	syl3anc 1278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢))) +o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣))) = ((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣)))))
44		nnmcom 6756	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω) → (𝑓 ·o 𝑔) = (𝑔 ·o 𝑓))
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 ·o 𝑔) = (𝑔 ·o 𝑓))
46		nndir 6757	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ℎ ∈ ω) → ((𝑓 +o 𝑔) ·o ℎ) = ((𝑓 ·o ℎ) +o (𝑔 ·o ℎ)))
47	46	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ℎ ∈ ω)) → ((𝑓 +o 𝑔) ·o ℎ) = ((𝑓 ·o ℎ) +o (𝑔 ·o ℎ)))
48		nnmass 6754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ℎ ∈ ω) → ((𝑓 ·o 𝑔) ·o ℎ) = (𝑓 ·o (𝑔 ·o ℎ)))
49	48	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ℎ ∈ ω)) → ((𝑓 ·o 𝑔) ·o ℎ) = (𝑓 ·o (𝑔 ·o ℎ)))
50		nnmcl 6748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω) → (𝑓 ·o 𝑔) ∈ ω)
51	50	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 ·o 𝑔) ∈ ω)
52	45, 47, 49, 51, 18, 31, 21, 32, 24	caovdilemd 6275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) = ((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢))))
53		nnmass 6754	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣) = (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣)))
54	31, 21, 37, 53	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣) = (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣)))
55	52, 54	oveq12d 6097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)) = (((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢))) +o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣))))
56		nndi 6753	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ (𝑧 ·o 𝑢) ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑣) ∈ ω) → (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) = ((𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣))))
57	31, 34, 39, 56	syl3anc 1278	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) = ((𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣))))
58	57	oveq2d 6095	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))) = ((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣)))))
59	43, 55, 58	3eqtr4d 2281	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)) = ((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))))
60		nnmass 6754	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ ω) → ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢) = (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))
61	31, 21, 24, 60	syl3anc 1278	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢) = (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))
62		opeq12 3904	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)) = ((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))) ∧ ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢) = (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))) → ⟨((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢)⟩ = ⟨((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩)
63	62	eceq1d 6837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)) = ((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))) ∧ ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢) = (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))) → [⟨((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢)⟩] ~Q0 = [⟨((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
64	59, 61, 63	syl2anc 415	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → [⟨((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢)⟩] ~Q0 = [⟨((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
65		addnnnq0 7810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
66	65	oveq1d 6094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ([⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ([⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
68		addassnq0lemcl 7822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → (((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N))
69		addnnnq0 7810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
70	68, 69	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
71	67, 70	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
72	71	3impa 1225	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
73		addnnnq0 7810	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
74	73	oveq2d 6095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ))
75	74	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N))) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ))
76		addassnq0lemcl 7822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N))
77		addnnnq0 7810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
78	76, 77	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N))) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
79	75, 78	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N))) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = [⟨((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
80	79	3impb 1230	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = [⟨((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
81	64, 72, 80	3eqtr4d 2281	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))
82	81	3expib 1237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) → (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
83	1, 17, 82	ecoptocl 6890	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
84	83	com12 30	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝐴 ∈ Q0 → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
85	1, 7, 12, 84	2ecoptocl 6891	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → (𝐴 ∈ Q0 → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶))))
86	85	com12 30	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ((𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶))))
87	86	3impib 1232	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3711  ωcom 4735  (class class class)co 6079   +_o coa 6678   ·_o comu 6679  [cec 6799  Ncnpi 7633   ~_Q0 ceq0 7647  Q₀cnq0 7648   +_Q0 cplq0 7650

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-nul 4257  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-iinf 4733

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-tr 4228  df-id 4436  df-iord 4509  df-on 4511  df-suc 4514  df-iom 4736  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-1st 6368  df-2nd 6369  df-recs 6570  df-irdg 6635  df-oadd 6685  df-omul 6686  df-er 6801  df-ec 6803  df-qs 6807  df-ni 7665  df-mi 7667  df-enq0 7785  df-nq0 7786  df-plq0 7788

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7863