Theorem addassnq0 7403

Description: Addition of nonnegative fractions is associative. (Contributed by Jim Kingdon, 29-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
addassnq0	⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)))

Proof of Theorem addassnq0

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 𝑣 𝑢 𝑓 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq0 7366	. . . 4 ⊢ Q0 = ((ω × N) / ~Q0 )
2		oveq2 5850	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 𝐵))
3	2	oveq1d 5857	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
4		oveq1 5849	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
5	4	oveq2d 5858	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))
6	3, 5	eqeq12d 2180	. . . . 5 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → (((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) ↔ ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
7	6	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 = 𝐵 → ((𝐴 ∈ Q0 → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))) ↔ (𝐴 ∈ Q0 → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))))
8		oveq2 5850	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶))
9		oveq2 5850	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐵 +Q0 𝐶))
10	9	oveq2d 5858	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)))
11	8, 10	eqeq12d 2180	. . . . 5 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → (((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) ↔ ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶))))
12	11	imbi2d 229	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 = 𝐶 → ((𝐴 ∈ Q0 → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))) ↔ (𝐴 ∈ Q0 → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)))))
13		oveq1 5849	. . . . . . . . 9 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ))
14	13	oveq1d 5857	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
15		oveq1 5849	. . . . . . . 8 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))
16	14, 15	eqeq12d 2180	. . . . . . 7 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ((([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) ↔ ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
17	16	imbi2d 229	. . . . . 6 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 = 𝐴 → ((((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))) ↔ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))))
18		simp1l 1011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑥 ∈ ω)
19		simp2r 1014	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑤 ∈ N)
20		pinn 7250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 ∈ N → 𝑤 ∈ ω)
21	19, 20	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑤 ∈ ω)
22		simp3r 1016	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑢 ∈ N)
23		pinn 7250	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑢 ∈ N → 𝑢 ∈ ω)
24	22, 23	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑢 ∈ ω)
25		nnmcl 6449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ ω) → (𝑤 ·o 𝑢) ∈ ω)
26	21, 24, 25	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·o 𝑢) ∈ ω)
27		nnmcl 6449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ ω) → (𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ ω)
28	18, 26, 27	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ ω)
29		simp1r 1012	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑦 ∈ N)
30		pinn 7250	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ N → 𝑦 ∈ ω)
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑦 ∈ ω)
32		simp2l 1013	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑧 ∈ ω)
33		nnmcl 6449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ ω) → (𝑧 ·o 𝑢) ∈ ω)
34	32, 24, 33	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑧 ·o 𝑢) ∈ ω)
35		nnmcl 6449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ (𝑧 ·o 𝑢) ∈ ω) → (𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢)) ∈ ω)
36	31, 34, 35	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢)) ∈ ω)
37		simp3l 1015	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → 𝑣 ∈ ω)
38		nnmcl 6449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → (𝑤 ·o 𝑣) ∈ ω)
39	21, 37, 38	syl2anc 409	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑤 ·o 𝑣) ∈ ω)
40		nnmcl 6449	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑣) ∈ ω) → (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω)
41	31, 39, 40	syl2anc 409	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω)
42		nnaass 6453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω) → (((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢))) +o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣))) = ((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣)))))
43	28, 36, 41, 42	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢))) +o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣))) = ((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣)))))
44		nnmcom 6457	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω) → (𝑓 ·o 𝑔) = (𝑔 ·o 𝑓))
45	44	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 ·o 𝑔) = (𝑔 ·o 𝑓))
46		nndir 6458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ℎ ∈ ω) → ((𝑓 +o 𝑔) ·o ℎ) = ((𝑓 ·o ℎ) +o (𝑔 ·o ℎ)))
47	46	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ℎ ∈ ω)) → ((𝑓 +o 𝑔) ·o ℎ) = ((𝑓 ·o ℎ) +o (𝑔 ·o ℎ)))
48		nnmass 6455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ℎ ∈ ω) → ((𝑓 ·o 𝑔) ·o ℎ) = (𝑓 ·o (𝑔 ·o ℎ)))
49	48	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω ∧ ℎ ∈ ω)) → ((𝑓 ·o 𝑔) ·o ℎ) = (𝑓 ·o (𝑔 ·o ℎ)))
50		nnmcl 6449	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω) → (𝑓 ·o 𝑔) ∈ ω)
51	50	adantl 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) ∧ (𝑓 ∈ ω ∧ 𝑔 ∈ ω)) → (𝑓 ·o 𝑔) ∈ ω)
52	45, 47, 49, 51, 18, 31, 21, 32, 24	caovdilemd 6033	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) = ((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢))))
53		nnmass 6455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω ∧ 𝑣 ∈ ω) → ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣) = (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣)))
54	31, 21, 37, 53	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣) = (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣)))
55	52, 54	oveq12d 5860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)) = (((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢))) +o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣))))
