Theorem addclsr 7848

Description: Closure of addition on signed reals. (Contributed by NM, 25-Jul-1995.)

Assertion

Ref	Expression
addclsr	⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 +R 𝐵) ∈ R)

Proof of Theorem addclsr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nr 7822	. . 3 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
2		oveq1 5941	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = (𝐴 +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ))
3	2	eleq1d 2273	. . 3 ⊢ ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R = 𝐴 → (([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R ) ↔ (𝐴 +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R )))
4		oveq2 5942	. . . 4 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R = 𝐵 → (𝐴 +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = (𝐴 +R 𝐵))
5	4	eleq1d 2273	. . 3 ⊢ ([⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R = 𝐵 → ((𝐴 +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R ) ↔ (𝐴 +R 𝐵) ∈ ((P × P) / ~R )))
6		addsrpr 7840	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) = [⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R )
7		addclpr 7632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) → (𝑥 +P 𝑧) ∈ P)
8		addclpr 7632	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P) → (𝑦 +P 𝑤) ∈ P)
9	7, 8	anim12i 338	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑧 ∈ P) ∧ (𝑦 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P))
10	9	an4s 588	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P))
11		opelxpi 4705	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 +P 𝑧) ∈ P ∧ (𝑦 +P 𝑤) ∈ P) → ⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩ ∈ (P × P))
12		enrex 7832	. . . . . 6 ⊢ ~R ∈ V
13	12	ecelqsi 6666	. . . . 5 ⊢ (⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩ ∈ (P × P) → [⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
14	10, 11, 13	3syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → [⟨(𝑥 +P 𝑧), (𝑦 +P 𝑤)⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
15	6, 14	eqeltrd 2281	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ P ∧ 𝑦 ∈ P) ∧ (𝑧 ∈ P ∧ 𝑤 ∈ P)) → ([⟨𝑥, 𝑦⟩] ~R +R [⟨𝑧, 𝑤⟩] ~R ) ∈ ((P × P) / ~R ))
16	1, 3, 5, 15	2ecoptocl 6700	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 +R 𝐵) ∈ ((P × P) / ~R ))
17	16, 1	eleqtrrdi 2298	1 ⊢ ((𝐴 ∈ R ∧ 𝐵 ∈ R) → (𝐴 +R 𝐵) ∈ R)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  ⟨cop 3635   × cxp 4671  (class class class)co 5934  [cec 6608   / cqs 6609  Pcnp 7386   +_P cpp 7388   ~_R cer 7391  Rcnr 7392   +_R cplr 7396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-nul 4169  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-iinf 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-tr 4142  df-eprel 4334  df-id 4338  df-po 4341  df-iso 4342  df-iord 4411  df-on 4413  df-suc 4416  df-iom 4637  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-recs 6381  df-irdg 6446  df-1o 6492  df-2o 6493  df-oadd 6496  df-omul 6497  df-er 6610  df-ec 6612  df-qs 6616  df-ni 7399  df-pli 7400  df-mi 7401  df-lti 7402  df-plpq 7439  df-mpq 7440  df-enq 7442  df-nqqs 7443  df-plqqs 7444  df-mqqs 7445  df-1nqqs 7446  df-rq 7447  df-ltnqqs 7448  df-enq0 7519  df-nq0 7520  df-0nq0 7521  df-plq0 7522  df-mq0 7523  df-inp 7561  df-iplp 7563  df-enr 7821  df-nr 7822  df-plr 7823

This theorem is referenced by:  ltm1sr  7872  caucvgsrlemoffval  7891  caucvgsrlemofff  7892  caucvgsrlemoffcau  7893  caucvgsrlemoffres  7895  caucvgsr  7897  map2psrprg  7900  suplocsrlemb  7901  suplocsrlem  7903  addcnsr  7929  mulcnsr  7930  addcnsrec  7937  mulcnsrec  7938  axaddcl  7959  axaddrcl  7960  axmulcl  7961  axaddass  7967  axmulass  7968  axdistr  7969