Theorem addassnq0 7461

Description: Addition of nonnegative fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addassnq0	⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)))

Proof of Theorem addassnq0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 7424	. . . 4 ⊢ Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
2		oveq2 5883	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 𝐵))
3	2	oveq1d 5890	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
4		oveq1 5882	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
5	4	oveq2d 5891	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))
6	3, 5	eqeq12d 2192	. . . . 5 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) ↔ ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
7	6	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ Q0 → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))) ↔ (𝐴 ∈ Q0 → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))))
8		oveq2 5883	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶))
9		oveq2 5883	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐵 +Q0 𝐶))
10	9	oveq2d 5891	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)))
11	8, 10	eqeq12d 2192	. . . . 5 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → (((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) ↔ ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶))))
12	11	imbi2d 230	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → ((𝐴 ∈ Q0 → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))) ↔ (𝐴 ∈ Q0 → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)))))
13		oveq1 5882	. . . . . . . . 9 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
14	13	oveq1d 5890	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
15		oveq1 5882	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))
16	14, 15	eqeq12d 2192	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ((([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) ↔ ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
17	16	imbi2d 230	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ((((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))) ↔ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))))
18		simp1l 1021	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑥 ∈ ω)
19		simp2r 1024	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑤 ∈ N)
20		pinn 7308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ N → 𝑤 ∈ ω)
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑤 ∈ ω)
22		simp3r 1026	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑢 ∈ N)
23		pinn 7308	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 ∈ N → 𝑢 ∈ ω)
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑢 ∈ ω)
25		nnmcl 6482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ ω) → (𝑤 ·o 𝑢) ∈ ω)
26	21, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·o 𝑢) ∈ ω)
27		nnmcl 6482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ ω) → (𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ ω)
28	18, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ ω)
29		simp1r 1022	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑦 ∈ N)
30		pinn 7308	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ N → 𝑦 ∈ ω)
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑦 ∈ ω)
32		simp2l 1023	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑧 ∈ ω)
33		nnmcl 6482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ ω) → (𝑧 ·o 𝑢) ∈ ω)
34	32, 24, 33	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑧 ·o 𝑢) ∈ ω)
35		nnmcl 6482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ (𝑧 ·o 𝑢) ∈ ω) → (𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢)) ∈ ω)
36	31, 34, 35	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢)) ∈ ω)
37		simp3l 1025	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑣 ∈ ω)
38		nnmcl 6482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → (𝑤 ·o 𝑣) ∈ ω)
39	21, 37, 38	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·o 𝑣) ∈ ω)
40		nnmcl 6482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑣) ∈ ω) → (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω)
41	31, 39, 40	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω)
42		nnaass 6486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω) → (((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢))) +o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣))) = ((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣)))))
43	28, 36, 41, 42	syl3anc 1238	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢))) +o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣))) = ((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣)))))
44		nnmcom 6490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω) → (𝑓 ·o 𝑔) = (𝑔 ·o 𝑓))
45	44	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 ·o 𝑔) = (𝑔 ·o 𝑓))
46		nndir 6491	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ℎ ∈ ω) → ((𝑓 +o 𝑔) ·o ℎ) = ((𝑓 ·o ℎ) +o (𝑔 ·o ℎ)))
47	46	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ℎ ∈ ω)) → ((𝑓 +o 𝑔) ·o ℎ) = ((𝑓 ·o ℎ) +o (𝑔 ·o ℎ)))
48		nnmass 6488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ℎ ∈ ω) → ((𝑓 ·o 𝑔) ·o ℎ) = (𝑓 ·o (𝑔 ·o ℎ)))
49	48	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ℎ ∈ ω)) → ((𝑓 ·o 𝑔) ·o ℎ) = (𝑓 ·o (𝑔 ·o ℎ)))
50		nnmcl 6482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω) → (𝑓 ·o 𝑔) ∈ ω)
51	50	adantl 277	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 ·o 𝑔) ∈ ω)
52	45, 47, 49, 51, 18, 31, 21, 32, 24	caovdilemd 6066	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) = ((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢))))
53		nnmass 6488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣) = (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣)))
54	31, 21, 37, 53	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣) = (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣)))
55	52, 54	oveq12d 5893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)) = (((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢))) +o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣))))
56		nndi 6487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ (𝑧 ·o 𝑢) ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑣) ∈ ω) → (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) = ((𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣))))
57	31, 34, 39, 56	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) = ((𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣))))
58	57	oveq2d 5891	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))) = ((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣)))))
59	43, 55, 58	3eqtr4d 2220	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)) = ((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))))
60		nnmass 6488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ ω) → ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢) = (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))
61	31, 21, 24, 60	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢) = (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))
62		opeq12 3781	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)) = ((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))) ∧ ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢) = (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))) → ⟨((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢)⟩ = ⟨((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩)
63	62	eceq1d 6571	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)) = ((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))) ∧ ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢) = (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))) → [⟨((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢)⟩] ~Q0 = [⟨((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
64	59, 61, 63	syl2anc 411	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → [⟨((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢)⟩] ~Q0 = [⟨((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
65		addnnnq0 7448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
66	65	oveq1d 5890	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ([⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
67	66	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ([⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
68		addassnq0lemcl 7460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → (((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N))
69		addnnnq0 7448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
70	68, 69	sylan 283	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
71	67, 70	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
72	71	3impa 1194	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
73		addnnnq0 7448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
74	73	oveq2d 5891	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ))
75	74	adantl 277	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N))) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ))
76		addassnq0lemcl 7460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N))
77		addnnnq0 7448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
78	76, 77	sylan2 286	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N))) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
79	75, 78	eqtrd 2210	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N))) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = [⟨((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
80	79	3impb 1199	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = [⟨((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
81	64, 72, 80	3eqtr4d 2220	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))
82	81	3expib 1206	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) → (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
83	1, 17, 82	ecoptocl 6622	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
84	83	com12 30	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝐴 ∈ Q0 → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
85	1, 7, 12, 84	2ecoptocl 6623	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → (𝐴 ∈ Q0 → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶))))
86	85	com12 30	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ((𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶))))
87	86	3impib 1201	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ⟨cop 3596  ωcom 4590  (class class class)co 5875   +_o coa 6414   ·_o comu 6415  [cec 6533  Ncnpi 7271   ~_Q0 ceq0 7285  Q₀cnq0 7286   +_Q0 cplq0 7288

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4119  ax-sep 4122  ax-nul 4130  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-iinf 4588

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-csb 3059  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-nul 3424  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-iun 3889  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-tr 4103  df-id 4294  df-iord 4367  df-on 4369  df-suc 4372  df-iom 4591  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-ima 4640  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-1st 6141  df-2nd 6142  df-recs 6306  df-irdg 6371  df-oadd 6421  df-omul 6422  df-er 6535  df-ec 6537  df-qs 6541  df-ni 7303  df-mi 7305  df-enq0 7423  df-nq0 7424  df-plq0 7426

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7501