56		nndi 6454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ (𝑧 ·o 𝑢) ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑣) ∈ ω) → (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) = ((𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣))))
57	31, 34, 39, 56	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣))) = ((𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣))))
58	57	oveq2d 5858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))) = ((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o ((𝑦 ·o (𝑧 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑣)))))
59	43, 55, 58	3eqtr4d 2208	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)) = ((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))))
60		nnmass 6455	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ ω) → ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢) = (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))
61	31, 21, 24, 60	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢) = (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢)))
62		opeq12 3760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)) = ((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))) ∧ ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢) = (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))) → ⟨((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢)⟩ = ⟨((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩)
63	62	eceq1d 6537	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)) = ((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))) ∧ ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢) = (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))) → [⟨((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢)⟩] ~Q0 = [⟨((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
64	59, 61, 63	syl2anc 409	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → [⟨((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢)⟩] ~Q0 = [⟨((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
65		addnnnq0 7390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 )
66	65	oveq1d 5857	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ([⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
67	66	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ([⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))
68		addassnq0lemcl 7402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) → (((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N))
69		addnnnq0 7390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ∈ ω ∧ (𝑦 ·o 𝑤) ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
70	68, 69	sylan 281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)), (𝑦 ·o 𝑤)⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
71	67, 70	eqtrd 2198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N)) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
72	71	3impa 1184	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((((𝑥 ·o 𝑤) +o (𝑦 ·o 𝑧)) ·o 𝑢) +o ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑣)), ((𝑦 ·o 𝑤) ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
73		addnnnq0 7390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 )
74	73	oveq2d 5858	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ))
75	74	adantl 275	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N))) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ))
76		addassnq0lemcl 7402	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N))
77		addnnnq0 7390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)) ∈ ω ∧ (𝑤 ·o 𝑢) ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
78	76, 77	sylan2 284	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N))) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)), (𝑤 ·o 𝑢)⟩] ~Q0 ) = [⟨((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
79	75, 78	eqtrd 2198	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ ((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N))) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = [⟨((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
80	79	3impb 1189	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )) = [⟨((𝑥 ·o (𝑤 ·o 𝑢)) +o (𝑦 ·o ((𝑧 ·o 𝑢) +o (𝑤 ·o 𝑣)))), (𝑦 ·o (𝑤 ·o 𝑢))⟩] ~Q0 )
81	64, 72, 80	3eqtr4d 2208	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) ∧ (𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 )))
82	81	3expib 1196	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ω ∧ 𝑦 ∈ N) → (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~Q0 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
83	1, 17, 82	ecoptocl 6588	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
84	83	com12 30	. . . 4 ⊢ (((𝑧 ∈ ω ∧ 𝑤 ∈ N) ∧ (𝑣 ∈ ω ∧ 𝑢 ∈ N)) → (𝐴 ∈ Q0 → ((𝐴 +Q0 [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 ) +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ) = (𝐴 +Q0 ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~Q0 +Q0 [⟨𝑣, 𝑢⟩] ~Q0 ))))
85	1, 7, 12, 84	2ecoptocl 6589	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → (𝐴 ∈ Q0 → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶))))
86	85	com12 30	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Q0 → ((𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶))))
87	86	3impib 1191	1 ⊢ ((𝐴 ∈ Q0 ∧ 𝐵 ∈ Q0 ∧ 𝐶 ∈ Q0) → ((𝐴 +Q0 𝐵) +Q0 𝐶) = (𝐴 +Q0 (𝐵 +Q0 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 968   = wceq 1343   ∈ wcel 2136  ⟨cop 3579  ωcom 4567  (class class class)co 5842   +_o coa 6381   ·_o comu 6382  [cec 6499  Ncnpi 7213   ~_Q0 ceq0 7227  Q₀cnq0 7228   +_Q0 cplq0 7230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-coll 4097  ax-sep 4100  ax-nul 4108  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-iinf 4565

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-dc 825  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-csb 3046  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-nul 3410  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-iun 3868  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-tr 4081  df-id 4271  df-iord 4344  df-on 4346  df-suc 4349  df-iom 4568  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-rn 4615  df-res 4616  df-ima 4617  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fn 5191  df-f 5192  df-f1 5193  df-fo 5194  df-f1o 5195  df-fv 5196  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-1st 6108  df-2nd 6109  df-recs 6273  df-irdg 6338  df-oadd 6388  df-omul 6389  df-er 6501  df-ec 6503  df-qs 6507  df-ni 7245  df-mi 7247  df-enq0 7365  df-nq0 7366  df-plq0 7368

This theorem is referenced by:  prarloclemcalc  7443